第41讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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二、知识清单 PAGEREF _Tc234954447 \h 2
三、典题精讲 PAGEREF _Tc234954448 \h 5
考点一：空间几何体的结构特征与直观图 PAGEREF _Tc234954449 \h 5
考点二：空间几何体的表面积与展开图 PAGEREF _Tc234954450 \h 9
考点三：空间几何体的体积 PAGEREF _Tc234954451 \h 12
考点四：空间几何体的综合问题 PAGEREF _Tc234954452 \h 16
四、高考真题 PAGEREF _Tc234954453 \h 19
一、考情分析
1. 考查频次与题型
2. 命题角度与特色
（1） 基础性强：直接考查旋转体（圆柱、圆锥）的侧面积与体积公式，要求熟练掌握基本量的计算.
（2） 综合性高：常以多面体（如正三棱柱、直三棱柱、四棱锥）为载体，结合线面位置关系、空间角与距离、外接球等进行综合考查.
3. 备考策略
（1） 熟记常见空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）的结构特征及表面积、体积公式.
（2） 掌握几何体展开图与截面图的画法，善于将空间问题转化为平面几何问题求解.
（3） 强化空间想象能力，熟悉常见几何体的外接球模型及球心位置的确定方法.
二、知识清单
1. 构成空间几何体的基本元素 - 点、线、面
（1） 空间中，点动成线，线动成面，面动成体.
（2） 空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.
2. 简单凸多面体 - 棱柱、棱锥、棱台
（1） 棱柱：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
① 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.
② 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.
③ 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.
④ 平行六面体：底面是平行四边形的棱柱.
⑤ 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体.
⑥ 长方体：底面是矩形的直平行六面体.
⑦ 正方体：棱长都相等的长方体.
（2） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
① 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心.
② 正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.
（3） 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.
（4） 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.
【易错提醒】 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱（可能是由两个斜棱柱拼接而成）；有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，必须满足侧棱延长后交于同一点.
【防坑警示】 正三棱锥与正四面体不同.正三棱锥只要求底面是正三角形，且侧棱长相等即可；而正四面体要求所有棱长（侧棱与底边）都必须完全相等.
3. 简单旋转体 - 圆柱、圆锥、圆台、球
（1） 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.
（2） 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.
（3） 圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.
（4） 球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.
【易错提醒】 旋转体的轴截面特征：圆柱的轴截面是矩形；圆锥的轴截面是等腰三角形；圆台的轴截面是等腰梯形.
【防坑警示】 以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将其旋转一周形成的几何体不是圆锥，而是两个底面重合的圆锥组合体.
4. 组合体
（1） 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.
5. 表面积与体积计算公式
（1） 表面积公式
（2） 体积公式
【易错提醒】 在计算组合体的表面积时，必须注意各简单几何体拼接重合部分的面积不能计入总表面积中，需将其扣除.
6. 空间几何体的直观图
（1） 斜二测画法的主要步骤如下：
① 建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系.
② 画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于O'x'，O'y'，使∠x'O'y'=45∘（或 135∘），它们确定的平面表示水平平面.
③ 画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度变为原来的一半.可简化为“横不变，纵减半”.
④ 擦去辅助线.图画好后，要擦去x'轴、y'轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.
⑤ 直观图和平面图形的面积比为2:4.
（2） 平行投影与中心投影
① 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.
【防坑警示】 在斜二测画法中，原图形中平行的线段在直观图中依然平行，但原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，原图形中互相垂直的线段在直观图中通常不再垂直.
三、典题精讲
考点一：空间几何体的结构特征与直观图
考法1：判断空间几何体的结构特征
例1.（2026·河南周口·一模）（多选）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（ ）
A. 该几何体可能是三棱锥
B. 该几何体可能是四棱柱
C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱
D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱
【答案】AC
【思路】空间几何体的拼接问题，需要结合各几何体的面数及形状进行分析.对于三棱锥和四棱柱，直接根据面数和面的形状判断；对于三棱柱，需要通过侧面展开图，利用勾股定理和余弦定理等工具，分析等腰三角形和直角三角形能否满足拼接条件.
【解析】对于A，可用两块含30∘角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板，像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确.对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误.对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面，
要构成三棱柱，将平行四边形ABDC和EFHG分别沿CD和EF折起，必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适a,b的值，使侧面展开图中AG⟂AB垂直即可.实际上，当AB⟂AG时，AG2=BG2−AB2=(3a)2−a2=8a2.在△ADG中，cs∠ADG=−cs∠CAD=−b2a，则AG2=AD2+GD2−2AD⋅GDcs∠ADG=b2+4a2−2b⋅2a−b2a，则8a2=b2+4a2+2b2，即可得ab=32，即此时即可满足题意，C正确.对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形.设三角形三边长为a,b,c，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a.∵每个侧面有两条边为侧棱，∴这6个直角三角形的a边都为侧棱，则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误.
【规律】解决空间几何体的拼接与折叠问题，核心是将空间问题转化为平面问题.通常需要画出几何体的表面展开图，利用平面几何中的勾股定理、余弦定理等工具寻找边角关系.同时，要熟记常见几何体（如棱锥、棱柱）的面数、顶点数及各面的形状特征.
