广西贺州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析）

这是一份广西贺州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（试卷+解析），共22页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第五章5.2.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，，，则公差（ ）
A. 1B. C. 2D.
2. 设不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在平行四边形中，，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
5. 若抛物线的焦点为椭圆的一个顶点，则上一点到的焦点的距离为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
6. 若，直线与直线垂直，则数列的前10项和（ ）
A. 511B. 512C. 1023D. 1024
7. 若函数在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列，分别是等差、等比数列，则必有（ ）
A. B.
C D.
10. 空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（ ）
A.
B. 点到直线的距离为
C. 点到平面的距离为
D. 向量在向量上的投影向量的坐标为
11. 当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数中，是同号增函数的有（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数，则__________.
13. 若数列的前项和，则__________.
14. 已知椭圆的右焦点为，点在的左半部分上，点在的右半部分上，且平行于轴，若的离心率，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某款智能汽车具备“自动泊车”和“自动辅助变道”两项功能.已知该款汽车成功完成“自动泊车”的概率为0.8，成功完成“自动辅助变道”的概率为0.9.假设这两项功能的工作状态相互独立.现对该款智能汽车进行一次变道测试和一次泊车测试.
（1）求汽车两项功能测试都成功的概率；
（2）求汽车恰有一项功能测试成功的概率.
16. 已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于两点，若，求的值.
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱中点.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）证明：平面与平面夹角大于.
18. 在数列中，，且.
（1）求通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若数列满足，为数列的前项和，证明：.
19. 已知抛物线：的准线方程为.
（1）求的方程.
（2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的取值范围；
（ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上.
2025-2026学年度秋季学期高二年级期末考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第五章5.2.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，，，则公差（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式计算可得.
【详解】因为在等差数列中，，，
所以.
故选：B
2. 设不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出解集M，再逐项一一判断即可．
【详解】可变形为，也即，
解得，
对于A，，所以，故A正确；
对于B，，所以，故B错误；
对于C，，所以，故C错误；
对于D，，所以，故D错误．
故选：A．
3. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】因为
，
又复数为纯虚数，
所以，解得.
故选：B
4. 在平行四边形中，，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】用、表示出、，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】在平行四边形中，，，
所以
.
故选：D
5. 若抛物线的焦点为椭圆的一个顶点，则上一点到的焦点的距离为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标，椭圆在长轴上的顶点，即可求出，从而求出抛物线方程及准线方程，最后由焦半径公式计算可得.
【详解】抛物线的焦点为，
又椭圆在长轴上的顶点为和，
所以，解得，
所以抛物线，则抛物线的准线方程为，
所以上一点到的焦点的距离为.
故选：A
6. 若，直线与直线垂直，则数列的前10项和（ ）
A. 511B. 512C. 1023D. 1024
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线垂直得到，即可求出，再由等比数列求和公式计算可得.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，则，
所以.
故选：C
7. 若函数在上恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据可求得，再根据恰有3个零点可列不等式组，解之即可．
【详解】因为 且 ，所以，
又因为恰有3个零点，所以，解得，
的取值范围为．
故选：A．
8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设曲线上的切点为，曲线上的切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程组，求出、，即可得到切线方程，从而求出的值.
【详解】设曲线上的切点为，
曲线上的切点为，
由可得，则
，所以切线方程为，
由可得，则，
所以，即，解得，
切线方程为，即，所以.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列，分别是等差、等比数列，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据等差数列下标和性质判断A，根据等差数列通项公式判断B，根据等比数列下标和性质判断C、D.
【详解】对于A：因为，
所以由等差数列的性质可得，故 A 正确；
对于B：设等差数列的公差为，
因为，，
当时，故B错误；
对于C：因为，
所以由等比数列的性质可得不一定等于，故C错误；
对于D：因为，
所以由等比数列的性质可得，故D正确.
故选：AD
10. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（ ）
A.
B. 点到直线的距离为
C. 点到平面的距离为
D. 向量在向量上的投影向量的坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标表示判断A，利用空间向量法求点到直线的距离判断B，求出平面的法向量，利用空间向量法求点到平面的距离判断C，利用投影向量的定义判断D.
【详解】对于A：因为，，所以，故A正确；
对于B：因为 ，，所以 ，
又，则，
，，
所以点到直线的距离为 ，故B错误；
对于C：因为，，，
设平面的法向量为，
则，取，则点到平面的距离 ，故C正确；
对于D：因为，，所以，，
所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD
11. 当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数中，是同号增函数的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】解，再判断在对应区间上是否为增函数.
