九年级上册（2024）1.3 用反比例函数解决问题同步练习题

这是一份九年级上册（2024）1.3 用反比例函数解决问题同步练习题，共3页。试卷主要包含了解题步骤，实际取值，增减规律，1公顷，5小时，由8，7°℃ ，等内容，欢迎下载使用。

题型01利用反比例函数解决图形问题
题型02 利用反比例函数解决工程问题
题型03 利用反比例函数解决表格问题
题型04 利用反比例函数解决销售问题
题型05 利用反比例函数解决行程问题
题型06 利用反比例函数解决物理问题
题型07 利用反比例函数解决其它问题
题型08 反比例函数实际应用的综合题
▌题型01 利用反比例函数解决图形问题
◆1.核心依据图形面积 / 体积固定，两条相关边长成反比例关系。
长方形：S=ab；柱体：V=Sh；三角形：S=12ah，定值为k，关系式xy=k。
◆2.解题步骤
①找出不变的面积 / 体积，算出k；
②设两条边长为，列出y=kx；
③边长x>0，舍去负数解；
④代入数值求边长，或根据增减性判断取值范围。
【典例1】（2025·湖南常德·二模）如图，矩形ABCD中，边AB长为x，边AD长为y，矩形的面积为8，则y关于x的函数关系式为__________．
【变式1-1】（2025·安徽合肥·二模）设等腰直角△ABC的斜边为x，斜边上的高为y，y与x满足的反比例函数关系如图所
示，则x+y的值为___________．
【变式1-2】（23-24九年级下·湖南长沙·期中）某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为28m2，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为xm，另一边长为ym的矩形(如图所示)，依题意可得y关于x的函数关系式为_____________________________（不必写明自变量x的取值范围）．
【变式1-3】（25-26八年级下·重庆忠县·期末）李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟．
(1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围；
(2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，求四边形OAPB的面积．
▌题型02 利用反比例函数解决工程问题
◆1.等量关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，总量固定时，效率v、时间t成反比，vt=W（W为定值，即k）
◆2.建模流程：
① 找到不变的工程总量；
② 设效率 / 时间为变量，列出xy=k关系式；
③ 代入已知数值求k，得到函数解析式；
④ 根据问题求对应效率、时间，判断增减变化；实际取值：效率、时间均为正数，自变量x>0；增减规律：k>0，效率越高，完成时间越短。
◆3.实际取值：效率、时间均为正数，自变量x>0；
◆4.增减规律：k>0，效率越高，完成时间越短。
【典例2】（2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为0.1公顷
【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程
中运送土石方的任务，已知该运输公司平均运送效率v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：
天）之间是反比例函数关系，且当t=6时，v=12000．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若该运输公司每天可运送土石方8000m3，求完成全部运输任务需要多少天？
【变式1-2】（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量qm3与排水总时间t(h)之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为80h时，每小时平均排水量为6m3．
(1)求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(2)若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？
【变式1-3】（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（h）．
(1)求t与x之间的函数关系式；
(2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？
(3)已知一个进水管的注水速度为25m3/h，则此游泳池的容积是多少？若要注入480m3的水，需要同时打开6个进水管多长时间？
▌题型03 利用反比例函数解决表格问题
◆1.判断反比例关系：表格每组x⋅y乘积全部相等，即为反比例函数；两类考法解法：
（1）已知一组：相乘得k，写出y=kx​，再代入表格空白x求y；
（2）给出完整解析式：直接把表格x代入计算对应y；
◆2.验证技巧：算出结果后代回表格，核对xy乘积是否统一；
◆3.实际表格题：自变量要符合题意，舍去 0、负数。
【典例3】（2026·贵州遵义·一模）小红同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：cm）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：cm）的几组数据．
(1)已知像高y与物距x之间是反比例函数关系，请求出该函数关系式；
(2)当像高为2.4cm时，物距是多少厘米？
(3)因为实验器材限制，物距（x）不能超过为10cm，则像高（y）的范围是__________．
【变式1-1】（25-26九年级上·山东聊城·期末）某饮水机的工作流程为：先将20℃的饮用水加热到100℃，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整个工作过程中水温y℃与通电时间xmin满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表：
