吉林省长春市部分校2023−2024学年高一下学期期末测试 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省长春市部分校2023−2024学年高一下学期期末测试 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量D．零向量没有方向
3．已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ）
A．3，4B．3，8C．2，4D．2，8
4．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ）
A．0B．C．D．
8．已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是白球
B．恰有一个红球与白、黑球各一个
C．至少一个白球与至多有一个红球
D．至少有一个红球与两个白球
10．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若acsA＝bcsB，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题（本大题共3小题）
12．样本数据的上四分位数是 ．
13．在中，，则的形状为 三角形．
14．已知是边长为的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知空间中三点，，，设，.
(1)已知，求的值；
(2)若，且∥，求的坐标.
16．已知平行六面体，底面是正方形，，，设．
(1)试用表示；
(2)求的长度．
17．已知，向量，且满足
(1)求点的坐标；
(2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标．
18．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
19．如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点．
(1)证明：；
(2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
参考答案
1．【答案】D
【分析】首先由复数的除法运算化简，再结合复数的概念与几何意义即可得结论.
【详解】由题意知，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选D.
2．【答案】C
【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得.
【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误；
对于B，向量不能比较大小，B错误；
对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确；
对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.
故选C.
3．【答案】B
【分析】根据，，，的平均数是1，方差是2，可计算出、的值，代入另一组的平均数和方差的计算公式即可．
【详解】由题知，，
，
．
另一组数据的平均数
，
另一组数据的方差
．
故选B．
4．【答案】A
【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解.
【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为，
所以，
所以，
所以在基底下的坐标为.
故选A.
5．【答案】D
【分析】建立以为原点，所在直线为轴的平面直角坐标系，分别写出的坐标，再通过向量的坐标运算即可求出向量的数量积.
【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系.
∵，，
∴，
∵点在边上，且，∴，
∴，，
∴.
故选D.
6．【答案】C
【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，根据外接球的球心总在圆锥的高所在的直线上，借助勾股定理建立等量关系即可求出外接球的半径.
【详解】设圆锥底面圆半径为，依题意，，解得，
圆锥的高，显然圆锥的外接球的球心在线段上，
设球的半径为．连接，则由，
得，解得，即，
所以该圆锥的外接球的表面积．
故选C.
7．【答案】A
【分析】由求解即可．
【详解】由题意，，，
又，，
所以，即有，
故选A．
8．【答案】A
【分析】因为，，共面，可设，由此可求的值.
【详解】因为，，共面，可设，即，
得：.
故选A.
9．【答案】BD
【分析】根据互斥事件的定义和性质判断.
【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A错误.
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B正确；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C错误；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D正确；
故选BD.
【思路导引】本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断.
10．【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解.
【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形，
，A正确，B错误；
，D正确，C错误.
故选AD.
11．【答案】ABD
【分析】A应用正弦定理及三角形中大边对大角即可判断正误；B由锐角三角形易得，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；C由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；D利用余弦定理，结合已知得，进而判断的形状.
【详解】A：若，而，即，故，正确；
B：由锐角知：，即，则，正确；
C：由题设，可得，又，则或，故为等腰或直角三角形，错误；
D：由题设，，故，即，又，可知，故必是等边三角形，正确.
故选ABD.
12．【答案】
【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】将数据从小到大排序可得，共8个样本数据，
则上四分位数即第百分位数为，即为.
故答案为：.
13．【答案】直角
【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式、余弦定理化简作答.
【详解】在中，由，得，即，
由余弦定理得，整理得，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
14．【答案】
【分析】取中点，以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算可表示出点坐标，进而得到，利用二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】取中点，
为等边三角形，，则以为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，设，
，，，
，则，
，，，
，
则当时，取得最小值.
故答案为：.
【思路导引】本题考查平面向量数量积的运算，重点考查了二次函数最值的求法.
15．【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）问题转化为，求.
（2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标.
【详解】（1）由题知，，
所以，
因为，
所以.
（2）因为∥， ，
所以，，
因为，所以，解得 ，
所以或.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系；
（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.
【详解】（1）.
（2），
，
所以
.
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由向量共线列方程组，解出即可；
（2）由向量的坐标运算分别求出，再由坐标计算结合二次函数求出最值即可；
【详解】（1）设，则，
因为．
所以，解得．
所以.
（2）因为点在直线为坐标原点）上运动，
所以．
所以，
．
所以
．
所以当时，取得最小值．
.
【思路导引 】求数量积的最值，首先分析其中变化的量是什么，比如某个向量的模或者两个向量的夹角，然后利用投影向量的几何意义或者转化为函数进行最值求解．
18．【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．
【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】(1)第六组的频率为，
所以第七组的频率为．
(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由，得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
．
(3)第六组的人数为4，设为a，b，c，d，
第八组的人数为，设为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解.
（3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即得.
【详解】（1）由底面，平面，得，
而，即直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，
显然，即，所以.
（2），，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（3），，
设平面的法向量，则，令，得，
所以点到平面的距离.
【思路导引】求点到平面距离的常用方法：
(1)直接法，利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出垂线段，再通过解三角形求出距离．
(2)间接法，利用等体积法、特殊值法等转化求解．
(3)向量法，求点P到平面α的距离的步骤：
①在平面α内取一点A，确定向量eq \(PA,\s\up6(→))的坐标；
②确定平面α的法向量；
③代入公式求解．