2023-2024学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设a>0，角α的终边经过点P(3a,−4a)，则sinα+2csα的值等于( )
A. 25B. −25C. −15D. 45
2.下列关于函数y=tan(x+π4)的说法正确的是( )
A. 图象关于点(π4,0)成中心对称B. 图象关于直线x=π4成轴对称
C. 在区间(−π4,5π4)上单调递增D. 在区间(−5π4,π4)上单调递增
3.已知α∈(0,π)，且sinα+csα=15，则tan2α=( )
A. 127B. −127C. 247D. −247
4.已知cs(π5−α)=13，则sin(π10+2α)=( )
A. 79B. −79C. 4 29D. −4 29
5.化简 1−2sin4cs4的结果是( )
A. sin4+cs4B. sin4−cs4C. cs4−sin4D. −sin4−cs4
6.若tanθ=−2，则sinθ(1+2sinθcsθ)sinθ+csθ=( )
A. −65B. −25C. 25D. 65
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b+c)csA+acsC=0，b=2 3，若边BC的中线长等于3，则c=( )
A. 3B. 2 3C. 4 3D. 6 3
8.已知圆O半径为2，弦AB=2，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅BO=2
B. AB⋅AC的最大值为6
C. |OC−AB−AO|∈[0,4]
D. 满足AB⋅AC=0的点C有一个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(csθ,sinθ),b=(−3,4)，则( )
A. 若a//b，则tanθ=−43
B. 若a⊥b，则sinθ=35
C. |a−b|的最大值为5
D. 若a⋅(a−b)=0，则|a−b|=2 6
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若a2+b2C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若b=2，A=30°的三角形有两解，则a的取值范围为(1,2)
11.已知函数f(x)=cs(π3−x)csx+cs(x+π6)sinx，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. x=π12是f(x)图象的一条对称轴
C. f(x)在(π6,π2)上单调
D. 将f(x)的图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于原点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知tanα=3，则sin(π2−α)−cs(−π−α)sin(π−α)+cs(3π2+α)= ______．
13.在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=BC=2，CD=1，∠BCD=120°，P、Q分别为线段BC和线段CD上的动点，且BP=λBC，DQ=12λDC，则DP−⋅AQ的取值范围为______．
14.函数f(x)=sin(ωx+π6)在(−π6,π6)上单调递减，且f(x)的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合.若方程f(x)=45在(5π12,11π12)上的解为x1，x2，则cs(x1+x2)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间[0,m]有5个零点，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
在① 3sinAsinC+sinAcsC=sinB+sinC，②sin2B+sin2C+cs2A=1+sinBsinC，③bsinB+csinC−asinAcsinB=2 3sinA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，且选择条件_____．
(1)求角A；
(2)若AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M,AM=2 33，求△ABC的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.(本小题15分)
在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，对角线BD修建隔离防护栏，其中CD=100米，BC=200米，∠A=π3．
(1)若BD=150米，求烧烤区的面积？
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏？
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时AB的长度．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2csxsin(x+π3)−2 3cs2x+ 32,x∈R．
(1)求函数的对称中心与对称轴；
(2)当x∈[0,π]时，求函数f(x)的单调递增区间；
(3)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位后，所得图象对应的函数为h(x).若关于x的方程2[h(x)]2+mh(x)+1=0在区间[0,π2]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ab=b+ca= 3sinAcsB．