(1)饮水机在加热过程中，水温为y℃与通电时间xmin满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式；
(2)饮水机停止加热，水温下降过程中，水温y℃与通电时间xmin满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式；
(3)已知某种茶冲泡的最佳温度在80℃左右．现用该款饮水机把初始温度为40℃的水加热到100℃，再降温到80℃使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间．
【变式1-2】（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离．记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表格．
(1)观察表格，y与x之间的函数关系式为______．（不必写出自变量x的取值范围）
(2)当托盘B中砝码的质量为24g时，求托盘B与点O的距离．
(3)当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘B中添加砝码还是减少砝码？请说明理由．
【变式1-3】（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O处左侧固定位置B并悬挂重物A，在中点O处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况．他把5组实验数据记录如下：
小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误
(1)小华第__________组数据的记录出现了错误．
(2)求y与x之间的函数关系表达式．
(3)若弹簧秤的示数为2.5N，求此时弹簧秤与点O的距离．
▌题型04 利用反比例函数解决销售问题
◆1.核心等量：总销售额 = 单价 × 销量，总销售额固定时，单价p、销量m成反比，p⋅m=k；
◆2.标准解题步骤：
① 提取不变销售总额，确定k；
② 列反比例解析式y=kx；
③ 给出单价求销量 / 给出销量求单价，列方程求解；
④ 检验：单价、销量不能为负、不能为 0，不符合题意解直接舍去；
◆3.拓展考点：结合图像上定点，定点坐标直接代入求k。
【典例4】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：kg）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示，
(1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围；
(2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？
【变式1-1】（25-26九年级上·江西上饶·期末）某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本y（元）与生产数量x（个）之间近似满足反比例函数关系．
(1)已知生产100个零件时，每个零件的生产成本为50元，求y关于x的函数解析式；
(2)若要将每个零件的生产成本控制在30元以内（不包含30元），那么至少需要生产多少个零件？
【变式1-2】（2026·江苏南京·二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？
【变式1-3】目前中学生视力下降严重，某公司开发了一款护眼贴，自上市以来，非常畅销．公司研究发现，每副护眼贴的成本y（元）和销售的数量m（副）是一次函数、二次函数和反比例函数中的一种函数关系，如下表格所示．当销售的护眼贴达到或超过3600副时，每副护眼贴的成本不再变化．预测下一个月销售量将达到或超过3600副，并且发现每副按10元出售时，能销售5000副，单价每提高1元，销售量就会下降200副．
(1)请你求出y与m的函数关系式；
(2)设下个月销售获得总利润是w元，设下个月销售单价是每副xx>10元，请你写出w与x间的函数关系式；求出下个月w的最大值．
▌题型05 利用反比例函数解决行程问题
◆1.基础关系：路程 = 速度 × 时间，路程固定，速度v、时间t成反比，vt=s（s定值 = k）
◆2.函数值大小比较 3 种方法：
① 性质法：同一分支，k>0，x 越大 y 越小；k0，只使用第一象限图像；
◆4.应用：求提速后用时、规定时间求最低速度。
【典例5】（23-24八年级下·全国·期末）合安高速（合肥到安庆）全程170千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间t（小时）与平均速度v（千米/小时）之间的函数表达式是______．
【变式1-1】（24-25九年级上·广西·期中）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时的速度为25m/s，则所受阻力F为________N．
【变式1-2】（2025九年级上·北京·专题练习）小明从家到学校，路程为1200米，步行的速度v（米/分钟）与所用时间t（分钟）成反比例关系．
(1)写出v与t之间的函数关系式；
(2)若小明步行的速度是60米/分钟，求他从家到学校需要多少时间？
【变式1-3】（2026·河南·中考真题）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午8:00从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度v（kmℎ）与步行全程所用时间t（h）的函数关系如图1所示．
(1)求v关于t的函数表达式．
(2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h，那么学生步行的平均速度至少为多少？