考法2：计算空间几何体的基本量与欧拉公式
例2.（2026·浙江温州·一模）（多选）如图，圆台ABCD上下底面半径分别为1和2，P,Q分别为上下底面圆周上的点，ABCD为圆台的轴截面且AQ=2CP=2，则（ ）
A. PQ为母线
B. PQ=PB
C. AQ⟂PQ
D. 平面PBQ与平面ABCD的夹角等于30∘
【答案】BCD
【思路】解决圆台问题通常需要作出轴截面或相关的辅助线.本题中，通过寻找上下底面圆心及线段中点，构造平行四边形和直角三角形，将空间中的线面位置关系及夹角转化为平面几何问题进行求解.
【解析】由母线概念可知，PQ不是母线，∴A错误.如图所示，作上底面圆心O1，下底面圆心O，线段BQ中点E，连接OE,O1P,OO1,PE，可知DC=2,AB=4.∵AQ=2CP=2，∴∠BAQ=∠PCD=π3.∵O为AB中点，E为BQ中点，∴∠BOE=∠CO1P=π3，OE=O1P=1，∴四边形OEPO1为平行四边形.∵OO1⟂平面AQB，∴PE⟂平面AQB，∴PE⟂QB.∵E为BQ中点，∴PQ=PB，∴B正确.∵PE⟂平面AQB，∴PE⟂AQ.∵AQ⟂BQ，又∵PQ⊂面PQB，BQ⊂面PQB，PQ∩BQ=Q，∴AQ⟂平面PQB，∴AQ⟂PQ，∴C正确.∵四边形OEPO1为平行四边形，∴PE∥OO1.∵PE⊂平面PQB，OO1⊄平面PQB，∴OO1∥面PQB，∴OO1平行于平面PBQ与平面ABCD的交线.∵AQ⟂平面PQB，AB⟂OO1,BQ⟂OO1，∴∠ABQ是平面PBQ与平面ABCD的夹角的平面角，可知∠ABQ=π6，∴D正确.
【规律】处理圆台、圆锥等旋转体问题时，最有效的方法是“截面法”，尤其是作出轴截面.对于涉及底面圆周上动点的问题，常通过作底面垂线、连接圆心与动点等方式，构造直角三角形或平行四边形，从而将空间几何问题降维至平面内解决.
考法3：利用斜二测画法还原直观图并计算
例3.（2026·湖南长沙·模拟）如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中O'A'=4，O'C'=1，则原图形的周长为＿＿＿＿＿＿.
【答案】14
【思路】斜二测画法的核心规则是“平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，夹角由45∘或135∘还原为90∘”.根据直观图中的坐标和长度，逆向还原出原图形的各边长即可.
【解析】由斜二测画法的规则知平面图形为平行四边形，且原图形中OA=BC=O'A'=4.设B'C'与O'y'交于点D'，由O'C'=1,∠x'O'y'=45∘,O'C'⟂O'A'，得原图中CD=C'D'=1,OD=2×12+12=22.则AB=OC=OD2+CD2=8+1=3，则原图形的周长是2×(4+3)=14.
【规律】斜二测画法还原问题的通用解法是：建立直角坐标系，将直观图中的已知点坐标化，利用变换规则还原出原图形中对应点的坐标，再利用两点间距离公式求出边长，进而计算周长或面积.
考法4：空间几何体结构特征的综合应用
例4.（2026·江西五市十校·联考）（多选）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱ABF−DCE组合而成，AB⟂AF，AB=AD=AF=3，G是CD上的动点.则（ ）
A. G为CD的中点时，平面EFBC⟂平面BCG
B. G为CD的中点时，异面直线EC与BG之间的距离为3
C. 三棱锥G−BCF体积的最大值为928+94
D. P为ED所在直线上的动点，则|FP|−|PG|的最大值为352+32
【答案】ABD
【思路】本题是半圆柱与直三棱柱的组合体问题.对于面面垂直，需寻找线面垂直；对于异面直线距离，常利用平行线转化；对于体积最值，需确定底面积定值时高何时最大；对于表面最短路径，需将几何体表面展开为平面图形，利用两点之间线段最短求解.
【解析】对于A，当G为CD的中点时，连接DG,CG，则DG=CG.又BD=BC，BG=BG，∴△BDG≅△BCG，∴∠BGD=∠BGC=90∘，即BG⟂CG.又BC⟂平面CDEF，CG⊂平面CDEF，∴BC⟂CG.又BC∩BG=B，∴CG⟂平面BCG.又CG⊂平面EFBC，∴平面EFBC⟂平面BCG，故A正确.对于B，由A知CG⟂平面BCG，又EC⊂平面EFBC，过C作CH⟂BG于H，则CH⟂平面BCG.又EC⊂平面EFBC，且EC∥BG，∴CH即为异面直线EC与BG之间的距离.在Rt△BCG中，BC=3,CG=322，∴BG=362.∴CH=BC⋅CGBG=3×322362=3，故B正确.对于C，三棱锥G−BCF的体积V=13S△BCF⋅ℎ，其中S△BCF=12BC⋅CF=12×3×32=922.当G到平面BCF的距离ℎ最大时，体积最大.易知当G为CD的中点时，ℎ最大，此时ℎ=32.∴体积的最大值为13×922×32=924，故C错误.对于D，将平面CDEF与平面ABED展开到一个平面内，当F,P,G三点共线时，|FP|−|PG|取得最大值，即为FG.连接FD，在△FDG中，FD=32,DG=322,∠FDG=135∘.由余弦定理得FG2=FD2+DG2−2FD⋅DGcs135∘=18+92−2×32×322×−22=452+92.∴FG=452+92=352+32，故D正确.