(1)求C．
(2)若b=1，点M，N是边AB上的两个动点，当∠MCN=π3时，求△MCN面积的取值范围．
(3)若点M，N是直线AB上的两个动点，记∠MCN=θ(0<θ≤π2),∠CMN=α,∠CNM=β.若csβ(sin2α+csα)+sinαsinβ(csα−1)=sinα恒成立，求θ的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为a>0，故sinα=−4a (3a)2+(−4a)2=−45，csα=3a (3a)2+(−4a)2=35．
故sinα+2csα=−45+2×35=25．
故选：A．
根据正弦函数的定义求解α的正余弦计算即可．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：当x=π4时，x+π4=π2，所以(π4,0)是函数y=tan(x+π4)的中心对称，
所以A选项正确，B选项错误．
C选项，因为x∈(−π4,54π)，所以x+π4∈(0,32π)，注意到x=π4时，x+π4=π2，而tanπ2不存在，所以C选项错误．
D选项，x∈(−54π,π4)，因为x+π4∈(−π,π2)，注意到x=−34π时，x+π4=−π2，而tan(−π2)不存在，所以D选项错误．
故选：A．
根据三角函数的对称性、定义域、单调性等知识确定正确答案．
本题考查正切函数的性质的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由sinα+csα=15，①
两边平方得：1+2sinαcsα=125，
则2sinαcsα=−2425，
又α∈(0,π)，∴sinα>0，csα<0，
可得sinα−csα= (sinα−csα)2= 1−2sinαcsα=75，②
联立①②解得：sinα=45，csα=−35．
则tanα=sinαcsα=−43，可得tan2α=2tanα1−tan2α=−831−169=247．
故选：C．
把已知等式两边平方，求得2sinαcsα的值，进一步求出sinα−csα的值，与已知联立求解sinα，csα，可得tanα，再由二倍角的正切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为cs(π5−α)=13，
所以cs(α−π5)=13，
则sin(π10+2α)=sin(2α−2π5+π2)=cs(2α−2π5)
=2cs2(α−π5)−1=2×19−1=−79．
故选：B．
由已知可知sin(π10+2α)=sin(2α−2π5+π2)=cs(2α−2π5)，然后结合二倍角公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解： 1−2sin4cs4= sin24−2sin4cs4+cs24=|sin 4−cs4|．
∵5π4<4<3π2，∴由三角函数线易知cs 4>sin 4．
∴ 1−2sin4cs4=cs4−sin4．
故选：C．
原式被开方数利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式化简，在依据角的范围得到结果．
此题考查了二倍角的正弦以及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：已知tanθ=−2，
则sinθ(1+2sinθcsθ)sinθ+csθ=sinθ(sinθ+csθ)2sinθ+csθ=sinθ(sinθ+csθ)
=sin2θ+sinθcsθsin2θ+cs2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=4−24+1=25．
故选：C．
根据同角三角函数的基本关系式进行化简，由此求得正确答案．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由(2b+c)csA+acsC=0，
根据正弦定理得(2sinB+sinC)csA+sinAcsC=0，
所以2sinBcsA+sinAcsC+sinCcsA=0，
即2sinBcsA=−sin(A+C)，可得2sinBcsA=−sin(π−B)，
所以2sinBcsA=−sinB，结合sinB>0，可得csA=−12，
而A∈(0,π)，所以A=2π3．
设BC的中点为D，则AD=12(AB+AC)，可得AD2=14(AB2+2AB⋅AC+AC2)，
而AB⋅AC=|AB|⋅|AC|cs∠BAC=−12bc，
所以c2−bc+b2=36，结合b=2 3，可知c2−2 3c−24=0，解得c=4 3或c=−2 3(舍负)．
故选：C．
根据题意，利用正弦定理将已知等式化为角的关系式，由两角和的正弦公式及诱导公式求出csA，从而得出A的大小，设BC的中点为D，则AD=12(AB+AC)，利用平面向量数量积的运算性质，算出边c的大小．
本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式、平面向量数量积的运算性质等知识，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：A选项，由题意，圆O半径为2，弦AB=2，
故△ABO为等边三角形，
取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB，
由数量积公式及投影向量可得AB⋅BO=−|AB|⋅|BD|=−2，故A错误；
B选项，过点O作OE平行于AB，交圆O于点E，
过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接EB，