【详解】A选项，得，得，
在，上单调递增，故A正确；
B选项，，得，
而，故B错误；
C选项，得，得，
因为在上单调递增，且，
所以在上单调递增，
则在上单调递增，故C正确；
D选项，得；得，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以上单调递增，
故在上单调递增，故D正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数导函数，即可求出，再根据导数的定义计算可得.
【详解】因为，所以，则，
所以.
故答案为：
13. 若数列的前项和，则__________.
【答案】85
【解析】
【分析】根据、的关系求出、即可．
【详解】，，
所以．
故答案为：85．
14. 已知椭圆的右焦点为，点在的左半部分上，点在的右半部分上，且平行于轴，若的离心率，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】设的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，设，即可表示、，再在中利用余弦定理表示出，从而得到，即可得解.
【详解】设的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为.
依题意可得四边形为等腰梯形，则，
设，则，，，
由椭圆的定义得，
在中，
，
所以整理得，则.
故答案：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某款智能汽车具备“自动泊车”和“自动辅助变道”两项功能.已知该款汽车成功完成“自动泊车”的概率为0.8，成功完成“自动辅助变道”的概率为0.9.假设这两项功能的工作状态相互独立.现对该款智能汽车进行一次变道测试和一次泊车测试.
（1）求汽车两项功能测试都成功的概率；
（2）求汽车恰有一项功能测试成功的概率.
【答案】（1）0.72；
（2）026.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式列式计算.
（2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式求解.
【小问1详解】
记事件成功完成“自动泊车”，事件成功完成“自动辅助变道”，事件相互独立，
则，汽车两项功能测试都成功的事件为，
所以汽车两项功能测试都成功的概率.
【小问2详解】
汽车恰有一项功能测试成功的事件为，
因此，
所以汽车恰有一项功能测试成功的概率为0.26.
16. 已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于两点，若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设双曲线方程为，即可求出、，从而求出；
（2）设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可.
【小问1详解】
依题意设双曲线方程为，
所以，解得，则，
所以双曲线方程为；
小问2详解】
设，，
由，消去整理得，
所以，解得或，
又，，
所以，
即，解得（满足），
所以.
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）证明：平面与平面的夹角大于.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证；
（2）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到底面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得；
（3）由（1）可得平面的一个法向量为，利用空间向量法求出平面与平面的夹角的余弦值，再由余弦函数的性质即可证明.
【小问1详解】
因为，平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，又平面，所以，
因为是棱的中点，侧面是正三角形，
所以，
又，平面，所以平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以底面，
以为坐标原点，过点作，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得；
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
因为，由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
设平面与平面的夹角为，则，
因为，，所以，
即平面与平面的夹角大于.
18. 在数列中，，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若数列满足，为数列的前项和，证明：.
【答案】（1）
（2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题可知，数列是首项为，公差为的等差数列.由此求得其通项公式，进而求得的通项公式；
（2）由（1）求得的通项公式，分为偶数和为奇数两种情况进行分析 ，求得数列的前项和；
（3）根据和与项的关系求得的通项公式，从而求得数列的通项公式，求得数列的通项公式，根据裂项相消求和法求得，根据不等式的性质，即可证明.
【小问1详解】
由，得.
因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以，所以.
即的通项公式为；
【小问2详解】
由（1）知，
当为偶数时，，
所以……①，
……②，
①②，得，
所以；
当为奇数时，，
所以，
令，则，
两式作差，得，
所以，
所以.
综上，.
【小问3详解】
因为，
当时，.
所以当时，，
所以当时，，
当时，，满足上式，所以.
因为，所以.
所以，
所以.
因为，所以，所以，
所以，即.
19. 已知抛物线：的准线方程为.
（1）求的方程.
（2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的取值范围；
（ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）；（ⅲ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线标准方程求解即可；
（2）（ⅰ）直线与抛物线有两个交点，利用判别式求解即可；（ⅱ）表示，利用的取值范围求解即可；（ⅲ）利用设点和韦达定理，可求解的中点坐标的关系，即可证明.
【小问1详解】
根据题意可知准线方程为，即的准线方程为，
所以，即，
所以，
则抛物线的方程为：；
【小问2详解】
（ⅰ）依题意得直线的方程为，
当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，
当时，代入，
得，
则且，解得且，
所以的取值范围是；
（ⅱ）设，，根据（ⅰ），利用韦达定理可得：
，，
所以，
代入可得：；
若，即，则，
所以 ，
即的取值范围是；
（ⅲ）
因为直线OB的方程为，
所以点的坐标为，
设线段AD的中点为，则，，
则
，
所以点在直线上，故线段AD的中点在一条定直线上.