吉林省吉林市部分校2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题（含答案）

这是一份吉林省吉林市部分校2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，.若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
3．已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，在上的投影为，则（ ）
A．B．C．D．
5．在中，内角所对的边分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A．α∥β且∥αB．α⊥β且⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于D．α与β相交，且交线平行于
7．从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（ ）
A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球
B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球
C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球
D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球
8．若非零向量与满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
二、多选题
9．一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则（ ）
A．这组数据的平均数为6B．这组数据的方差为16
C．这组数据的极差为11D．这组数据的第70百分位数为7
10．在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．如图，已知圆台的一个轴截面为为弧的中点，，圆台的体积为，则（ ）
A．
B．异面直线与所成的角为
C．过三点的平面与圆台下底面的交线长为
D．二面角的正切值为
三、填空题
12．从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________.
13．在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为___________．
14．已知，，为球的球面上的三个点，若，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为___________．
四、解答题
15．已知向量．
(1)求；
(2)设向量的夹角为，求的值．
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME.
(1)当时，证明：直线平面PAD；
(2)当时，求三棱锥的体积.
17．已知分别为三个内角的对边，且
(1)求；
(2)若，且△ABC的面积为，求.
18．今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
(3)已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差．
19．如图，在直三棱柱中，.

(1)求证：；
(2)求与平面所成的角的大小.
参考答案
1．A
解析：，
所以复数的共轭复数为．
2．D
解析：由，得，解得.
故选：D.
3．B
解析：设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得，
所以该圆锥的高，
所以该圆锥的体积．
故选：B．
4．C
解析：因为，在上的投影为，可得，所以.
故选：C.
5．B
解析：由，根据正弦定理得，
设，
可得，
故选：B.
6．D
解析：试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
7．D
解析：恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误；
至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；
至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；
恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确.
故选：D.
8．D
解析：因为分别为与同向的单位向量，
因为，可知的角平分线与BC垂直，则，
又因为，即，
且，则，所以是等边三角形.
故选：D.
9．AD
解析：对A，这组数据的平均数为：，故A选项正确；
对B，这组数据的方差为：，故B选项错误；
对C，这组数据的极差为：，故C选项错误；
对D，由，则第70百分位数是第5个数7，故D选项正确.
故选：AD.
10．ABD
解析：对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；
对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；
对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角B有两解，一个是锐角，另一个是钝角，故C错误；
对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确．
11．AB
解析：对于A选项，由，设圆台的高为，
有圆台的体积为，可得，
易求得，故A选项正确；
对于B选项，如图，连接点和圆台底面的圆心并延长，与圆交于另一点，连接，，
由，可得或其补角即是异面直线和所成的角．
又由，
有，可得，故B选项正确；
对于C选项，的延长线与的延长线相交于点F，与圆台的底面圆周的交点为，
由，有，可得，
可得，故C选项错误；
对于D选项，过作，连接NH，由平面，可得，
又由，可得平面，可得，
又由，可得为二面角的平面角，
有，有，
可得，故D选项错误．
故选：AB.
12．
解析：从这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，共6个，
所取2个数之和为9的基本事件有，共2个，
故所求概率.
故答案为：.
13．
解析：若恰有两解，则，解得，
即边长度的取值范围为．
故答案为：
14．
解析：设球的半径为，则，所以，因为，
所以的外接圆的半径为，所以点到平面的距离为，
设，则，所以，当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的体积的最大值为．
故答案为：
15．(1)
(2)
解析：（1）由可得，，
即，
所以，
所以；
（2）因为，
所以．
16．(1)证明见解析
(2)2
解析：（1）取PD中点N，连接MN、AN，
是的中位线， MN//CD，且，
又AE//CD，且，四边形AEMN为平行四边形，
ME//AN
又平面PAD，平面PAD，//平面PAD.
（2），P到平面ABCD的距离为3，点M到平面ABCD的距离为1，
.
17．(1)
(2)
解析：（1）由，
结合正弦定理可得，
展开右侧三角式得，
消去同类项后化简为，
整理得，
由，得，解得.
（2）由三角形面积公式，
代入，得，
由余弦定理，
代入、，得，
联立，解得.
18．(1)0.015
(2)76.25，75
(3)17
解析：（1）根据频率分布直方图，有，
解得；
（2）学生成绩落在的频率为，
学生成绩落在的频率为，
学生成绩落在的频率为，
学生成绩落在的频率为，
学生成绩落在的频率为，
由，
可得中位数为，
学生成绩的平均数为；
（3）这两组数据的平均数为，
这两组数据的总方差为
．
19．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）连接与相交于点，如下图所示

在直棱柱中，平面平面，
，
又，平面，
所以，平面，
又平面，
，四边形为菱形，即
又，且平面，
平面，又平面，
.
（2）取的中点，连接.如下图所示；
，
又平面平面，
又，且平面，
平面，
是在面内的射影，是与平面所成角的平面角.
在中，易知，
，
即与平面所成的角的大小为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
B
D
D
D
AD
ABD
题号
11
答案
AB