则四边形OABE为菱形，
由投影向量可知，当点C与点E重合时，AB⋅AC取得最大值，
此时AG=AD+DG=1+2=3，
故AB⋅AC的最大值为|AB|⋅|AG|=2×3=6，故B正确；
C选项，OC−AB−AO=OC+OA+BA，
因为四边形OABE为菱形，
所以OA+BA=EA，且|EA|=2 3，
因为|OC|=2为定值，
故当OC与EA平行且方向相同时，|OC−AB−AO|取得最大值，最大值为2+2 3，
当OC与EA平行且方向相反时，|OC−AB−AO|取得最小值，最小值为2 3−2，
故|OC−AB−AO|∈[2 3−2,2 3+2]，故C错误；
D选项，因为点C为圆O上任意一点，故当C，A重合时，AB⋅AC=0，
又当AC⊥AB时，满足AB⋅AC=0，
故满足AB⋅AC=0的点C有2个，故D错误．
故选：B．
A选项，得到△ABO为等边三角形，根据投影向量的概念进行求解；B选项，作出辅助线，数形结合得到当点C与点E重合时，AB⋅AC取得最大值，利用投影向量的概念求出最大值；C选项，作出辅助线，数形结合得到|OC−AB−AO|∈[2 3−2,2 3+2]；D选项，考虑其中一个向量为零向量及垂直关系得到点C有2个．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：已知向量a=(csθ,sinθ),b=(−3,4)，
对于选项A，若a//b，
则sinθcsθ=−43，
即tanθ=−43，
即选项A正确；
对于选项B，若a⊥b，
则−3csθ+4sinθ=0，
又sin2θ+cs2θ=1，
则sinθ=35或−35，
即选项B错误；
对于选项C，|a−b|2=a2−2a⋅b+b2=26+6csθ−8sinθ=26+10cs(θ+φ)，其中tanφ=43，
又10cs(θ+φ)∈[−10,10]，
则|a−b|∈[4,6]，
即|a−b|的最大值为6，
即选项C错误；
对于选项D，若a⋅(a−b)=0，
则a2−a⋅b=0，
即a⋅b=1，
则|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 1−2+25=2 6，
即选项D正确．
故选：AD．
由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量共线及垂直的坐标运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算，属中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为sinA>sinB，由正弦定理可得a>b，所以A>B，A正确；
对于B，由余弦定理csC=a2+b2−c22ab<0，可知C为钝角，B正确；
对于C，因为acsA=bcsB，所以sinAcsA=sinBcsB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，
即△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不正确；
对于D，因为三角形有两解，所以bsinA故选：ABD．
由正弦定理和余弦定理可判断A，B，利用正弦定理和倍角公式可判断C，结合三角形解的情况可判断D．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：f(x)=sin(x+π6)csx+cs(x+π6)sinx=sin(2x+π6)，
由T=2π2=π，f(x)最小正周期为π，故A正确；
令2x+π6=kπ+π2，解得：x=kπ2+π6，k=0时，对称轴是x=π6，故B错误，
由于x∈(π6,π2)，则2x+π6∈(π2,7π6)⊆(π2,3π2)，f(x)在(π6,π2)上单调减，C正确；
将f(x)的图象向左平移π6个单位后，得到f(x)的解析式是y=sin[2(x+π6)+π6]=sin(2x+π2)=cs2x，
其图象不关于原点对称，故D错误．
故选：AC．
将f(x)变形可得f(x)=sin(2x+π6)，然后对应y=sinx的性质来判断各个选项即可．
本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
12.【答案】13
【解析】解：sin(π2−α)−cs(−π−α)sin(π−α)+cs(3π2+α)=sin(π2−α)−cs(π+α)sin(π−α)+cs(3π2+α)=csα+csαsinα+sinα=2csα2sinα=2tanα=13．
故答案为：13．
根据诱导公式，同角函数关系即可求值．
本题考查诱导公式，同角函数关系，属于基础题．
13.【答案】[2 3−72,12]
【解析】解：由梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=BC=2，CD=1，∠BCD=120°，
易得梯形ABCD为直角梯形，AD⊥AB，且AD= 3，
故建系如图，
则A(0,0)，B(2,0)，C(1, 3)，D(0, 3)，
∴DA=(0,− 3)，AB=(2,0)，BC=(−1, 3)，AD=(0, 3)，DC=(1,0)，
∴DP−⋅AQ=(DA+AB+BP)⋅(AD+DQ)
=(DA+AB+λBC)⋅(AD+12λDC)
=(2−λ, 3(λ−1))⋅(12λ, 3)
=2−λ2λ+3(λ−1)
=3λ+1λ−72，
又0≤λ≤10≤12λ≤1，∴λ∈[12,1]，
由对勾函数的性质可知：
f(λ)=3λ+1λ−72在[12, 33)上单调递减，在( 33,1]上单调递增，
且f(12)=0，f(1)=12，f( 33)=2 3−72，
∴f(λ)的值域为[2 3−72,12]，
故DP−⋅AQ的取值范围为[2 3−72,12].
