2025-2026学年福建省龙岩市高考数学四模试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年福建省龙岩市高考数学四模试卷（含答案解析），共5页。试卷主要包含了函数，不等式组表示的平面区域为，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题若，则，则下列说法正确的是（ ）
A．命题是真命题
B．命题的逆命题是真命题
C．命题的否命题是“若，则”
D．命题的逆否命题是“若，则”
4．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．函数（）的图像可以是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数（）的图象的大致形状是（ ）
A．B．C．D．
7．设函数在定义城内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为( )
A．5B．6C．7D．9
9．不等式组表示的平面区域为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
10．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ）
A．35B．36C．45D．54
11．设集合，，则( )
A．B．
C．D．
12．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.
14．已知双曲线C：（）的左、右焦点为，，为双曲线C上一点，且，若线段与双曲线C交于另一点A，则的面积为______.
15．在如图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数，已知，且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即，若，则正整数的最小值为______.
16．展开式中的系数为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，且经过点，斜率为的直线经过点，与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由.
18．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.
（1）证明：为等差数列，并求；
（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.
19．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，且.
（1）证明：；
（2）若的面积，，求角.
20．（12分）已知函数，，设．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设方程（其中为常数）的两根分别为，，证明：．
（注：是的导函数）
21．（12分）已知等差数列的公差，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
22．（10分）已知抛物线，直线与交于，两点，且.
（1）求的值；
（2）如图，过原点的直线与抛物线交于点，与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程.
【详解】
由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故，
又所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题.
2．C
【解析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.
【详解】
由双曲线，
则渐近线方程：，
，

连接，则，解得，
所以，解得.
故双曲线方程为.
故选：C
本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.
3．B
【解析】
解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
解不等式，解得，则命题为假命题，A选项错误；
命题的逆命题是“若，则”，该命题为真命题，B选项正确；
命题的否命题是“若，则”，C选项错误；
命题的逆否命题是“若，则”，D选项错误．
故选：B．
本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.
4．D
【解析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.
【详解】
因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,
由,解得,即,所以,
所以.
故选：D
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
5．B
【解析】
根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.
【详解】
由题可知：，
所以当时，，
又，
令，则
令，则
所以函数在单调递减
在单调递增，
故选：B
本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.
6．C
【解析】
对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.
【详解】

故选C．
识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
7．D
【解析】
根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.
【详解】
由的图象可知，在上为增函数，
且在上存在正数，使得在上为增函数，
在为减函数，
故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，
故排除A，B.
由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.
故选：D.
本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.
8．A
【解析】
由题可知：，且可得，构造函数求导，通过导函数求出的单调性，结合图像得出，即得出，
从而得出的最大值.
【详解】
因为，
则，即
整理得，令，
设，
则，
令,则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，则，
因为，，
由题可知：时，则，所以，
所以，
当无限接近时，满足条件，所以，
所以要使得
故当时，可有，
故，即，
所以：最大值为5.
故选：A.
本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.
9．D
【解析】
根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设，分析的几何意义，可得的最小值，据此分析选项即可得答案.
【详解】
解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，
其中 ，，
设，则，的几何意义为直线在轴上的截距的2倍，
由图可得：当过点时，直线在轴上的截距最大，即，
当过点原点时，直线在轴上的截距最小，即，
故AB错误；
设，则的几何意义为点与点连线的斜率，
由图可得最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确；
故选：D.
本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.
10．C
【解析】
由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.
【详解】
正项等差数列的前项和，
，
，
解得或（舍），
，故选C.
本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
11．D
【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.
【详解】
由题意知,集合,,
由集合的交运算可得,.
故选:D
本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.
12．C
【解析】
首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．
【详解】
取中点，由，可知：，
为三棱锥外接球球心，
过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，
，，，为的中点
由球的性质可知：平面，，且．
设，
，，
，在中，，
即，解得：，
三棱锥的外接球的半径为：，
三棱锥外接球的表面积为．
故选：.
