湖南省娄底市2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省娄底市2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在，，0，这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
解：，
这四个数中，最小的数是，
故答案为：A．
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
3. 一张A4纸的规格为，它的面积约为平方千米．将数字用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：∵，
故选：B．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
解：
∵
∴一元二次方程的根的情况是无实数根，
故选：D．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解：解不等式，得，
解不等式，得，
将解集表示在数轴上为：
故选：B
6. 若是一个锐角，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：如图所示：
设，
∵，
∴，
设，
则，
∴．
故选：C．
7. 下列等式不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解：A． ，原式运算正确，故本选项不符合题意；
B． ，原式运算正确，故本选项不符合题意；
C． ，原式运算正确，故本选项不符合题意；
D． ，原式运算不正确，故本选项符合题意；
故选：D．
8. 下列命题中错误的是（ ）
A. 两点之间线段最短
B. 有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C. 两点确定一条直线
D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
A．两点之间线段最短，这是线段的基本性质之一，所以本选项说法正确，故不符合题意；
B．三角形全等的判定定理中，两边及一角对应相等分为两种情况：
两边及其夹角对应相等，此时两个三角形全等（判定定理）．
两边及其中一边的对角对应相等，此时两个三角形不一定全等．
所以本选项说法是错误的，故本选项符合题意；
C．两点确定一条直线，这是直线的基本性质，是数学中的基本公理，所以本选项说法正确，故不符合题意；
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，所以本选项说法正确，故不符合题意；
故选：B．
9. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 样本容量是B. 平均数是
C. 中位数是D. 的权数是
【答案】C
解：A. 样本容量是，正确，故该选项不符合题意；
B. 平均数是，正确，故该选项不符合题意；
C. 数据从小到大排列，第五和第六个数是，，
中位数是，
故该选项错误，符合题意；
D. 的权数是，正确，故该选项不符合题意；
故选：C ．
10. 如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
解：点分别是的边的中点，
，，，，，，
四边形、四边形、四边形都为平行四边形，故①正确；
图中的四个小三角形为全等三角形，即形状和大小完全一样，故②正确；
四边形为平行四边形，
四边形的周长，故③正确；
点分别是边的中点，
，，
，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④．
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 计算：______．
【答案】##
解：，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是__________
【答案】2
解：点到x轴的距离是2．
故答案为：2．
13. 如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是______．
【答案】四边相等的四边形是菱形
解∶根据作图方法可知四边形一定是菱形；
理由如下∶
分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D，
，
四边形是菱形．
故答案为：四边相等的四边形是菱形．
14. 已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____．
【答案】-1
对于一元二次方程的两个根和，根据韦达定理可得：+=，即，解得：，即方程的另一个根为-1．
15. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是__________班．
【答案】甲．
解：甲、乙两个班参赛人数都为45人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于23 人，乙班的小于等于22人，则甲班的优生人数较多，
故答案为：甲．
16. 如图，，，，则______
【答案】140
解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：140 ．
17. 观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍______根．
【答案】10121
解：∵有六边形个，需要火柴棒根数为，
有六边形个，需要火柴棒根数为，
有六边形个，需要火柴棒根数为，
有六边形个，需要火柴棒根数为，
……
有六边形个，需要根小棒，
∴有六边形2024个，需要火柴棒（根）．
故答案为：10121．
18. 已知如图，在中，，，，在直线AB的同侧分别以的三边作正方形、正方形、正方形，、、、分别表示对应图形的面积，则的值为______．
【答案】
解：过作于，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
同理：，，
∴，
∴
，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 计算：
【答案】
解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
解：
=
当x=−1时，
原式
．
21. 某校计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组．为此，随机抽查了本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）．

根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；
（2）将条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数．
【答案】（1）200人，；
（2）见解析； （3）400人．
【小问1详解】
解：本次被抽查学生的总人数是（人），
扇形统计图中表示选择“美工制作”兴趣小组的扇形的圆心角度数是；
【小问2详解】
解：选择“音乐舞蹈”兴趣小组的人数为（人），
补全条形统计图如图所示．

【小问3详解】
解：估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为（人）．
22. 已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【小问1详解】
证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，，
∴ ，
即，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：∵，
∴ ，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
23. 如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题：
（1）点出发几秒后，可使的面积为？
（2）点出发几秒后，？
【答案】（1）点P，Q出发1秒后，可使的面积为
（2）点P，Q出发2.4秒后，
【小问1详解】
解：设点P，Q出发x秒后，的面积为．
∵点P沿边从点A向终点C以的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
∴，，
根据题意，得，
解得：，（舍去）
答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为；
【小问2详解】
解：设点P，Q出发y秒后，，
∴，
∴，
∴=
∴y=2.4
答：点P，Q出发2.4秒后，．
24. 如图，点是坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限．，，．
（1）求点的坐标；
（2）点P是轴上的一个动点，当点处于何位置时，的值最小？
【答案】（1）
（2）当点P运动到这个位置时，的值最小
【小问1详解】
解：过点C作轴交x轴于点E，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点C的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，作点B关于y轴的对称点为D，则，连接，与y轴交于点P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点P即为所求作的点，
设直线解析式为：，
则 ，
解得：
∴
当时，
∴当点P运动到这个位置时，的值最小．
25. 已知如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的值；
（2）求点、点的坐标，并直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1）
（2），或
（3）4
【小问1详解】
解：∵直线与反比例函数图象交于点和点，
∴ ，
解得：，
∴，
解得：，
∴
解得；
【小问2详解】
解：关于直线，当时，；当时，，
∴点C的坐标为， 点D的坐标为，
观察图形得：一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或．
【小问3详解】
解：
．
26. 如图1，在矩形中，，，点E是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，过点作，垂足为，连接，点是线段的中点，连接．
①求的最小值；
②当取最小值时，求线段的长．
【答案】（1）详见解析
（2）①的最小值为5
②当取最小值时，线段的长为1
【小问1详解】
证明：如图1，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①解：如图2-1，连接AM．
∵，
∴是直角二角形．
∵点是线段的中点，
∴．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：，
当A，G，M三点共线时，．
此时，取最小值．在中，．
∴的最小值为5．
②如图2-2，过点M作交于点N，
∴．
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
由①知的最小值为5、即，
又∵，
∴．
∴，解得，
经检验，x=1是分式方程的解，
即．
人数
平均数
中位数
方差
甲班
45
82
91
19.3
乙班
45
87
89
5.8