2024-2025学年辽宁省鞍山市高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省鞍山市高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足1−iz=z，则z的虚部是( )．
A. 12B. 12iC. −12D. −12i
2.m，n为空间两条不重合直线，α为空间平面，下列命题正确的是( )
A. m⊥α，n⊥m，则n//α
B. m，n与α所成角均为30°，则m//n
C. m//α，n//α，m//n，则直线m，n到α的距离相等
D. m//α，n//α，则m，n可以是异面直线
3.已知csαcsα+sinα=2，则tan(α+π4)=( )
A. −13B. −3C. 3D. 13
4.下列三个关于函数f(x)=sin2x−π3+sin2x的命题：
①只需将函数g(x)= 3sin2x的图象向右平移π6个单位即可得到f(x)的图象；
②函数f(x)的图象关于5π12,0对称；
③函数f(x)在−π6,π3上单调递增．
其中，真命题的序号是( )
A. ①B. ②C. ③D. 以上皆不对
5.如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径BC=2，点D为底面BC⌢的中点，则在该圆锥的侧面展开图(图2)中DB⋅DC=( )
A. −92B. −9 3C. 9−9 3D. 27−18 32
6.定义运算：a1a2a3a4=a1a4−a2a3，将函数f(x)= 3csx21sinx2的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. π3B. 2π3C. 4π3D. 7π3
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若BC2=2BC⋅AB，则csA的最小值为( )
A. 32B. 12C. 22D. 13
8.如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是( )
A. AC⊥BD
B. AB与平面BCD所成角为60°
C. ▵ADC为等边三角形
D. 二面角A−BC−D的平面角的正切值是 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z1，z2∈C，下列说法正确的是( )
A. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
B. 若z1z2=0，则z1，z2中至少有一个为0
C. z1z1=|z1|2
D. 若|z1|=1，|z2|=1，|z1−z2|=1，则|z1+z2|= 3
10.下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A. y=csx与y=sinπ2+xB. y= (x−1)2与y=|x−1|
C. y=sin2x与y=sinxcsxD. y=lg2x与y=2lgx
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 不存在点Q，使得C1Q//A1C
B. 存在点Q，使得C1Q⊥A1C
C. 对于任意点Q，Q到A1C的距离的取值范围为[ 22, 63]
D. 对于任意点Q，△A1CQ都是钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b的夹角为2π3,a= 3,1,b=1，则a−b= ．
13.如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC，将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 ．
14.P是▵ABC内一点，PB=PC，∠BPC=120°，∠PCB=∠ACP=∠ABP−15°，则cs∠BAP= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=3sin2x+π4,x∈R．
(1)判断函数fx−3π8的奇偶性；
(2)求关于x的方程f32x+π8=−32的解集．
16.(本小题15分)
将函数f(x)=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移2π3个单位长度，纵坐标保持不变，得到函数g(x)的图象．
(1)求g(x)在区间−π,π内的最大值和最小值；
(2)记ℎ(x)=f(x)g(2x)，若ℎ(x)≥12，求x的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．
(1)计算棱台EFC1−BDC的体积；
(2)求证：平面AMN//平面DBEF．
18.(本小题17分)
已知a=sinωx,csωx，b=csωx, 3csωx，ω>0，函数f(x)=a⋅b− 32的最小正周期为π．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)在锐角▵ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足fA2= 32，a=2，求▵ABC周长的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB=AC，A1B=A1C.
(1)证明：AA1⊥平面ABC;
(2)若AA1=BC=2，∠BAC=90∘，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.C
5.D
6.C
7.A
8.B
9.BCD
10.AB
11.ABC
12. 7
13.16π3
14.2 55/25 5
15.(1)由题得fx−3π8=3sin2x−3π4+π4=3sin2x−π2=−3cs2x，
令g(x)=−3cs2x，x∈R，定义域关于原点对称．
设任意x∈R，则−x∈R，
则g(−x)=−3cs(−2x)=−3cs2x=g(x)，
故函数fx−3π8为偶函数．
(2)由题得f32x+π8=3sin232x+π8+π4=3sin3x+π2=3cs3x=−32，
则cs3x=−12，
则3x=2kπ+2π3或3x=2kπ+4π3,k∈Z，
解得x=2kπ3+2π9或x=2kπ3+4π9,k∈Z，
故该方程的解集为xx=2kπ3+2π9或x=2kπ3+4π9,k∈Z ．

16.(1)由题意得g(x)=sin12x+2π3=sin12x+π3，由于−π≤x≤π，则−π6≤12x+π3≤5π6，
所以当−π6≤12x+π3≤π2即−π≤x≤π3时，函数g(x)单调递增；
当π2≤12x+π3≤5π6即π3≤x≤π时，函数g(x)单调递减，
则g(x)max=gπ3=1，又g−π=−12，gπ=12，则g(x)min=−12．
(2)ℎ(x)=f(x)g(2x)=sinxsinx+π3=sinx12sinx+ 32csx=12sin2x+ 32sinxcsx=1−cs2x4+ 34sin2x=12sin2x−π6+14，
因为ℎ(x)≥12，所以sin2x−π6≥12，则π6+2kπ≤2x−π6≤5π6+2kπ，k∈Z，
即π6+kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z，所以x的取值范围为π6+kπ,π2+kπk∈Z．

17.解：(1)由题可知，S△C1EF=18，S△BCD=12，ℎ=1．
根据棱台的体积公式，可得V=13×(18+ 18×12+12)×1=724．
(2)连接B1D1，则MN//B1D1//EF，
又MN⊄平面BDFE， EF⊂平面BDFE，
所以MN//平面BDFE，
连接MF，则AD//A1D1//MF,AD=A1D1=MF．
所以四边形ADFM为平行四边形，
所以AM//DF，
又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，
所以AM//平面BDFE，
因为AM∩MN=M，AM,MN⊂平面AMN，
所以平面AMN//平面DBEF．

18.(1)因为a=sinωx,csωx，b=csωx, 3csωx，ω>0，
则a⋅b=sinωx,csωx⋅csωx, 3csωx
=sinωxcsωx+ 3cs2ωx=12sin2ωx+ 31+cs2ωx2=12sin2ωx+ 32cs2ωx+ 32
=sin2ωx+π3+ 32，
故f(x)=a⋅b− 32=sin2ωx+π3．
因为f(x)的最小正周期为π，所以T=2π2ω=π，所以ω=1，故f(x)=sin2x+π3．
由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为kπ+π12,kπ+7π12，k∈Z．
(2)由(1)知fA2=sinA+π3= 32．
又A∈0,π2，则π3