故答案为：[2 3−72,12].
根据题意建立坐标系，利用向量的线性运算及向量数量积的运算构建函数模型，通过函数思想求解即可．
本题考查向量数量积的范围的求解，函数思想，属中档题．
14.【答案】12
【解析】解：设f(x)的最小正周期为T，则12T≥π6−(−π6)=π3，故T≥2π3，
又f(x)的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，
故π为函数的一个周期，故最小正周期T=π，即2π|ω|=π，
解得ω=±2，若ω=−2，则f(x)=sin(−2x+π6)=−sin(2x−π6)，x∈(−π6,π6)时，
2x−π6∈(−π2,π6)，令t=2x−π6∈(−π2,π6)，
由于y=−sint在t∈(−π2,π6)上单调递减，故f(x)在x∈(−π6,π6)上单调递减，不合要求，
若ω=2，则f(x)=sin(2x+π6)，x∈(−π6,π6)时，2x+π6∈(−π6,π2)，
此时满足f(x)=sin(2x+π6)在(−π6,π6)上单调递增，满足要求，sin(2x+π6)=−12，x∈(5π12,11π12)，2x+π6∈(π,2π)，
由对称性可得2x1+π6+2x2+π62=3π2，即x1+x2=4π3，
故f(x1+x2)=f(4π3)=sin(2×4π3+π6)=sin56π=12．
故答案为：12．
设出最小正周期为T，根据题意得到T=π，求出ω=±2，分两种情况，讨论后得到ω=2，f(x)=sin(2x+π6)，由对称性可得x1+x2=4π3，代入求值，得到答案．
本题考查三角函数的性质的应用，分类讨论的思想，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由图象知，A=2，T=π，
∴ω=2，
由图象可知，f(π6)=2，
∴2cs(π3+φ)=2，
∴π3+φ=2kπ，k∈Z，
又∵|φ|<π2，
∴φ=−π3，
∴f(x)=2cs(2x−π3).
(2)∵x∈[0,m]，
∴2x−π3∈[−π3,2m−π3]，
令t=2x−π3，则函数h(t)=2cst在区间[−π3,2m−π3]有5个零点，
∵由余弦函数的图象可得4π+π2≤2m−π3<6π−π2，
∴解得m∈[29π12,35π12).
