辽宁省鞍山市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案（word版）

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12．/
13．/
14．
15．(1)证明：在直三棱柱中，连接交于点O，连接，
由为矩形，得O为中点，又M为中点，则，
而平面平面，所以平面.
(2)
【详解】（1）略
（2）在平面内过点作于，由平面，得，
而平面，则平面，
在中，，，则，
，由M为中点，得点到平面的距离，
又，所以四面体的体积为.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，可得.
，
，又，则，
，又，
（2）在中， ，则，
在中，有，即，
在中，有，即，
又，则，
得 ，解得，得；
（3）由，
，即，
由余弦定理得，得，
，即，解得 或（舍），
所以.
17．(1)
(2)
由题意知平面，又平面，
所以，
而平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面；
(3)
【详解】（1）圆柱的底面半径，圆柱的侧面积，
圆柱的底面积为，所以表面积.
（2）略
（3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上.
当三点共线时取得最小值，为，
，
，
所以在三角形中，由余弦定理可得：，
所以的最小值等于.
18．(1)；
(2).
【详解】（1），由正弦定理得：
，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，，由余弦定理得：，
因为，所以，
其中，
所以，
因为点E为线段BD的中点，所以，
由题意得：，
所以.
（2）由（1）知：，又，
由正弦定理得：，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得：，
则，，，
故，
面积为
故面积的取值范围是.
19．(1)
在四边形中，因为，所以折叠后有，．
又，平面，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
(2)
(3)
由（1）知平面平面，
设和的外心分别和，
因为、、、均在以为球心的球面上，
则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，
过点作于，连接，
设，显然四边形为矩形，
所以．
在中，设（），
由及余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径．
在中，，，，
由余弦定理得，
再由正弦定理得的外接圆半径．
所以，
即，
所以，故当时，球的半径最小，
此时点与点重合，所以点在平面内．
【详解】（1）略
（2）由题意，又，故，
过点作交于，则，连接，，
因为平面平面，面面，平面，
且，所以平面．
因为平面，所以，同理，
因为，，，所以由余弦定理得，
所以，
因为，平面，平面，所以平面．
因为平面，所以，所以为二面角的平面角．
所以在中，，
所以平面与平面夹角的正切值为．
（3）略题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
C
B
A
A
D
ABD
ABD
题号
11









答案
BD