(3)学生出发0.25h后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程y（km）与学生步行时间t（h）的函数关系如图2所示．下列三个说法：
①李老师在补给点停留的时间为1h；
②李老师比学生先到达长征纪念广场；
③学生从学校到补给点所走路程为4km．
其中正确说法的序号是_____．
▌题型06 利用反比例函数解决物理问题
◆1.物理恒定量对应k：压强、欧姆定律、密度等公式，定值量 = k；
例：p=FS​（压力 F 不变，压强 p 与面积 S 反比）；I= UR （电压 U 不变，电流 I 与电阻 R 反比）
◆2.图像核心性质：
k＞0：一、三象限，每个象限内 y 随 x 增大而减小；
k＜0：二、四象限，每个象限内 y 随 x 增大而增大；
◆3.解题逻辑：
① 找准不变物理量，建立反比例模型；
② 利用图像增减性分析变量变化趋势；
③ 代入数值计算物理量大小。
【典例6】（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量m（单位：g）不变，其体积V（单位：cm3）与密度ρ（单位：gcm3）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是20g/cm3时，其体积是（ ）
A．0cm3B．16cm3C．20cm3D．24cm3
【变式1-1】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从6A增加到10A时，电阻R（ ）
A．减小了2.4ΩB．减小了4ΩC．增大了2.4ΩD．增大了4Ω
【变式1-2】（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度ℎ（cm）是液体的密度ρ（gcm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ>0），下列说法正确的是（ ）
A．当ρ≥1时，ℎ≥10B．当00，x越大，y越小
◆4.易错点：忽略实际意义，保留负数、零解
【典例7】（25-26九年级上·山东滨州·期末）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度ymg/L随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15天）不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【变式1-1】（2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升16∘C，加热到100∘C时，停止加热，水温开始下降，此时水温y℃是通电时间xmin的反比例函数．若在水温为20∘C时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示．
(1)将水从20∘C加热到100∘C需要________min；
(2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式；
(3)加热一次，水温不低于50∘C的时间有多长？
【变式1-2】（2026九年级下·全国·专题练习）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线AB的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22:00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6:30能否驾车去上班？请说明理由．
【变式1-3】（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长40cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距10cm处挂一个重5 N的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：cm）满足反比例关系．
(1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围
(2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为4cm．弹簧测力计的拉力F N是弹簧伸长的长度x cm的正比例函数，如图2所示．
①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围；
②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图）
▌题型08 反比例函数实际应用的综合题
常见综合模型
1. 一次 + 反比例分段（降温、排污、饮水机）：共用分界点，分段求解析式
2. 反比例 + 二次利润（销售压轴）：单件成本反比例，总利润为二次函数
3. 表格 + 图像综合：表格判函数，图像取范围
4. 双重反比例跨学科（杠杆、电路）：两组变量乘积均为定值。
【典例8】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）为了预防冬季流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题．
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为______；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为______．
(2)研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于25分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【变式1-1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到100°C时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至30°C时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于7:20到校接通饮水机电源，记接通电源后第x分钟时对应的水温为y°C，水温随时间变化的测量数据如表所示：