本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．40
【解析】
设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.
【详解】
设等比数列的公比为，
，
，
等比数列的各项为正数，
，
，当且仅当，
即时，取得最小值.
故答案为：.
本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
14．
【解析】
由已知得即，,可解得,由在双曲线C上,代入即可求得双曲线方程,然后求得直线的方程与双曲线方程联立求得点A坐标,借助,即可解得所求.
【详解】
由已知得，又，，所以，解得或，由在双曲线C上，所以或，所以或（舍去），因此双曲线C的方程为.又，所以线段的方程为，与双曲线C的方程联立消去x整理得，所以，，所以点A坐标为，所以.
本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难.
15．2022
【解析】
根据条件先求出数列的通项，利用累加法进行求解即可．
【详解】
，，，
下面求数列的通项，
由题意知，，，
，，
，
数列是递增数列，且，
的最小值为.
故答案为：.
本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．
16．30
【解析】
先将问题转化为二项式的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令的指数分别等于2，4，求出特定项的系数．
【详解】
由题可得：展开式中的系数等于二项式展开式中的指数为2和4时的系数之和，
由于二项式的通项公式为，
令，得展开式的的系数为，
令，得展开式的的系数为，
所以展开式中的系数，
故答案为30.
本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）存在；实数的取值范围是
【解析】
（1）根据椭圆定义计算，再根据，，的关系计算即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，求出的范围，根据根与系数的关系求出的中点坐标，求出的中垂线与轴的交点横，得出关于的函数，利用基本不等式得出的范围．
【详解】
（1）由题意可知，，．
又，
，，
椭圆的方程为：．
（2）若存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，
则为线段的中垂线与轴的交点．
设直线的方程为：，，，，，
联立方程组，消元得：，
△，又，故．
由根与系数的关系可得，设的中点为，，
则，，
线段的中垂线方程为：，
令可得，即．
，故，当且仅当即时取等号，
，且．
的取值范围是，．
本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
18．（1）见解析，（2）最小正整数的值为35.
【解析】
（1）由等差中项可知，当时，得，整理后可得，从而证明为等差数列，继而可求.
（2），则可求出，令，即可求出 的取值范围，进而求出最小值.
【详解】
解析：（1）由题意可得，当时，，∴，，
当时，，整理可得，
∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，.
（2）由（1）可得，
∴，解得，
∴最小正整数的值为35.
本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了 与 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有 与 的递推关系时，常代入 进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得
（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而求得的值，从而求得角.
【详解】
（1）由已知得，
由余弦定理得，∴.
（2）由（1）及正弦定理得，即，
∴，∴，
∴.
，
∴，，.
本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
20．（1）在上单调递增，在上单调递减．（2）见解析
【解析】
（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；
（2）求出含有参数的，再求出，由的两根是，得，
计算，代入后可得结论．
【详解】
解：，函数的定义域为，
．
（1）当时，，
由得，由得，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由条件可得，，，
方程的两根分别为，，，且，可得．
．
本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识．在可导函数中一般由确定增区间，由确定减区间．
21．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，可知为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.
【详解】
（1）成等比数列，，即，
，解得：，
.
（2）由（1）得：，，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.
22．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）联立直线和抛物线，消去可得，求出，，再代入弦长公式计算即可.
（2）由（1）可得，设，计算直线的方程为，代入求出，即可求出，再代入抛物线方程，求出，最后计算直线的斜率，求出直线的方程，化简可得到恒过的定点.
【详解】
（1）由，消去可得，
设，，则，.
，
解得或(舍去)，
.
（2）证明：由（1）可得，设，
所以直线的方程为，
当时，，则，
代入抛物线方程，可得，，
所以直线的斜率，
直线的方程为，
整理可得，故直线过定点.
本题第一问考查直线与抛物线相交的弦长问题，需熟记弦长公式.第二问考查直线方程和直线恒过定点问题，需有较强的计算能力，属于难题.