2026届福建省南平市高考数学四模试卷（含答案解析）

这是一份2026届福建省南平市高考数学四模试卷（含答案解析），文件包含十年2016-2025高考数学真题分类汇编全国通用专题01集合与常用逻辑用语七大考点88题教师版docx、十年2016-2025高考数学真题分类汇编全国通用专题01集合与常用逻辑用语七大考点88题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
2．已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ）
A．B．C．D．
3．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（ ）
A．，B．C．，D．，
4．“是函数在区间内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
6．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．设，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为
A．B．C．2D．
9．的展开式中的系数是（ ）
A．160B．240C．280D．320
10．已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则__________.
14．定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是________.
15．设函数，，其中．若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是_____．
16．若变量，满足约束条件则的最大值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线与曲线的普通方程，并求出直线的倾斜角；
（2）记直线与轴的交点为是曲线上的动点，求点的最大距离.
19．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为.
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；
（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的位男性中，选出人进行问卷调查，求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.
下面的临界值表供参考：
（参考公式，其中）
20．（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.
（1）求证:平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
21．（12分）设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线．
22．（10分）在直角坐标系中，长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点为线段上的点，且满足.记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线上的两个动点，记，判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.
【详解】
当时，，，
，又，所以至少小于7，此时，
令，得，解得或，结合图象，故.
故选：B.
本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
2．B
【解析】
首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.
【详解】
由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为
,
设的内切圆的半径为,则,
故选：B
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.
3．A
【解析】
依题意问题是，然后按直到型验证即可.
【详解】
根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，
观察程序框图可知，应填入，，
故选：A.
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.
4．C
【解析】
，令解得
当，的图像如下图
当，的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.
5．B
【解析】
列举出循环的每一步，可得出输出结果.
【详解】
，，不成立，，；
不成立，，；
不成立，，；
成立，输出的值为.
故选：B.
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.
6．B
【解析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．
【详解】
由题意原几何体是正三棱柱，．
故选：B．
本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．
7．D
【解析】
利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
，，
，，
，，，
，
故选：D.
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
8．B
【解析】
求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.
【详解】
设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故 ，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.
本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.
9．C
【解析】
首先把看作为一个整体，进而利用二项展开式求得的系数，再求的展开式中的系数，二者相乘即可求解.
【详解】
由二项展开式的通项公式可得的第项为，令，则，又的第为，令，则，所以的系数是.
故选：C
本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.
10．C
【解析】
令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，结合已知，即可求得答案.
【详解】
令，
可得，
要使得有两个实数解，即和有两个交点，
，
令，
可得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
当时，，
若直线和有两个交点，则.
实数的取值范围是.
故选：C.
本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
11．D
【解析】
利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.
【详解】
取的中点，则由得，
即；
在中，为的中位线，
所以，
所以；
由双曲线定义知，且，所以，
解得，
故选：D
本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.
12．B
【解析】
利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.
【详解】
为定义在上的奇函数，.
当时，，，
为奇函数，，
由得：或；
综上所述：若，则的解集为.
故选：.
本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由已知利用两角差的正弦函数公式可得，两边平方，由同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．
【详解】
，得，
在等式两边平方得，解得.
故答案为：.
本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14．
【解析】
根据题意，分类讨论求解，当时，根据指数函数的图象和性质无零点，不合题意；当时，令，得，令 ，得或 ，再分当，两种情况讨论求解.
【详解】
由题意得：当时，在轴上方，且为增函数，无零点，
至多有两个零点，不合题意；
当时，令，得，令 ，得或 ，
如图所示：
当时，即时，要有3个零点，则，解得；
当时，即时，要有3个零点，则，
令，
，
所以在是减函数，又，
要使，则须，所以.
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用导数判断函数单调性，属于中档题.
15．
【解析】
根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数使得数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可.
【详解】
解：函数,且
画出的图象如下：
因为,且存在唯一的整数使得,
故与在时无交点,
,得；
又,过定点
又由图像可知,若存在唯一的整数使得时,所以
,
存在唯一的整数使得
所以
.根据图像可知,当时, 恒成立.
综上所述, 存在唯一的整数使得,此时
故答案为：
本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点右边的整数点中为满足条件的唯一整数,再数形结合列出时的不等式求的范围.属于难题.
16．7
【解析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.
【详解】
作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.
观察可知，当直线过点时，有最大值，.
故答案为：.
本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.
（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，等价于，根据绝对值不等式易求，根据二次函数易求，
然后解不等式即可.
【详解】
解：（1）当时，，则
当时，由得，，解得；
当时，恒成立；
当时，由得，，解得.
所以的解集为
（2）对任意，都存在，得成立，等价于.
因为，所以，
且|
，①
当时，①式等号成立，即.
又因为，②
当时，②式等号成立，即.
所以，即
即的取值范围为：.
知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题.
18．（1），，直线的倾斜角为
（2）
【解析】
（1）由公式消去参数得普通方程，由公式可得直角坐标方程后可得倾斜角；
（2）求出直线与轴交点，用参数表示点坐标，求出，利用三角函数的性质可得最大值．
【详解】
（1）由，消去得的普通方程是：
由，得，
将代入上式，化简得
直线的倾斜角为
（2）在曲线上任取一点，
直线与轴的交点的坐标为
则
当且仅当时，取最大值.
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题．
19．（1）列联表见解析，有的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；（2）.
【解析】
（1）结合题意完善列联表，计算出的观测值，对照临界值表可得出结论；
（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.
【详解】
（1）由于在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为，所以人中患心肺疾病的人数为人，故可将列联表补充如下：
.
故有的把握认为患心肺疾病与性别有关；
（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、.从中选取三人共有以下种情形：
、、、、、、、、、.
其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形，分别为：、、、、、、、、，
所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.
本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）过点作交于，连接，设，连接，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得，，由线面垂直的判断定理证得平面，再由面面垂直的判断得证.
（2）平面几何知识和线面的关系可证得平面，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.
【详解】
（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，，，
又为的角平分线，四边形为正方形，，
又，，，，，又为的中点，
又平面，，平面，
又平面，平面平面，
（2）在中，，，，在中，，，
又，，，，
又，，平面，平面，
故建立如图空间直角坐标系，则，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则，，
令，得,
设平面的一个法向量为，则，
，令，得
，由图示可知二面角是锐角，
故二面角的余弦值为.
本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.
21．（1）（2）见解析
【解析】
（1）设，求出后由二次函数知识得最小值，从而得，即得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，设，由韦达定理得，设，利用三点共线，求得，
然后验证即可．
【详解】
解：（1）设，则，
所以，
因为．
所以当时，值最小，
所以，解得，（舍负）
所以，
所以椭圆的方程为，
（2）设直线的方程为，
联立，得．
设，则，
设，因为三点共线，又
所以，解得．
而所以直线轴，即．
本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，采取设而不求思想，设，设直线方程，应用韦达定理，得出，再代入题中需要计算可证明的式子参与化简变形．
22．（1）（2）存在；常数，定值
【解析】
（1）设出的坐标，利用以及，求得曲线的方程.
（2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，求得到直线的距离.联立直线的方程和曲线的方程，写出根与系数关系，结合以及为定值，求得的值.当直线的斜率不存在时，验证.由此得到存在常数，且定值.
【详解】
（1）解析：（1）设，，
由题可得
，解得
又，即，
消去得：
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
设，
由可得：
由点到的距离为定值可得（为常数）即
得：
即
，
又
为定值时，，此时，且符合
当直线的斜率不存在时，设直线方程为
由题可得，时，，经检验，符合条件
综上可知，存在常数，且定值
本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题.
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
女
合计
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
女
合计