请根据上述信息解决下列问题：
(1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点；
(2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(3)上午第一节下课时间为8:45，同学们能不能喝到不超过50°C的水？请通过计算说明．
【变式1-2】（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R=R0+R1，已知R0=20Ω．可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A．
(1)当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值；
(2)求I关于总电阻R的函数解析式：
(3)当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围．
【变式1-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段0~24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y℃随时间x（时）变化的图象，如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为15℃，线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到15℃．
(1)线段AB的函数解析式和定义域为______；
(2)双曲线CD段的函数解析式和定义域为______；
(3)求该大棚在0~24时内，温度不低于24℃的时长是______；
(4)此地日出时间为7:00，日落时间为17:00，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于24℃，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求．
答案与解析
▌题型01 利用反比例函数解决图形问题
◆1.核心依据图形面积 / 体积固定，两条相关边长成反比例关系。
长方形：S=ab；柱体：V=Sh；三角形：S=12ah，定值为k，关系式xy=k。
◆2.解题步骤
①找出不变的面积 / 体积，算出k；
②设两条边长为，列出y=kx；
③边长x>0，舍去负数解；
④代入数值求边长，或根据增减性判断取值范围。
【典例1】（2025·湖南常德·二模）如图，矩形ABCD中，边AB长为x，边AD长为y，矩形的面积为8，则y关于x的函数关系式为__________．
【答案】y=8x
【分析】本题考查了反比函数的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键；
根据面积公式列式，即可得出函数关系式．
【详解】∵矩形ABCD中，边AB长为x，边AD长为y，矩形的面积为8，
∴S=xy=8，
变形得y=8x，
故答案为：y=8x．
【变式1-1】（2025·安徽合肥·二模）设等腰直角△ABC的斜边为x，斜边上的高为y，y与x满足的反比例函数关系如图所
示，则x+y的值为___________．
【答案】32
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的应用，等腰直角三角形的性质可得y=12x，由反比例函数的定义可得xy=4，从而求出x=22，y=12x=2，即可得解．
【详解】解：∵等腰直角△ABC的斜边为x，斜边上的高为y，
∴y=12x，
由题意可得：xy=4，
∴12x2=4，
∴x=22（负值不符合题意，舍去），
∴y=12x=2，
∴x+y=32，
故答案为：32．
【变式1-2】（23-24九年级下·湖南长沙·期中）某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，总面积为28m2，并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地，每个小蔬菜基地都是一边长为xm，另一边长为ym的矩形(如图所示)，依题意可得y关于x的函数关系式为_____________________________（不必写明自变量x的取值范围）．
【答案】y=7x
【分析】根据4x·y=28变形计算即可，本题考查了反比例函数的解析式确定，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键．
【详解】根据题意，得4x·y=28，
故y=7x，
故答案为：y=7x．
【变式1-3】（25-26八年级下·重庆忠县·期末）李老师家到学校的路程为3千米，设李老师匀速走路去上班速度为x（单位：米/分钟），时间为y（单位：分钟），最快需要30分钟，最慢需要50分钟．
(1)以x为自变量，求函数y的解析式，并求出x的取值范围；
(2)若点P在该函数图象上，O为坐标原点，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，求四边形OAPB的面积．
【答案】(1)函数解析式为y=3000x，自变量x的取值范围是60≤x≤100；
(2)四边形OAPB的面积为3000．
【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系推导函数解析式，再结合给定的时间范围得到自变量的取值范围；
（2）利用矩形面积公式结合反比例函数的性质即可求出四边形的面积．
【详解】（1）解：3千米=3000米，
根据路程公式：路程=速度×时间，可得xy=3000，
整理得函数解析式为y=3000x，
由题意可知30≤y≤50，
