2025-2026学年云南省玉溪市第一中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年云南省玉溪市第一中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=( )
A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}
2.已知z=5−i1+i，则z−的虚部为( )
A. −3B. 2C. 3D. 6
3.已知向量a=(1,2)，b=(2,x)，若a⊥b，则|2a+b|=( )．
A. 3 2B. 4C. 5D. 4 2
4.我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为( )
A. 72B. 108C. 180D. 216
5.如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，若E、F分别为AB，AC靠近点A的三等分点，平面EB1C1F将三棱柱分成左右两部分体积为V1和V2，那么V1：V2=( )
A. 7：5
B. 14：13
C. 5：7
D. 13：14
6.已知中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4的椭圆被直线l：y=x+3截得的弦的中点的横坐标为−2，则此椭圆的方程为( )
A. x24+y22=1B. x26+y22=1C. x28+y24=1D. x212+y28=1
7.已知θ∈(0,π2)，sin(π4−θ)= 55，则sin(2θ+π3)的值为( )
A. 3 3−410B. 4 3−310C. 3 3+410D. 4 3+310
8.设函数f(x)=x+ex，g(x)=x+lnx，若存在x1，x2，使得f(x1)=g(x2)，则|x1−x2|的最小值为( )
A. 1eB. 1C. 2D. e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知{an}满足a1=3，an+1=3an3+2an(n∈N∗)，则下列说法正确的是( )
A. a2=1
B. {1an}是等差数列
C. an=2n−13
D. 设{anan+1}的前n项和为Sn，则Sn=9n2n+1
10.已知P是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|=12，直线PF2的斜率为−4 3，△PF1F2的面积为24 3，则下列结论中正确的是( )
A. 双曲线C的离心率e=3B. 双曲线C的方程为x29−y227=1
C. |PF1|=10D. 双曲线C的渐近线方程为y=± 3x
11.某中药材盒中共有包装相同的7袋中药材，其中党参有4袋，黄芪有3袋，从中取出2袋，下列说法正确的是( )
A. 若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为1249
B. 若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取到党参的概率为710
C. 若不放回抽取，则第2次取到党参的概率为47
D. 若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程2x2+2y2+3kx+2ky+k=0表示圆，则实数k的取值范围是 ．
13.已知函数f(x)=2x−2−x，若对任意的x∈[1,3]，不等式f(x2+tx)+f(4−x)>0恒成立，则实数t的取值范围是______．
14.三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M为PG的中点，过点M的平面分别交PA，PB，PC于点A′，B′，C′，且PA=xPA′,PB=yPB′,PC=zPC′，且x>0，y>0，z>0，则1x+1y+1z的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率.多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率.为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．
(Ⅰ)根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值α=0.005的x2独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．
(Ⅱ)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗.已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为56，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为23，求近视学生被治愈的概率．
参考公式与数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
在△ABC中，已知( 3tanA−1)( 3tanB−1)=4．
(1)若△ABC为锐角三角形，求角C的值，并求sin2A−cs2B的取值范围；
(2)若AB= 3，线段AB的中垂线交边AC于点D，且CD=1，求A的值．
17.(本小题15分)
如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别为AB和B1C1的中点．
(1)证明：MN/​/平面ACC1A1；
(2)若AC=2 2,AB=2 3,∠ACB=90°,MN⊥A1C，求A1C与平面CMN所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
如图，已知点F(1,0)为抛物线y ​2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S ​1，S ​2．
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xex−1−a．
(1)若a∈R，讨论f(x)的零点的个数；
(2)若a为正整数n，记此时f(x)的唯一零点为xn，证明：
(i)数列{xn}是递增数列；
(ii)2( n+1−1)