【解析】(1)根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式；
(2)由题意可求2x−π3∈[−π3,2m−π3]，利用余弦函数的性质即可求解．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，考查了数形结合思想，属于中档题．
16.【答案】解：(1)若选① 3sinAsinC+sinAcsC=sinB+sinC，则 3sinAsinC+sinAcsC=sinAcsC+csAsinC+sinC，
结合sinC>0，整理得 3sinA=csA+1，即 3sinA−csA=2sin(A−π6)=1，
所以sin(A−π6)=12，结合0若选②sin2B+sin2C+cs2A=1+sinBsinC，则sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，
由正弦定理可得b2+c2−a2=bc，故csA=b2+c2−a22bc=12，结合A∈(0,π)，可知A=π3；
若选择③bsinB+csinC−asinAcsinB=2 3sinA，由正弦定理可得b2+c2−a22bc=1 3sinA，
结合余弦定理，可得csA=1 3sinA，即tanA= 3，而A∈(0,π)，所以A=π3．
综上所述，不论选①②③中哪一个条件，都可以得到A=π3；
(2)a=4，A=π3，AM=2 33，
因为S△ABC=S△ABM+S△ACM，所以12AM⋅b⋅sin∠CAM，

因为AM平分∠BAC，所以∠BAM=∠CAM=12∠BAC=π6，可得12bc× 32=12×2 33c×12+12×2 33b×12，
化简得 3bc=2 33(b+c)，即bc=23(b+c)．
由余弦定理，可得a2=b2+c2−2bccs∠BAC，即16=b2+c2−bc，
所以16=(b+c)2−3bc=(b+c)2−2(b+c)，解得b+c=1+ 17或b+c=1− 17(舍负)，
因此，△ABC的周长a+b+c=5+ 17．
【解析】(1)若选①，利用正弦定理进行边角转换，结合诱导公式、两角和与差的三角函数公式化简，结合角的范围求出角A的大小；若选②，根据三角函数的平方关系与诱导公式化简，得到sin2B+sin2C−sin2A=sinCsinB，再利用正弦定理与余弦定理求得角A的大小；若选③，利用正弦定理与余弦定理化简得到关于角A的等式，进而算出角A．
(2)根据三角形面积公式与余弦定理，化简得到关于b、c的方程组，解之得到b+c的值，进而可得△ABC的周长．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理、三角恒等变换及其应用等知识，属于中档题．
17.【答案】解：在△BCD中，CD=100米，BC=200米，BD=150米，
由余弦定理可得csC=BC2+CD2−BD22BC⋅CD=2002+1002−15022×200×100=1116，
所以sinC= 1−112162=3 1516，
所以S△BCD=12×BC×CD×sinC=12×200×100×3 1516=1875 15，
所以烧烤区的面积1875 15m2；
(2)S△BCD=12BC⋅CD⋅sinC=12×100×200×sinC=9600，
解得sinC=2425，
因为C是钝角，所以csC=−725，
BD= BC2+CD2−2BC⋅CD⋅csC= 2002+1002−2×200×100×(−725)=20 153，
故需要修建20 153m的隔离防护栏；
(3)S△BCD=12BC⋅CD⋅sinC≤12BC⋅CD=10000，
当且仅当C=π2时取到等号，此时BD=100 5，
设∠ABD=α,α∈(0,23π)，
在△ABD中，ADsinα=ABsin(23π−α)=100 5sinπ3=2003 15，
S△ABD=12AD⋅AB⋅sinA=50000 33sinαsin(23π−α)=5000 33[sinα( 32csα+12sinα)]
=5000 33( 34sin2α+12⋅1−cs2α2)
=2500 33[12+sin(2α−π6)]，
当2α−π6=π2，即α=π3时，(S△ABD)max=2500 33(12+1)=12500 3，
此时AB=200 153× 32=100 5．
【解析】(1)在△BCD中，由余弦定理可得csC的值，进而求出sinC的字，代入三角形的面积公式可得△BCD的的面积，即求出烧烤城的面积
(2)由三角形的面积公式解得sinC=2425，因为C是钝角，所以csC=−725，利用余弦定理即可求解；
(3)由烧烤区的占地面积最大得到BD=100 5，利用正弦定理解得AB和AD，代入三角形面积公式利用三角函数性质即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=2csx⋅(12sinx+ 32csx)−2 3cs2x+ 32
=sinxcsx− 3cs2x+ 32
=12sin2x− 32cs2x
=sin(2x−π3)，
令2x−π3=kπ+π2,k∈Z，解得π3×52+φ=π+2kπ(k∈Z)，
所以对称轴为π3×52+φ=π+2kπ(k∈Z)；
令2x−π3=kπ,k∈Z，解得x=12kπ+16π,k∈Z，
所以对称中心为(kπ2+π6,0),k∈Z．
(2)由(1)得f(x)=sin(2x−π3)，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ(k∈Z)，
得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ(k∈Z)，
又因为x∈[0,π]，
所以f(x)的单调递增区间为[0,5π12]和[11π12,π]．
(3)将f(x)的图象向左平移π6个单位后，得h(x)=sin2x，又因为x∈[0,π2]，则2x∈[0,π]，
h(x)=sin2x的函数值从0递增到1，又从1递减回0．
令t=h(x)，则t∈[0,1]，
依题意得2t2+mt+1=0在t∈[0,1)上仅有一个实根．
令H(t)=2t2+mt+1，因为H(0)=1>0，
则需H(1)=2+m+1<0或Δ=m2−8=00<−m4<1，
解得m<−3或m=−2 2，即实数m的范围为(−∞,−3)∪{−2 2}.