当y=30时，x=300030=100，
当y=50时，x=300050=60，
∵反比例函数y=3000x在x>0时，y随x增大而减小，
∴x的取值范围是60≤x≤100；
（2）解：设点P的坐标为(a,b)，
由PA⊥x轴，PB⊥y轴，可得四边形OAPB是矩形，
矩形面积S=OA⋅PA=a⋅b，
∵点P在函数y=3000x的图象上，
∴S=ab=3000，
即四边形OAPB的面积为3000．
▌题型02 利用反比例函数解决工程问题
◆1.等量关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，总量固定时，效率v、时间t成反比，vt=W（W为定值，即k）
◆2.建模流程：
① 找到不变的工程总量；
② 设效率 / 时间为变量，列出xy=k关系式；
③ 代入已知数值求k，得到函数解析式；
④ 根据问题求对应效率、时间，判断增减变化；实际取值：效率、时间均为正数，自变量x>0；增减规律：k>0，效率越高，完成时间越短。
◆3.实际取值：效率、时间均为正数，自变量x>0；
◆4.增减规律：k>0，效率越高，完成时间越短。
【典例2】（2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为0.1公顷
【答案】D
【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D．
【详解】解：根据题意，xy=50，则y=50x，
故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少，
故选项B、A错误，不符合题意；
当y=2时，由2=50x得x=25，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意；
当x=500时，y=50500=0.1，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为0.1公顷，故选项D正确，符合题意．
【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程
中运送土石方的任务，已知该运输公司平均运送效率v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：
天）之间是反比例函数关系，且当t=6时，v=12000．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若该运输公司每天可运送土石方8000m3，求完成全部运输任务需要多少天？
【答案】(1)v=72000t(t>0)
(2)9天
【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是根据题意列出反比例函数解析式．
（1）根据题意可知，运输公司平均每天的工作量v×完成运送任务所需的时间t（天）=运输总量，得出函数关系式；
（2）把v=8000代入反比例函数解析式，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：vt=6×12000=72000，
∴v与t之间的函数关系式为v=72000tt>0；
（2）解：在v=72000t中，当v=8000时，
∴t=720008000=9．
答：公司完成全部运输任务需要9天．
【变式1-2】（25-26九年级上·湖南湘潭·期末）某小区为方便住户用水，在高处修建了一个蓄水池．该蓄水池蓄满水后关闭进水口，打开排水管开始匀速排水．已知每小时平均排水量qm3与排水总时间t(h)之间成反比例关系，其函数图象如图所示．当排水总时间为80h时，每小时平均排水量为6m3．
(1)求每小时平均排水量q（立方米）与排完水池中的水所用时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(2)若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水，10小时恰好排完，那么每小时平均排水量是多少立方米？
【答案】(1)q=480t t>0
(2)每小时平均排水量是48m3．
【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是关键．
（1）根据待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出当t=10时的函数值即可．
【详解】（1）解：依题意可设q=kt(k≠0)，
当排水总时间为80h时，每小时平均排水量为6m3，则有
k=q⋅t=6×80=480
∴q=480t t>0
（2）当t=10时
q=480t=48010=48
答：每小时平均排水量是48m3
【变式1-3】（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（h）．
(1)求t与x之间的函数关系式；
(2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？
(3)已知一个进水管的注水速度为25m3/h，则此游泳池的容积是多少？若要注入480m3的水，需要同时打开6个进水管多长时间？
【答案】(1)t=24x
(2)12个
(3)此游泳池的容积是600m3，注入480m3的水需要同时打开6个进水管3.2小时
【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当x=1时，t=24，设t=kx，进而求解即可；
（2）将t=2代入反比例函数关系式求解即可；
（3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为25m3/h”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可．
【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当x=1时，t=24，
设t=kx，
∴24=k1，
解得：k=24，
∴t=24x；
（2）解：当t=2时，2=24x，
