第43讲 空间几何体的切接球问题 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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考法1：正方体、长方体与正四面体外接球（体对角线与补形法） PAGEREF _Tc235643512 \h 1
考法2：直棱柱与直棱锥外接球（直棱柱/侧棱垂直底面） PAGEREF _Tc235643513 \h 1
考法3：正棱锥与正棱台外接球（对称性与轴截面法） PAGEREF _Tc235643514 \h 2
考法4：侧棱相等或对棱相等的棱锥外接球（顶点投影与补形/二面角模型） PAGEREF _Tc235643515 \h 2
考法5：垂面模型与二面角模型外接球（面面垂直与翻折问题） PAGEREF _Tc235643516 \h 2
考法6：共斜边模型与侧棱为直径模型外接球（直角三角形拼接与侧棱为直径） PAGEREF _Tc235643517 \h 3
考法7：坐标法求解几何体外接球（建立空间直角坐标系） PAGEREF _Tc235643518 \h 3
考法8：复杂空间多面体与组合体外接球 PAGEREF _Tc235643519 \h 4
考点二：旋转体的外接球与切接问题 PAGEREF _Tc235643520 \h 4
考法9：圆柱、圆锥、圆台的外接球（轴截面与正弦定理应用） PAGEREF _Tc235643521 \h 4
考法10：圆锥、圆台与柱体的内切球（轴截面切点几何关系） PAGEREF _Tc235643522 \h 4
考点三：多面体的内切球与棱切球 PAGEREF _Tc235643523 \h 5
考法11：正方体、正棱柱与正四面体的内切球（等体积法/切点性质） PAGEREF _Tc235643524 \h 5
考法12：一般棱锥与多面体的内切球（表面积与体积关系/等体积法） PAGEREF _Tc235643525 \h 5
考法13：多面体的棱切球（球心与棱中点距离） PAGEREF _Tc235643526 \h 5
考点四：切接球综合与最值、多球相切问题 PAGEREF _Tc235643527 \h 6
考法14：与切接球相关的最值与范围问题（截面圆、体积与表面积最值） PAGEREF _Tc235643528 \h 6
考法15：多球相切与嵌套模型（相切球序列与球体分配） PAGEREF _Tc235643529 \h 6
考点一：多面体的外接球
考法1：正方体、长方体与正四面体外接球（体对角线与补形法）
1.（2026·河南百师联盟·联考）在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=AD=3，AA1=2，现以 A 为球心，以 13 为半径作球 O，则球 O 的球面与该长方体的表面相交所得的曲线的长为（ ）
A. 13π8+7π2 B. 313π8+7π2 C. 13π8+5π2 D. 313π8+5π2
2.（2026·山东泰安·一模）（多选）已知在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=3，BC=BB1=2，点 M 为 A1D1 的中点，P 为底面 A1B1C1D1（含边界）内动点，且 BP∥ 平面 AB1M，长方体 ABCD−A1B1C1D1 的外接球的球心为 O，则下列选项正确的是（ ）
A. 球 O 的表面积为 17π
B. 动点 P 的轨迹长度为 10
C. 异面直线 CC1 与 AP 所成角的正切值的取值范围是 1,102
D. 三棱锥 A1−AMB1 的外接球球心为 E，则 OE=12
考法2：直棱柱与直棱锥外接球（直棱柱/侧棱垂直底面）
3.（2025·河南·联考）棱长均为 2 的正三棱柱 ABC−A1B1C1 的各个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的体积为（ ）
A. 1421π27 B. 2321π54 C. 77π24 D. 2821π27
4.（2026·河北NT名校·检测）在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为菱形，AA1=AB=BD.若该直四棱柱的体积为 323，则以 B 为球心，表面积为 112π 的球面与侧面 AA1D1D 的交线长度为（ ）
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 4π3
考法3：正棱锥与正棱台外接球（对称性与轴截面法）