【规律】组合体综合题的破解策略：①结构分解：将组合体拆解为熟悉的简单几何体，明确各部分的基本量；②位置关系：利用几何体的母线、高、底面等特征寻找垂直与平行关系；③最值问题：体积最值常转化为动点到定平面的最大距离，表面最短路径必须利用侧面展开图转化为平面两点间距离.
【考点一 方法总结】
1. 解决空间几何体的拼接与折叠问题，核心是将空间问题转化为平面问题.通常需要画出几何体的表面展开图，利用平面几何中的勾股定理、余弦定理等工具寻找边角关系.同时，要熟记常见几何体（如棱锥、棱柱）的面数、顶点数及各面的形状特征.
2. 处理圆台、圆锥等旋转体问题时，最有效的方法是“截面法”，尤其是作出轴截面.对于涉及底面圆周上动点的问题，常通过作底面垂线、连接圆心与动点等方式，构造直角三角形或平行四边形，从而将空间几何问题降维至平面内解决.
3. 斜二测画法还原问题的通用解法是：建立直角坐标系，将直观图中的已知点坐标化，利用变换规则还原出原图形中对应点的坐标，再利用两点间距离公式求出边长，进而计算周长或面积.
4. 组合体综合题的破解策略：①结构分解：将组合体拆解为熟悉的简单几何体，明确各部分的基本量；②位置关系：利用几何体的母线、高、底面等特征寻找垂直与平行关系；③最值问题：体积最值常转化为动点到定平面的最大距离，表面最短路径必须利用侧面展开图转化为平面两点间距离.
考点二：空间几何体的表面积与展开图
考法5：计算简单几何体或组合体的表面积
例5.（2026·福建厦门·检测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1.平面ACC1A1，平面BCD1A1和平面ABC1D1将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点B1所在的多面体的表面积为（ ）
A. 32+32 B. 22+32 C. 334+32 D. 324+32
【答案】D
【思路】求解分割后多面体的表面积，关键是明确该多面体由哪些面构成.通过连接体对角线找到交点，确定目标多面体的各个顶点，进而分析出每个面的形状（如等腰三角形、直角三角形等），最后分别计算面积并求和.
【解析】连接A1C1,AC1,BD1，易知三条体对角线交于一点，记为点O.则分割后顶点B1所在的多面体为六面体OA1BC1B1，其表面分别是△OA1B1,△OAC1,△OBC1,△A1B1C1,△A1B1B,△BB1C1.根据正方体的性质，知OA1=OB=OC1=32,BB1=C1B1=A1B1=1,A1B=BC1=A1C1=2，∴△OA1B≅△OA1C1≅△OBC1,△A1B1C1≅△A1B1B≅△BB1C1.△OA1B中，边A1B上的高为OA12−A1B22=34−24=12，∴△OA1B的面积为12×2×12=24.△A1B1B的面积为12×1×1=12.∴顶点B1所在的多面体的表面积为3×24+3×12=324+32.
【规律】求解多面体表面积的步骤：①定形：明确多面体的各个顶点及其围成的每一个面的形状；②定量：利用原几何体（如正方体）的棱长、面对角线、体对角线等基本量，计算出目标多面体各条棱的长度；③求和：分别计算各个面的面积后相加，注意利用全等关系简化计算.
考法6：利用展开图计算表面积或基本量
例6.（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为3，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ）
A. 体积为3π B. 表面积为23π
C. 两条母线的夹角的最大值为π3 D. 过顶点的截面面积的最大值为2
【答案】D
【思路】已知圆锥的底面半径和高，可求出母线长.依次代入体积和表面积公式进行检验；对于母线夹角和截面面积的最值问题，需设出母线夹角为变量，利用三角形面积公式转化为三角函数求最值.
【解析】对于 A，圆锥的体积为13×π×(3)2×1=π，故 A 错误.对于 B，圆锥的母线长为3+1=2，故圆锥的表面积为π×(3)2+π×3×2=23π+3π，故 B 错误.对于 C，设圆锥轴截面顶角为α，则tanα2=31=3，而α2为锐角，故α2=π3，故α=2π3，故两条母线的夹角的最大值为2π3，故 C 错误.对于 D，设两条母线的夹角为θ，则过顶点的截面面积为S=12×2×2sinθ=2sinθ，而0