【解析】(1)将原函数恒等变换化简后再利用正弦函数的对称轴和对称中心解出即可；
(2)利用正弦函数的对称区间解出即可；
(3)先将函数平移变换后再结合正弦函数的对称性把问题转化为方程2t2+mt+1=0在t∈[0,1)上仅有一个实根，然后令H(t)=2t2+mt+1结合二次函数的性质解出即可．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，二次函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为ab= 3sinAcsB，
所以由正弦定理得sinAcsB= 3sinBsinA，
因为sinA≠0，
所以tanB= 33，
因为B∈(0,π)，
所以B=π6，
由ab=b+ca，可得a2=b2+bc，即a2+c2−b22ac=c+b2a，
所以c+b=2acsB，
由正弦定理可得sinC+sinB=2sinAcsB，则sin(A+B)+sinB=2sinAcsB，
得sinB=sin(A−B)，则B=A−B或B+A−B=π(舍去)，
所以A=2B=π3⇒C=π−A−B=π2；
(2)设∠BCN=x,x∈[0,π6]，在△BCN中，由正弦定理得CNsinB=BCsin∠BNC，
所以CN=BCsinBsin∠BNC= 32sin(x+π6)，
在△ACM中，由正弦定理得CMsinA=ACsin∠AMC，
所以CM=ACsinAsin∠AMC= 32sin(A+∠ACM)= 32sin(π3+π6−x)= 32csx，
△MCN的面积S=12CM⋅CNsinπ3
=12⋅ 32csx⋅ 32sin(x+π6)⋅ 32
=3 316csxsin(x+π6)
=3 38[sin(2x+π6)+12]，
因为x∈[0,π6]，
所以2x+π6∈[π6,π2],sin(2x+π6)∈[12,1]，
则3 38[sin(2x+π6)+12]∈[ 34,3 38]，
故△MCN面积的取值范围为[ 34,3 38]；
(3)因为csβ(sin2α+csα)+sinαsinβ(csα−1)=sinα，
所以sin2αcsβ+csαcsβ+sinαcsαsinβ−sinαsinβ=sinα，
则sinαsin(α+β)+cs(α+β)=sinα，即sinα[sin(α+β)−1]+cs(α+β)=0，
又α+β=π−θ是定值，
所以sin(α+β)，cs(α+β)是定值，
所以sin(α+β)−1=0cs(α+β)=0，
因为α，β为△MCN的内角，
所以α+β=π2,θ=π2，
故θ的值为π2．
【解析】(1)根据正弦定理与同角的关系求得B=π6，利用余弦定理和正弦定理计算即可求解；
(2)设∠BCN=x∈[0,π6]，根据正弦定理可得CN= 32sin(x+π6)，CM= 32csx，进而△MCN的面积S=3 38[sin(2x+π6)+12]，结合正弦函数的性质即可求解；
(3)利用三角恒等变换化简计算可得sinα[sin(α+β)−1]+cs(α+β)=0，则sin(α+β)，cs(α+β)是定值，即sin(α+β)−1=0cs(α+β)=0，解之即可．
本题主要考查三角恒等变换与解三角形，三角函数的性质的综合问题，结合三角恒等变换化简，正确运算是解决第(2)问的关键；确定sin(α+β)，cs(α+β)是定值即sin(α+β)−1=0cs(α+β)=0是解决第(3)问的关键，属于中档题．