5.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知三棱锥 P−ABC 的外接球 O 的半径为 2，底面 ABC 是边长为 3 的正三角形，PA=PB=PC，则该三棱锥的体积为（ ）
A. 34 B. 334 C. 934 D. 2734
6.（2026·广东·检测）已知高为 4 的正四棱锥 P−ABCD 的所有顶点都在球 O 的表面上，若球 O 被平面 ABCD 所截得的截面面积为 8π，则四棱锥 O−ABCD 的体积为（ ）
A. 83 B. 163 C. 323 D. 643
考法4：侧棱相等或对棱相等的棱锥外接球（顶点投影与补形/二面角模型）
7.（2025·河北沧州运东五校·二模）三棱锥 A−BCD 中，底面是边长为 2 的正三角形，AC⟂BC，AD⟂BD，直线 AC 与 BD 所成角为 45∘，则三棱锥 A−BCD 外接球表面积为（ ）
A. 6π B. 19π3 C. 8π D. 25π3
8.（2025·江西九师联盟·检测）已知点 A,B,C,D 都在半径为 3 的球面上，且 ΔBCD 是边长为 23 的正三角形，则三棱锥 A−BCD 体积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考法5：垂面模型与二面角模型外接球（面面垂直与翻折问题）
9.（2025·广东深圳高级中学·检测）在三棱锥 A−BCD 中，AB=AD=BD=2，BC=CD=2，平面 ABD⟂ 平面 CBD，则三棱锥 A−BCD 外接球表面积为（ ）
A. 16π3 B. 8π3 C. 163π3 D. 3π
10.（2024·广东华南师大附中·模拟）将一副三角板拼接成平面四边形 ABCD（如图），BC=1，将 ΔBCD 沿 BD 折起，使得面 ABD⟂ 面 BCD，若三棱锥 A−BCD 的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）
A. 2π B. 7π3 C. 8π3 D. 3π
考法6：共斜边模型与侧棱为直径模型外接球（直角三角形拼接与侧棱为直径）
11.（2025·广东上进联盟·联考）已知 ΔABC 为等腰直角三角形，AB=AC=2，D 为斜边 BC 上一动点，将 ΔACD 沿 AD 折起得到三棱锥 C'−ABD，C 的对应点为 C'，且二面角 C'−AD−B 为 120∘，当 BC' 最小时，三棱锥 C'−ABD 的外接球半径为（ ）
A. 62 B. 102 C. 6 D. 2
12.（2026·湖南·联考）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=3，AD=2，BD=1，现将 ΔABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 A−BCD，且三棱锥 A−BCD 外接球的表面积为 7π，则 AC=＿＿＿＿＿＿.
考法7：坐标法求解几何体外接球（建立空间直角坐标系）
13.（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为 2，该几何体的高为 3，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A. 16π3 B. 28π3 C. 2821π27 D. 11π
14.（2026·广东江门·二模）（多选）若正方体 ABCD−A1B1C1D1 外接球的球心为 O，且 E, F 分别为棱 BC, AD 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. CF=3OE
B. 二面角 A−EF−C1 的正切值为 −2
C. A1B∥ 平面 EOF
D. O 为四面体 CC1EF 外接球的球心
考法8：复杂空间多面体与组合体外接球
15.（2026·河北沧州八县·联考）已知正四面体 ABCD 的棱长为 2，球 O 与平面 BCD 相切于 ΔBCD 的中心，且球 O 与正四面体的三条侧棱 AB,AC,AD 均相切，则正四面体 ABCD 的三个侧面 ABC,ACD,ABD 截球 O 的截痕长之和为（ ）
A. 2(3−1)π B. 3(3−1)π C. 2(6−2)π D. 4(3−1)π
16.（2026·湖北楚天协作体·联考）如图，在四棱锥 P−ABCD 中，PA⟂ 平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC∥AD，AB⟂AD，PA=AD=2，AB=BC=1.
（1） 证明：平面 PBC⟂ 平面 PAB；
（2） 若点 P,B,C,D 在同一球面上，设该球面的球心为 O.
① 求球 O 的表面积；
② 求直线 PO 与平面 PDC 所成角的正弦值.