解得x=12．
∴需要同时打开12个进水管；
（3）解：∵1×25×24=600m3，
∴此游泳池的容积是600m3．
4806×25=3.2h．
答：此游泳池的容积是600m3，注入480m3的水需要同时打开6个进水管3.2小时．
▌题型03 利用反比例函数解决表格问题
◆1.判断反比例关系：表格每组x⋅y乘积全部相等，即为反比例函数；两类考法解法：
（1）已知一组：相乘得k，写出y=kx​，再代入表格空白x求y；
（2）给出完整解析式：直接把表格x代入计算对应y；
◆2.验证技巧：算出结果后代回表格，核对xy乘积是否统一；
◆3.实际表格题：自变量要符合题意，舍去 0、负数。
【典例3】（2026·贵州遵义·一模）小红同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：cm）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：cm）的几组数据．
(1)已知像高y与物距x之间是反比例函数关系，请求出该函数关系式；
(2)当像高为2.4cm时，物距是多少厘米？
(3)因为实验器材限制，物距（x）不能超过为10cm，则像高（y）的范围是__________．
【答案】(1)y=12x
(2)物距是5厘米；
(3)y≥1.2
【分析】（1）根据题中数据，可以发现像高y与物距x的乘积为常数12，因此像高y与物距x之间满足反比例函数关系即可；
（2）当y=2.4时，代入求得x的值即可；
（3）由于物距x不能超过10cm，即x≤10，根据反比例函数性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵像高y与物距x之间满足反比例函数关系，
∴设像高y关于物距x的函数关系式为y=kx，
∴k=2×6=12，
∴像高y关于物距x的函数关系式为y=12x；
（2）解：当y=2.4时，2.4=12x，
解得x=5，
∴物距是5厘米；
（3）解：由于物距x不能超过10cm，即00，
∴该函数图像在第一象限内，y的值随x值的增大而减小．
∵当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，x逐渐减小，
∴y逐渐增大，
∴应往托盘B中添加砝码．
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
（1）观察表格可得：x,y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）把y=24代入解析式求解，可得答案；
（3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断增大，砝码的示数应该不断减小．
【详解】（1）解：根据表格可得：10×30=15×20=25×12=30×10=300，即xy=300，
∴y与x的函数关系式为：y=300x；
（2）解：把y=24代入y=300x，得24=300x，
解得x=12.5．
答：当托盘B中砝码的质量为24g时，托盘B与点O的距离是12.5cm．
（3）略
【变式1-3】（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O处左侧固定位置B并悬挂重物A，在中点O处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况．他把5组实验数据记录如下：
小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误
(1)小华第__________组数据的记录出现了错误．
(2)求y与x之间的函数关系表达式．
(3)若弹簧秤的示数为2.5N，求此时弹簧秤与点O的距离．
【答案】(1)5
(2)y=100x(x>0)
(3)40cm
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涵盖了反比例函数表达式求解、代入求值等知识，同时结合了物理中的杠杆平衡原理．
（1）分别计算每组数据的乘积，对比发现只有第5组的乘积不等于100，从而得出结论；
（2）由（1）可知y与x成反比例关系，因此设函数表达式为y=kx(k≠0)，代入一组正确的数据即可求出k的值；
（3）已知弹簧秤的示数y=2.5N，将其代入已求出的函数表达式y=100x，即可解出对应的x值．
【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积：
第1组：5×20=100；
第2组：10×10=100；
第3组：20×5=100；
第4组：25×4=100；
第5组：30×3=90≠100；
故第5组数据记录出现了错误；
故答案为：5；
（2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点O的距离x(cm)与观察弹簧秤的示数y(N)之积相等，所以y与x成反比例关系，设函数表达式为y=kx(k≠0,x>0)；
将第1组数据(5,20)代入，得20=k5，解得k=100；
因此y与x之间的函数表达式为y=100x(x>0)；
（3）解：将y=2.5代入y=100x，得2.5=100x；
解得x=1002.5=40；
故此时弹簧秤与点O的距离为40cm．
▌题型04 利用反比例函数解决销售问题
◆1.核心等量：总销售额 = 单价 × 销量，总销售额固定时，单价p、销量m成反比，p⋅m=k；
◆2.标准解题步骤：
① 提取不变销售总额，确定k；
② 列反比例解析式y=kx；
③ 给出单价求销量 / 给出销量求单价，列方程求解；
④ 检验：单价、销量不能为负、不能为 0，不符合题意解直接舍去；
◆3.拓展考点：结合图像上定点，定点坐标直接代入求k。
【典例4】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：kg）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示，
(1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围；
