2025-2026学年广西贺州市高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年广西贺州市高二（下）期末数学试卷（含答案），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|x≤5}，B={x|x2−2x−3≤0}，则A∩B=( )
A. {x|−1≤x≤3}B. {x|x≤5}C. {0,1,2,3}D. {1,2,3}
2.在复平面内，复数6+5i，−3+4i对应的向量分别是OA,OB，其中O是原点，则向量AB对应的复数为( )
A. −9−iB. 9−iC. 3+9iD. −3+9i
3.已知变量x，y具有线性相关关系，由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)得到y关于x的经验回归方程为y =3x+t，若i=15xi=15，i=15yi=50，则当x=6时，y的预测值为( )
A. 19B. 23C. 13D. 59
4.下列图象与函数f(x)=6x63|x|图象最符合的为( )
A. B.
C. D.
5.已知等边三角形ABC的边长为1，BC=a，CA=b，AB=c，那么a⋅b+b⋅c+c⋅a=( )
A. 3B. −32C. 32D. −3
6.在研发一款超导量子芯片时，需要将5个功能单元(3个“量子逻辑门”和2个“经典控制单元”)排成一条线性序列进行布线.为保证量子相干性，要求2个“经典控制单元”不能相邻；同时，3个“量子逻辑门”中承担纠错功能的“主控门”不能排在整条线性序列的首位.则满足上述条件的布线方案共有( )
A. 36种B. 48种C. 60种D. 72种
7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC=b，则A=( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
8.如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|=4|QF2|，则直线PF2的斜率为( )
A. −2
B. −1
C. −12
D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列{an}是等差数列，已知a2=−6，a4=−2，Sn是{an}的前n项和，则下列结论正确的是( )
A. an=2n−10B. S6=S3
C. {Snn}是公差为2的等差数列D. {Sn}的最小项为S4或S5
10.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1，E为CC1的中点，F为线段A1B1上的动点，下列结论正确的是( )
A. AB1//BEB. AC1⊥平面A1BC
C. 平面BFC⊥平面ACC1A1D. 存在点F，使得C1F/​/平面A1BE
11.已知函数f(x)=sin(x−π3)+cs(x−5π6)，则( )
A. f(x−2π3)为偶函数
B. 曲线y=f(x)的对称中心为(kπ+π3,0),k∈Z
C. f(x)在区间(π3,4π3)上单调递减
D. f(x)在区间(π3,4π3)上有一条对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式(x−1 x)6的展开式中，x3项的系数为 ．
13.已知正实数a，b满足2a+b=2，则ab+1a的最小值为 ．
14.若∃m∈R使得不等式(lnxx−m)(ln2−ln24x−m)≤0对任意x∈(0,a)恒成立，则实数a的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知公比大于1的等比数列{an}满足：a1+a4=18，a2a3=32．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn=2bn−an，n∈N∗，证明：{bnan}是等差数列．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，△SAB是等边三角形，侧面SAB⊥底面ABCD，AB=2，BC=3，AD=1，点M，N分别在棱SB，CB上，且BM=2MS，BN=2NC，点P是线段MN上的任意一点．
(1)求证：AP/​/平面SCD；
(2)求平面SCD与平面BCD的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1,0)和定直线l：x=−1.动点P(x,y)到定点F的距离等于它到定直线l的距离，记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B是曲线C上异于原点O的两个动点，且满足OA⊥OB．
(i)证明：直线AB恒过定点；
(ⅱ)求△AOB面积的最小值．
18.(本小题17分)
人工智能(简称AI)的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能(每人只能选一项)，统计结果如下：
假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响．
(1)从该地区大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)若某学生最喜爱视频创作，则他每天使用该软件超过1小时的概率为0.8；若最喜爱语言翻译，则超过1小时的概率为0.5；若最喜爱图像修复或智绘设计，则超过1小时的概率为0.6.现随机抽取一人，发现他每天使用该软件超过1小时，求他最喜爱视频创作的概率．
19.(本小题17分)
已知f(x)=x2+axlnx+bx；
(Ⅰ)当a=−3，b=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)已知f(x)有两个极值点x1，x2，且满足f(x1)+f(x2)=0，求b的值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若f(x)≥−x+1在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】BD
12.【答案】15
13.【答案】1+ 2
14.【答案】4
15.【答案】解：(1)方法1：设公比为q，
由等比数列性质得出a1+a1q3=18a1q⋅a1q2=32，
解得a1=2q=2或a1=16q=12，
又q>1，∴a1=2q=2，
因此an=a1qn−1=2n．
方法2：设公比为q，
∵{an}是等比数列，∴a2a3=a1a4=32，
又a1+a4=18，解得a1=2a4=16或a1=16a4=2．
又q>1，∴a1=2a4=16，∴q3=8，q=2．
因此an=a1qn−1=2n．
(2)由(1)得Sn=2bn−2n，∴Sn+1=2bn+1−2n+1，
两式作差可得Sn+1−Sn=2bn+1−2n+1−(2bn−2n)，
即bn+1=2bn+1−2n−2bn，整理得bn+1−2bn=2n，n∈N∗．
方程同除以2n+1得，bn+12n+1−bn2n=12，即bn+1an+1−bnan=12(n∈N∗).
∴数列{bnan}是公差为12的等差数列．
16.【答案】解：(1)证明：连接AM，AN，
由于CN/​/AD，CN=AD，
所以四边形ADCN是平行四边形，
所以AN//CD，
由于BMMS=BNNC=2，
所以MN/​/SC．
由于AN⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
所以AN/​/平面SCD．
由于MN⊄平面SCD，SC⊂平面SCD，
所以MN/​/平面SCD．
由于AN⋂MN=N，
所以平面AMN/​/平面SCD，
由于AP⊂平面AMN，
所以AP/​/平面SCD．
(2)由于平面SAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，
由此以B为原点，建立以如图所示空间直角坐标系，

则S(1,0, 3),D(2,1,0),C(0,3,0),SD=(1,1,− 3),CD=(2,−2,0)，
设平面SCD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅SD=x+y− 3z=0n⋅CD=2x−2y=0，故可设n=( 3, 3,2)，
平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1)，
设平面SCD与平面BCD的夹角为θ，
则csθ=|m⋅n|m|⋅|n||=2 10×1= 105．
17.【答案】y2=4x
(i)证明：因为直线AB不垂直于y轴，
设其方程为：x=my+n(m∈R,n≠0)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线AB与抛物线方程，
得x=my+ny2=4x⇒y2−4my−4n=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=−4n，
因为OA⊥OB，
所以x1x2+y1y2=y124y224+y1y2=0，
得n2−4n=0，
又因为n≠0，所以n=4，
即直线AB方程为x=my+4，
则过定点(4,0)；(ii)16
18.【答案】13
分布列为：
E(X)=23
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19.【答案】解：(Ⅰ)当a=−3，b=−1时，
f(x)=x−3lnx−1x，f(1)=0，
所以f′(x)=1−3x+1x2，
所以f′(1)=−1．
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1；
(Ⅱ)因为f(x)=x+alnx+bx，x∈(0,+∞)．
所以f′(x)=1+ax−bx2=x2+ax−bx2，
因为f(x)有两个极值点x1，x2，
所以f′(x)有两个大于0的变号零点，
所以方程x2+ax=b=0有两个不等正根，
所以Δ=a2+4b>0x1x2=−b>0x1+x2=−a>0，解得a2>−4bb