湖南省娄底市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份湖南省娄底市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题（含解析）试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试题总分：150分 考试时量：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知复数，且，则的值分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，且，
所以，所以，，所以，.
2. 已知集合，集合，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式大于等于零求解集合A，再根据交集的运算即可得答案.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：A.
3. 已知向量满足与的夹角为，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量数量积的定义即可求解.
【详解】.
4. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【详解】函数图象左右平移，依照左加右减的法则，
把的图象向右平移个单位，可得到的图象.
5. 已知随机事件互为对立事件，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件互为对立事件可得，再根据基本不等式求解即可.
【详解】因为随机事件互为对立事件，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
6. 已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，求出球与正方体的表面积即可求得比值.
【详解】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，
球的表面积为，正方体的表面积为，
.
故选：B
本题考查几何体的表面积，属于基础题.
7. 如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为
A. 4B. 4C. 2D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，得·OB·h＝2××2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4．
故选A
8. 任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的周期可得的周期，即可计算求解.
【详解】，故，
由于的周期均为，
因此也是以3为周期，
由于，
因此.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（ ）
A. 这10天的日均值的第75百分位数为60
B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C. 这10天的日均值的中位数为41
D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，根据百分位数定义求结论即可判断.选项B判断极差相关选项，分别找出前5天数据的最大值、最小值，后5天数据的最大值、最小值，用最大值减最小值得到对应极差后比较. 选项C判断中位数相关选项，将10个数据从小到大排序后，取第5和第6项的平均值即为中位数，选项D判断方差相关选项，可通过数据波动程度定性比较.
【详解】首先从折线图提取10天的PM2.5日均值，按日期顺序为：30,41,32,34,40,80,78,60,45,48，
将全部数据从小到大排序得：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，逐一判断选项：
选项A：因为，故，不是整数，向上取整得到位置为，
排序后第项为，因此第百分位数为，选项A正确.
选项B：前5天数据为，极差为；
后5天数据为，极差为，显然，B正确.
选项C：10个数据的中位数是第5项和第6项的平均值，
即，C错误.
选项D：前5天数据全部集中在区间，波动程度很小；
后5天数据分布在区间，数值差异大，波动程度远高于前5天，
因此前5天的方差小于后5天的方差，D正确.
10. 在中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则一定为等腰三角形
C. 若，则一定为直角三角形
D. 若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，由三角形边角关系和正弦定理，可判断；选项B，由三角函数确定角的关系，要结合角范围判断；选项C，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，进而判断；选项D，用余弦定理求出最大边所对的角，即可判断.
【详解】对于A，在中，若，则，
又，所以，故A正确；
对于B，当，，时，，，
满足，但不是等腰三角形，故B错误；
对于C，若，则，
又，所以，
所以，即，
因为，所以，即，
所以一定是直角三角形，故C正确；
对于D，设三角形最大的角为，
则，又，所以，
因此此三角形的最大角为钝角，故D正确.
11. 若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是奇函数
C. 的图象关于对称D. 若，则恒成立
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用赋值计算即可判断AB，根据的奇偶性，即可判断C，利用即可判断D.
【详解】对于A，在中，令，
可得，故，即，故A正确；
对于B，令，则，结合，得，
当时，有，即不恒为0，故必有，即是奇函数，故B正确，
对于C，由于是奇函数，故，令，
则，
因此的图象关于对称，即的图象关于对称，故C正确，
对于D，当且时，此时，显然，故D错误.
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）
12. 在中，D为边上的中点，则________（用表示）
【答案】
【解析】
【分析】通过向量线性运算法则和中点性质进行推导.
【详解】因为D是BC边的中点，所以，
所以.
13. 从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为_________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】首先从所给的 袋抽取的质量中找出质量在之间的质量，进而确定几袋，用所得袋数除以总袋数袋，进一步得到样本中质量在之间的概率，根据频率分布估计总体分布的原理，将样本中的频率近似看作总体中的概率即可.
【详解】解：通过统计，可知自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的共有 袋，
所以袋装食盐质量在之间的概率为，
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为： .
14. 如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且为的中点．二面角的正切值最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】设，利用面面垂直的性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值.
【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面，
由题意：，所以 平面，
过点作于点，连接，如下图所示：
由平面，又平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，平面，可得；
即可得为二面角的平面角；
设，则，
由的面积，
得
又三角形为正三角形，所以，
在中，.
当时取等号，
即二面角的正切值最大值为.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直的坐标运算，再由向量的模求解即可；
（2）由（1）可得以及求解，两角和的余弦公式求解即可.
【小问1详解】
因为，所以．
解得，
所以，
因此.
【小问2详解】
由（1）可知，，
.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）平面可知，另外可知，从而得平面；
（2）求点到平面的距离,利用等体积关系，，求出点到平面的距离．
【小问1详解】
（1）证明：平面
又
而
平面，
平面
平面．
【小问2详解】
解：连结，设点到平面的距离为．
由（1）有平面
在中，有
由，有
故所求点到平面的距离为．
17. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数．
（2）从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？
（3）若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差．
【答案】（1），众数为
（2）4人 （3）
【解析】
【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为计算可得的值，然后根据众数概念求解即可；
（2）利用分层抽样的概念求解即可；
（3）由平均数和方差公式计算即可.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
由频率分布直方图可知：众数为.
【小问2详解】
由频率分布直方图可知年龄为的三组观众频率之比为：，
所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取（人）
【小问3详解】
由频率分布直方图可知的频率为，的频率为，
所以，
．
18. 如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求C；
（2）设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理对等式进行角化边并整理化简，从而解得所求角的余弦值，可得答案；
（2）由正弦定理与余弦定理求得三角形的边与角，根据中垂线以及中点的性质，利用余弦定理，可得答案.
【小问1详解】
在中，由余弦定理可得.
所以即，所以.
又因为，所以.
【小问2详解】
因为，，由余弦定理得，即，
所以，，
连接，，则，设为，，设为y，
在中，由余弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，解得，
所以.
19. 甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.
（1）求甲在一局中得2分的概率；
（2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解；
（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；
【小问1详解】
根据题意，画出树状图，如图：

所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、
（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、
一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率.
【小问2详解】
游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：
①第一局甲得2分，第二局甲得1分：
则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
此时概率为种情况，
②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，
则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
此时概率为，
综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率.