(2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？
【答案】(1)y=120x8≤x≤20
(2)8kg
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值．
（1）设反比例函数的解析式为y=kxk≠0，将点P12,10代入解析式求解，即可解题；
（2）将x=15代入（1）中求出的解析式求解，即可解题．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为y=kxk≠0，
由图象知反比例函数经过点P12,10，
即：k=10×12=120，
所以反比例函数的解析式为y=120x8≤x≤20；
（2）解：令x=15得y=12015=8，
答：日销售单价为15元时，日销售量为8kg．
【变式1-1】（25-26九年级上·江西上饶·期末）某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本y（元）与生产数量x（个）之间近似满足反比例函数关系．
(1)已知生产100个零件时，每个零件的生产成本为50元，求y关于x的函数解析式；
(2)若要将每个零件的生产成本控制在30元以内（不包含30元），那么至少需要生产多少个零件？
【答案】(1)y=5000xx>0
(2)167个
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意列出函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质解题即可．
【详解】（1）解：设y关于x的反比例函数解析式为y=kx，
当x=100时，y=50，
将其代入函数解析式可得k=5000，
∴y关于x的函数解析式为y=5000xx>0；
（2）解：当y=30时，代入y=5000x可得30=5000x，
解得x=16623，
∵x>0时y随x的增大而减小，且要将生产成本控制在30元以内（不包含30元），
∴x需要大于16623，
又∵x为零件的生产数量，应为正整数，
∴x至少为167，故至少需要生产167个零件．
【变式1-2】（2026·江苏南京·二模）某箱包厂计划生产一批双肩包，已知双肩包的成本y（元/个）由材料成本和加工成本两部分组成．其中材料成本保持不变，加工成本与加工数量x（个）成反比例函数关系．经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个；生产2000个双肩包，成本是35元/个．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？
【答案】(1)
y=10000x+30(x>0)
(2)
5000个
【分析】（1）先根据题意设出函数形式，因为材料成本为常数，加工成本与x成反比例，所以可设y=kx+b，其中b为材料成本，k为反比例系数，将已知的两组x、y对应值代入所设函数，得到关于b和k的二元一次方程组，解方程组求出b和k的值，即可得到y与x的函数表达式．
（2）把y=32代入已求出的函数表达式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出对应的生产数量．
【详解】（1）解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定，
因此设函数表达式为： y=kx+b(k≠0)，其中kx是单个的加工成本，b是固定的材料成本．
将x=1000,y=40和x=2000,y=35分别代入得方程组： {k1000+b=40k2000+b=35，
两式相减消去b得：k2000=5，解得k=10000，
再代入得b=30．
因此y与x的函数表达式为：y=10000x+30(x>0)；
（2）解：把y=32代入函数表达式： 32=10000x+30，
整理得10000x=2，解得x=5000．
答：应生产5000个双肩包．
【变式1-3】目前中学生视力下降严重，某公司开发了一款护眼贴，自上市以来，非常畅销．公司研究发现，每副护眼贴的成本y（元）和销售的数量m（副）是一次函数、二次函数和反比例函数中的一种函数关系，如下表格所示．当销售的护眼贴达到或超过3600副时，每副护眼贴的成本不再变化．预测下一个月销售量将达到或超过3600副，并且发现每副按10元出售时，能销售5000副，单价每提高1元，销售量就会下降200副．
(1)请你求出y与m的函数关系式；
(2)设下个月销售获得总利润是w元，设下个月销售单价是每副xx>10元，请你写出w与x间的函数关系式；求出下个月w的最大值．
【答案】(1)y与m的函数关系式为y=18000m00，x越大，y越小
◆4.易错点：忽略实际意义，保留负数、零解
【典例7】（25-26九年级上·山东滨州·期末）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度ymg/L随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15天）不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)y=−2x+100≤x≤312xx>3
(2)能，见解析
【分析】（1）根据函数图像，分类讨论①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b，代入A，B坐标计算即可；②当x>3时，设y=mx，代入B坐标计算即可；
（2）令y=1，则x=12，结合题意即可求解．
【详解】（1）解：分情况讨论：
①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b，
把A(0,10),B(3,4)代入，得：b=103k+b=4，解得k=−2b=10，
∴y=−2x+10，
②当x>3时，设y=mx，
把B(3,4)代入，得m=3×4=12，
∴y=12x，
综上所述，y=−2x+100≤x≤3y=12xx>3；
（2）能，理由如下：
在函数y=12x中，令y=1，则x=12，
∵3