八年级数学上册试题 1.3《勾股定理的应用》暑假预习 --北师大版（含答案）

这是一份八年级数学上册试题 1.3《勾股定理的应用》暑假预习 --北师大版（含答案）试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A．B．C．D．
2．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（ ）．
A．尺B．尺C．尺D．尺
3．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．13厘米B．17厘米
C． 厘米D．5厘米
4．如图，一个长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果以的速度从长方体的表面的点处爬到点处，最快爬行的时间是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____．
6．2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3）
7．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______．
8．如图，在中，，则表示线段AB的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为BD上一动点．，，，，设．
（1）______；
（2）的最小值是______．
三、解答题
9．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离．
10．如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离．
(1)求这个梯子顶端A距地面有多高；
(2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？
11．如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且．
(1)求点到点的距离；
(2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格．
12．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里．
(1)求渔船与渔船之间的距离AB；
(2)若灯塔C发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船B沿AB所在直线向渔船靠拢的过程中，BD段可以接收到信号，AD段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段BD的长）是多少？
13．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染．
(1)求点C到铁路的距离；
(2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）．
14．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米．
(1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？
(2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？
15．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)求BC；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
16．项目化学习
项目主题：办公区绿化规划．
项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化．
设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，．
问题解决：
(1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m；
(2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求．
17．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行．
(1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形；
(2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？
(3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少．
18．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活．
主题 探究最短路径问题与用数学知识设计车位
活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短．
(1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）；
(2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____；

活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门EF设在CD处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距．
(3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______；
(4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________．

参考答案
一、单选题
1．C
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是．
2．C
解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央，
∴池中心到岸边的水平距离为尺，
设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边，
根据勾股定理可得：，
展开得：，
移项，合并同类项，得：，
解得：，
∴池水深度为尺．
3．A
解： 如图所示：
由于圆柱体的底面周长为 ，
则 （）．
又因为 ，
所以 （）．
故蚂蚁爬行的最短距离为 ．
4．B
解：由题意得：
①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示：
，，
在中，；
②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：
，，
在中，；
③当沿长方体的后侧和上面进行展开时，如图所示：
，，
在中，；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是25，
∴最快爬行的时间是．
二、填空题
5．12尺
解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点，
∴尺，
设水的深度为尺，
∵尺，，
∴尺，
∵，
∴尺，
∵在中，根据勾股定理可得：，
∴，整理得：，解得：，
∴尺．
6．20
解：将半圆面展开如图所示，连接．
根据题意，得，．
，
在中，由勾股定理，得
，
从点滑到点，滑行的最短路程是．
7．
解：如图，
∴．
8． 10
（1）∵，，
∴；
（2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点，
当与重合时，式子取等号，值最小．
，
．
三、解答题
9．解：∵米，米，米，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
又∵米，
∴米，
∴米，
答：点、之间的距离为18米．
10．（1）解：根据勾股定理：
∴梯子距离地面的高度为：；
（2）解：梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于，理由如下：
∵梯子的顶端A下滑到点C，
∴，，
∴，
根据勾股定理得到，
∴，
∴梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于．
11．（1）解：连接，如图所示：
∵，，．
∴
（2）解：这个零件是合格的，理由如下：
由（1）得，
∵，，
∴
即
∴∆ABC是直角三角形，
∴这个零件是合格的．
12．（1）解：由题意得，，海里，海里，
∴由勾股定理得海里，
答：渔船与渔船之间的距离为500海里；
（2）解：如图所示，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∴海里，
在中，由勾股定理得海里，
在中，由勾股定理得海里，
∴海里
答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里．
13．（1）解：过点C作于点D，如图．
由题意，得．
，
．
是直角三角形，，
，
．
答：点C到铁路的距离为．
（2）解：，
∴会对鸟类巢穴造成噪声污染．
如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则．
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
14．（1）解：如图，
出发秒钟时，米，米
米，米
米，米
（米）
答：两赛车之间的距离是30米．
（2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时，
此时，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
15．（1）解：∵AC⟂BC，
，
，，
；
(2)海港C受台风影响，
理由如下：过点C作，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，，
海港C受台风影响；
（3）解：如图，当，时，正好影响C港口，
，，
，
台风的速度为，
，
答：海港C受台风影响的时间会持续．
16．（1）解：因为，，，
所以．
答：这条直道的长度为．
（2）解：因为，，，
所以．
所以．
所以绿化区的面积为．
．
因为，
所以设计方案不符合规划要求．
17．（1）解：如图：
（2）解：①；
②；
③；
可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5；
（3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和，
如图：
则蚂蚁需爬行的最短路程是．
18．（1）解：由作法得：，；
（2）解：根据题意得：，
在中，，，
，
∴；
（3）解：根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留，
充电桩的中心距最小为，
因为，
所以最多可以修建11个充电桩，
此时此时相邻两个充电桩的中心距为；
（4）解：如图，作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则，
∴，即该电箱到的距离的和最短为的长，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴该电箱到的距离的和最短为．