考点二：旋转体的外接球与切接问题
考法9：圆柱、圆锥、圆台的外接球（轴截面与正弦定理应用）
17.（2026·江苏南京盐城·一模）已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球 O 的球面上，则该圆锥与球 O 的体积之比为（ ）
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
18.（2026·安徽马鞍山·一模）已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为＿＿＿＿＿＿.
考法10：圆锥、圆台与柱体的内切球（轴截面切点几何关系）
19.（2026·浙江七校联盟·二模）已知一个圆台的上下底面半径分别为 3 和 6，球 O 与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球 O 的表面积为（ ）
A. 36π B. 72π C. 108π D. 144π
20.（2026·河南郑州·二模）已知一个圆锥的底面半径为 5，表面积为 75π.若在该圆锥内放入三个半径均为 r 的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则 r=＿＿＿＿＿＿.
考点三：多面体的内切球与棱切球
考法11：正方体、正棱柱与正四面体的内切球（等体积法/切点性质）
21.（2026·浙江强基联盟·二模）已知正三棱柱 ABC−A1B1C1 存在内切球，则直线 AC1 与平面 BCC1B1 所成角的正切值为（ ）
A. 74 B. 377 C. 34 D. 72
22.（2026·山东东营·二模）已知一个棱长为 46 的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为＿＿＿＿＿＿；如果一个半径为 1 的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为＿＿＿＿＿＿.
考法12：一般棱锥与多面体的内切球（表面积与体积关系/等体积法）
23.（2026·浙江稽阳联谊·联考）（多选）已知四面体 ABCD 的内切球球心为 I，棱 AB,CD 的中点分别为 E,F，若 I,E,F 三点共线，则下列说法正确的是（ ）
A. A 点到 CD 的距离等于 B 点到 CD 的距离
B. 无法确定 ΔBCD,ΔACD 的面积大小关系
C. EF⟂AB，且 EF⟂CD
D. 四面体 ABCD 的外接球球心恒在直线 EF 上
24.（2026·陕西顶尖计划·检测）如图，封闭的圆台形容器（容器壁厚度忽略不计）的两个底面半径分别为 3,1，母线长为 4，若该容器内有一个任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考法13：多面体的棱切球（球心与棱中点距离）
25.（2025·河北衡水中学·一模）在正三棱锥 P−ABC 中，AB=23，PA=4，若半径为 r 的球 O 与三棱锥 P−ABC 的六条棱均相切，则 r2=（ ）
A. 23−23 B. 3−233 C. 193−243 D. 19−833
26.（2025·河南驻马店高中·检测）（多选）柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为 2 的正八面体 ABCDEF．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（ ）
A. 该正八面体的外接球的体积为 82π3
B. 平面 ABE 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 4π3
C. 甲能构成正三角形的概率为 35
D. 甲与乙均能构成正三角形的概率为 235
考点四：切接球综合与最值、多球相切问题
考法14：与切接球相关的最值与范围问题（截面圆、体积与表面积最值）
27.（2025·江苏苏锡常镇·一模）已知一圆柱内接于半径为 1 的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（ ）
A. 12 B. 33 C. 233 D. 22
28.（2026·湖南永州·二模）在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=4,BC=BB1=2,∠ABC=120∘，M,N,Q 分别是棱 AB,BC,CC1 的中点，P 是底面 ABCD 内一动点.若直线 D1P∥ 平面 MNQ，则三棱锥 A−PBB1 外接球表面积的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法15：多球相切与嵌套模型（相切球序列与球体分配）
29.（2026·山东九五协作体·一模）将两个球放入棱长为 1 的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（ ）
A. π6 B. (9−53)π4 C. (9−53)π3 D. (9−53)π2
30.（2026·湖南九校联盟·联考）在平面直角坐标系中，曲线 y=4−x2 绕着 y 轴旋转一周得到一个旋转体 Ω，在 Ω 中放入 4 个半径为 r 的小球，四个小球均与旋转体 Ω 的表面以及开口平面相切，则小球半径 r 的最大值为（ ）
A. 3 B. 3−1 C. 2 D. 2−1