福建省莆田市2026-2027学年高考数学四模试卷（含答案解析）

这是一份福建省莆田市2026-2027学年高考数学四模试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．2B．C．6D．8
2．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）
A．1B．C．D．0
4．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}时，A∩B=（ ）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．∅
5．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）
A．7B．5C．3D．2
6．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：
那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
7．已知函数，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．已知正方体的棱长为1，平面与此正方体相交.对于实数，如果正方体的八个顶点中恰好有个点到平面的距离等于，那么下列结论中，一定正确的是
A．B．
C．D．
9．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
10． 若数列满足且，则使的的值为( )
A．B．C．D．
11．设是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
12．若是定义域为的奇函数，且，则
A．的值域为B．为周期函数，且6为其一个周期
C．的图像关于对称D．函数的零点有无穷多个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有____种．
14．在的展开式中，的系数为________．
15．已知定义在的函数满足，且当时，，则的解集为__________________.
16．如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设数列的前n项和满足，，，
（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔
（2）设，求证：.
18．（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，，且．
（1）求的方程；
（2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值．
19．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．
（1）求圆的方程；
（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离．
22．（10分）如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．
（Ⅰ）若θ=，求的值；
（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求边AC的长．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.
【详解】
由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，
所以该四棱锥的体积为.
故选A
本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.
2、B
【解析】
先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出
和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.
【详解】
设,根据图象可知,
,
再由, 取,
∴.
将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,
∴.
,,
令,则,显然,
∴是的必要不充分条件.
故选：B．
本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.
3、B
【解析】
根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．
【详解】
由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，
即过1段后又回到起点，
可以看作以1为周期，
由，
白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；
同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，
黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，
所以它们此时的距离为.
故选B.
本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.
4、B
【解析】试题分析：由集合A中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B中的函数，得到，∴集合，则，故选B．
考点：交集及其运算．
5、B
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出约束条件，表示的可行域，如图，
由可得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
最大值为，故选B.
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6、B
【解析】
设贫困户总数为，利用表中数据可得脱贫率，进而可求解.
【详解】
设贫困户总数为，脱贫率，
所以.
故年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍.
故选：B
本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.
7、A
【解析】
根据分段函数直接计算得到答案.
【详解】
因为所以.
故选：.
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
8、B
【解析】
此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.
【详解】
如图（1）恰好有3个点到平面的距离为；如图（2）恰好有4个点到平面的距离为；如图（3）恰好有6个点到平面的距离为.
所以本题答案为B.
本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.
9、A
【解析】
由已知可得，根据二倍角公式即可求解.
【详解】
角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，
终边经过点，则，
.
故选：A.
本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.
10、C
【解析】
因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．
11、A
【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.
【详解】
由复数的乘法法则得.
故选：A.
本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.
12、D
【解析】
运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.
【详解】
是定义域为的奇函数，则，，
又，，
即是以4为周期的函数，，
所以函数的零点有无穷多个；
因为，，令，则，
即，所以的图象关于对称，
由题意无法求出的值域，
所以本题答案为D.
本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分三步来考查，先从到，再从到，最后从到，分别计算出三个步骤中对应的走法种数，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
分三步来考查：①从到，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有种走法；
②从到，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有种走法；
③从到，由①可知有种走法.
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的走法.
故答案为：.
本题考查格点问题的处理，考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用，属于中等题.
14、
【解析】
根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.
【详解】
的展开式中，
所求项为：，
的系数为.
故答案为:.
本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.
15、
【解析】
由已知得出函数是偶函数，再得出函数的单调性，得出所解不等式的等价的不等式，可得解集.
【详解】
因为定义在的函数满足，所以函数是偶函数，
又当时，，得时，，所以函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以不等式等价于，即或，
解得或，所以不等式的解集为：.
故答案为：.
本题考查抽象函数的不等式的求解，关键得出函数的奇偶性，单调性，属于中档题.
16、
【解析】
根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.
【详解】
根据图像：，，故，
故.
故答案为：.
本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析，；（2）证明见解析
【解析】
（1）由，作差得到，进一步得到，再作差即可得到，从而使问题得到解决；
（2），求和即可.
【详解】
（1），，
两式相减：①
用换，得②
②—①，得，即，
所以数列是等差数列，又，
∴，，公差，所以.
（II）
.
本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道容易题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）不妨设，，计算得到，根据面积得到，计算得到答案.
（2）设，，，联立方程利用韦达定理得到，，代入化简计算得到答案.
【详解】
（1）由题意不妨设，，
则，．
∵，∴，∴．
又，∴，
∴，，故的方程为．
（2）设，，，则．∵，
∴，设直线的方程为，
联立整理得．
∵在上，∴，∴上式可化为．
∴，，，
∴，
，
∴
．
∴．
本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19、（2）（x﹣2）2+y2＝2．（2）（）．（3）存在，
【解析】
（2）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案.
（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0得到答案.
（3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（2，0），计算得到答案.
【详解】
（2）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，
所以 ，即|4m﹣29|＝2．因为m为整数，故m＝2．
故所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝2．
（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，
整理得（a2+2）x2+2（5a﹣2）x+2＝0，
由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0，
即22a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）．
（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，
l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（2，0）必在l上，
所以2+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在实数
使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.
本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质可得，不等式对任意实数恒成立，等价于，解不等式即可求的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当时，即，
①当时，得，所以；
②当时，得，即，所以；
③当时，得成立，所以.
故不等式的解集为.
（Ⅱ）因为，
由题意得，则，
解得，
故的取值范围是.
21、（1）．．（2）最大距离为．
【解析】
（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.
（2）曲线的参数方程为，设，计算点到直线的距离公式得到答案.
【详解】
（1）由，得，
则曲线的直角坐标方程为，即．
直线的直角坐标方程为．
（2）可知曲线的参数方程为（为参数），
设，，
则到直线的距离为
，
所以线段的中点到直线的最大距离为．
本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用三角形面积公式以及并结合正弦定理，可得结果.
（Ⅱ）根据，可得，然后使用余弦定理，可得结果.
【详解】
（Ⅰ），所以
所以；
（Ⅱ），
所以，
所以，，
所以，
所以边．
本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.
实施项目
种植业
养殖业
工厂就业
服务业
参加用户比
脱贫率