江苏省海门中学2025−2026学年高一下学期第二次月考数学试题（含答案）

这是一份江苏省海门中学2025−2026学年高一下学期第二次月考数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在复平面内，与复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知平面向量，，则与的夹角大小为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是的内角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，则在下列区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，是两条不同的直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则，是异面直线
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
7．在中，，在边上，平分．若，则的最小值是（ ）
A．20B．18C．17D．16
8．已知二面角的大小为，，，若，点到平面的距离为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．已知正方体，则（ ）
A．平面
B．
C．直线与直线所成的角的大小为
D．直线与平面所成的角的大小为
10．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列关系中能确定的形状为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量．若，记，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若点，则
D．若点，，则的最小值为
三、填空题
12．已知复数，则________．
13．若单位向量的夹角为，向量，则在上的投影向量为________．（结果用表示）
14．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则________，的最小值为________．
四、解答题
15．已知函数，，，函数图象的相邻对称轴的距离为，且．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在上的值域．
16．已知，均为锐角，．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
17．在等腰梯形中，，，，是的中点，与交于点，设，．
（1）用，表示；
（2）若是边上的动点，求的最大值．
18．如图，在三棱锥中，平面.
（1）若，求证：平面平面；
（2）已知为的中点，，F是棱上的一点.
（i）若平面，求；
（ii）若平面，试判断的形状，并给出证明.
19．在中，内角，，的对边分别为，，，是边上靠近的四等分点．
（1）若．
（i）求证：对于边上任一点，；
（ii）若，求．
（2）若，，求的最大值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D.
2．【答案】B
【详解】因为向量，，
所以，，
所以与的夹角满足，
因为，所以与的夹角为.
3．【答案】C
【详解】因为是的内角，且，所以.
因为在上单调递减，所以，故充分性成立；
反之，在上单调递减，.
若，则，故必要性成立，
所以在中，“”是“”的充要条件.
4．【答案】C
【详解】由；
令得：，
令得：
令得：，
结合选项可知ABD错误，C正确.
5．【答案】A
【详解】由，得，得，
则．
6．【答案】D
【详解】若，，则或与相交或，是异面直线，故A错误；
若，，则或与相交或，是异面直线，故B错误；
，，则或，故C错误；
若，，则，故D正确.
7．【答案】B
【详解】 已知AD是的角平分线，，因此.
则.
设，，则，
化简得bc=2b+2c⟹1b+1c=12.
.
由基本不等式，，当且仅当即时取等号.
所以，此时，满足条件，故最小值为18.
8．【答案】D
【详解】过点A作平面，垂足为O，由题意得.
因为平面，所以.
过O作，连接AH.
因为平面，，所以平面.
则，因此是二面角的平面角，即.
在中，.
在，，因此.

9．【答案】ABD
【详解】选项 A，在正方体中：，，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面， A 正确；
选项 B，连接，正方形中，，
又平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又平面，故，B 正确；
选项 C，正方体中，异面直线夹角等价于与夹角，
连接，三边都是正方体面对角线，所以为等边三角形，
所以，直线与直线所成的角的大小为，C 错误；
选项 D，因为底面，所以是直线与平面所成角，
正方形中，为等腰直角三角形，，
所以直线与平面所成角为，D 正确.
10．【答案】BC
【详解】对于A，由正弦定理可知，，，
.
所以，且，，，得，
所以三角形为等边三角形，故A错误；
对于B，根据正弦定理：且，
所以,，
又因为，， 所以，，故三角形为直角三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理得.
又，所以，满足勾股定理，三角形为直角三角形，C正确；
对于D，由正弦定理得： .
当，即，此时三角形为等腰三角形；
当时，即，所以，所以此时为直角三角形.
故可能为等腰三角形，可能为直角三角形，故D错误.
11．【答案】AC
【详解】由已知得，，
对于A，若，，
则，故A正确；
对于B，若，，
则
，故B错误；
对于C，若点，则，
故C正确；
对于D，若点，，
则，，
所以，故D错误.
12．【答案】4
【详解】复数，,
所以.
13．【答案】
【详解】在上的投影向量为.
14．【答案】 7
【详解】因为，
由余弦定理得，
再由正弦定理得，
又
，所以，
在中，所以，，
所以，所以，又，所以，
故；
则
，
因为为锐角三角形，
所以，解得，所以，
则，
当时，取等号，
故的最小值为7.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为函数的周期为，所以，
即，因为，所以，
所以．
因为，所以，
因为，所以，
所以．
（2）因为，
因为，所以，
所以，
所以的值域为．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以，
所以．
（2）法1：由（1），所以，
所以，即．
因为，且，
所以，
，
所以．
法2：设，因为，所以．
因为，所以．
因为，
所以
，
所以.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
因为等腰梯形，，，为中点，
所以，
所以．
（2）法1：设，，
所以；
因为，，所以，
由（1）知，
所以．
所以，
过，作的垂线，垂足为，，则，
所以在直角三角形中，，
因为在三角形中，，
即，所以，即，，
因为，
所以，
所以当时，的最大值为.
法2：因为，，所以，
所以．
过，作的垂线，垂足为，，则，
所以在直角三角形中，，
因为在三角形中，，
所以，即，
所以，
因为，
因为，所以，得，
则，
所以，
下求的最小值，过作，为垂足，
所以，
所以当且仅当在处，此时原式最大值为．
18．【答案】（1）因为平面，平面，
所以，
因为，所以，平面，
所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）（i）2；
（ii）是等腰三角形，理由如下：
因为平面，平面，
所以平面平面.
因为平面，平面，
所以平面平面.
法1：在平面内过作，
因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面；
同理，过作，可知平面.
因为过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，
所以，重合，由于，
所以，，重合，
所以，
因为为中点，故，即是等腰三角形.
法2：证明结论：设，，是平面，若，，，则.
因为，设，在内作，则，
同理，可设，，，则，
所以，
因为，，所以，因为，，所以.
所以.
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为为中点，故，即是等腰三角形.
【详解】（1）略
（2）连接并延长交于点，连接.
（ⅰ）因为平面，平面，平面平面，
所以.
因为，是中点，
所以是的重心，是的中点，
所以.
（ⅱ）略
19．【答案】（1）（i）因为，取中点，则，
设为的中点，连接，因为是靠近的四等分点，
所以．
因为
，
因为，所以，即证．
（ii）
（2）
【详解】（1）（1）（i）略
（ii）设，则，
在和中，由正弦定理得，
，，
因为，，
所以，即，
因为，所以．
方法1：因为，所以，
所以，
所以，即，
因为，所以．
方法2：所以，
因为，，，
所以．
因为，
解得或．
设中点为，则，
因为在与中，，，
所以与相似，即，
所以，
所以，即，即，此时．
方法3：设的中点为，连接，因为，
所以，
设，在中，，，
因为为四等分点，则，
所以，
在中，由正弦定理得，
，即，
化简得，，因为，
所以，．
（2）解：设，，因为是靠近的四等分点，所以，
设，则在中，由正弦定理得，
，
所以，．
在中，由余弦定理得，
所以
，其中，
所以，当且仅当，即时取得最大值，此时，
所以．