2025-2026学年河南省驻马店市高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年河南省驻马店市高一（下）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=（2+ai）i为“等部复数”，则实数a的值为（ ）
A. -1B. 0C. 2D. -2
2.已知角α为第二象限角，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知m,n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n
B. 若m∥α，m∥β，则α∥β
C. 若m∥α，α∥β，则m∥β
D. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,则l⊥γ
4.下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）
A. B. C. D.
5.已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若，则=（ ）
A. 2B. C. 3D.
6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=3，BC=4，∠ABC=90°，则点A到平面PBC的距离为（ ）
A.
B.
C. 3
D.
7.将函数f（x）=csx的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数g（x）的图象．若函数g（x）在上没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A. B. C. D. （0，1]
8.在平行四边形ABCD中，，AB=1，AD=2.P是以C为圆心，为半径的圆上一动点，且，则λ+μ的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对（z1，z2）（z1，z2∈C）看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，z1，z2，z3，z4∈C，规定如下运算法则：
①；
②；
③；
④.
则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C.
D.
10.设平面向量，，在方向上的投影向量为，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，在正三棱锥A-BCD中，底面边长为a,侧棱长为3a,点E，F分别为侧棱AC，AD上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点E、F，使得AC⊥平面BEF
B. 若，，则
C. 若CD∥平面BEF，则EF∥CD
D. △BEF周长的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知非零向量，的夹角为，，，则||= .
13.在△ABC中，，，若△ABC存在且唯一确定，则b的取值范围为 .
14.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载称顶部只有一条棱的五面体称为“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF∥底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，.已知该刍甍的体积为，且侧面ADE与底面ABCD所成二面角的正切值为.若该刍甍的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设是两个向量，
（1）若不共线，且，求实数m的值；
（2）已知向量满足，，，求.
16.(本小题15分)
已知α为锐角，β为钝角，且，.
（1）求sin2β的值；
（2）求β-2α的值.
17.(本小题15分)
已知函数，x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1-x2|的最小值是π.
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在上的值域；
（3）若对任意的，不等式a[f（x）]2-f（x）+5a≥0恒成立，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥M-ABCD中，AD∥BC，AC⊥CD，BC=2AD，△MAD为等边三角形，平面MAD⊥平面ABCD，点N在棱MD上，直线MB∥平面ACN.
（1）证明：MN=2ND.
（2）设二面角M-AC-D的平面角为α，直线CN与平面ABCD所成的角为θ，若tanα的取值范围是，求tanθ的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，点P是边长为2的等边△ABC内部（不包括边）任意一点，△PBC绕点B逆时针旋转得到△QBA.
（1）若，求PQ；
（2）若，求△APQ的周长；
（3）求△APQ面积最大值.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】6
13.【答案】{2}∪[2，+∞）
14.【答案】32π
15.【答案】m=±3
5
16.【答案】解：（1）；
（2）因为α为锐角，，可得，
由，可得，
所以，
则，
又因为，所以，而，
可得0＜β-2α＜π，所以．
17.【答案】ω=2；
[1，4]；
．
18.【答案】解：（1）证明：连接BD交AC于O，连接ON．

因为AD∥BC，BC=2AD，
所以根据相似的性质可得．
因为直线MB∥平面ACN，MB⊂平面MBD，平面ACN⋂平面MBD=ON，
所以MB∥ON，
则，
所以MN=2ND．
（2）取AD的中点E，AC的中点F，连接ME，EF，MF．
因为△MAD为等边三角形，
所以不妨设MA=AD=MD=6，
则，ME⊥AD．
因为平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD=AD，ME⊂平面AMD，
所以ME⊥平面ABCD，EF，AC⊂平面ABCD，
所以ME⊥EF，ME⊥AC．
又因为E，F分别为AD，AC的中点，
所以EF∥CD，
而AC⊥CD，
所以AC⊥EF，
又ME∩EF=E，ME，EF⊂平面MEF，
则AC⊥平面MEF，
又MF⊂平面MEF，
则AC⊥MF，
所以∠MFE是二面角M-AC-D的平面角，即∠MFE=α．
设EF=m,
则，得．
过N作NH∥ME交AD于H，连接CH，由于ME⊥平面ABCD，
所以NH⊥平面ABCD，
则∠NCH为直线CN与平面ABCD所成的角，即∠NCH=θ．
，，CD=2m.
因为，
所以，
则．
因为，
所以．
故tanθ的取值范围为．
19.【答案】（1）∵△PBC绕点B逆时针旋转得到△QBA，∴PB绕点B逆时针旋转得到QB，∴△PQB为等边三角形，；
（2）∵，∴△PBC的外接圆半径，
设外接圆心O，以O为原点，射线OA为y轴，建立直角坐标系，如图所示：

设OP与x轴正方向所成的角为θ，点P轨迹为圆弧BC（不含端点），
，，，，
，
解得，，
∴点P坐标为，由于，
所以点P在圆弧BC（不含端点）上，符合题意，
由于BP=BQ，，∴△PBQ为等边三角形，∴PQ=PB，
∵△PBC绕点B逆时针旋转得到△QBA，∴AQ=PC，∴求△APQ的周长即为求|AP|+|BP|+|CP|，
当点P坐标为时，
．
所求△APQ的周长，
当点P坐标为时，同理可得所求△APQ的周长，
∴所求△APQ的周长；
（3）设PB=a,由于△PBQ为等边三角形，设BD⊥PQ，垂足为D，则，
∴PQ与以B为圆心，以为半径的圆的部分弧相切，切点为D．如图所示：

设弧与AB交点为M，AE⊥PQ，垂足为E则AE≥AM，
当且仅当D，M重合时，E，M重合，此时AE=AM，
，
且，
即P恰好为△ABC中心时取到“等号”，∴△APQ面积最大值为．