湖南省多校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一、二册．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 不等式组 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量 ， ， ，则 （ ）
A. 3 B. C. D. 6
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 28 B. 30 C. 32 D. 34
6. 已知函数 ，若 是集合 中任意一个元素，则 有两个零点
的概率为（ ）
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A. B. C. D.
7. 已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 若数据 的方差为 15，数据 的方差为 10，则数据 ，
的方差的最小值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ， ，则（ ）
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10. 已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时，
B. ，
C. 不等式 的解集为
D. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为
11. 如图，正三棱柱 每条棱的长度均为 2， 为棱 的中点， 底面 ，点 在
平面 的上方，且 ，则（ ）
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A. 平面 平面
B. 四面体 外接球的表面积为
C. 直线 与直线 相交
D. 四面体 与正三棱柱 的公共部分的体积为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 是周期为4的函数， 对任意 ， 恒成立，则 ______
．
13. 在 中 ， ， ， ， 分 别 是 ， 上 的 点 ， 且 ，
， ， ，且 ，则 _____， 的最小值为______．
14. 在平面直角坐标系中，一个质点从坐标原点出发，每一步向上、下、左、右 4 个方向随机地移动 1 个单
位长度，则三步后，这个质点与坐标原点的距离超过 1 个单位长度的概率为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 ， 是圆柱下底面圆 的两条直径， ， 均为圆柱的母线， .
（1）求该圆柱的侧面积；
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（2）证明： 平面 .
16. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和单调递减区间；
（2）将 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，求不等式
的解集．
17. 为了解居民用水情况，某市水务部门随机调查了 1000 户居民的月用水量（单位：吨），发现这些数据均
分布在区间 内，现对这 1000 个数据进行整理，并据此绘制频率分布直方图.
（1）求图中 的值；
（2）为促进节约用水，该水务部门将对居民用水价格进行调整，拟确定一个用水量临界值，使得 80%的居
民月用水量不超过该值，求该临界值（单位：吨，结果精确到小数点后一位）；
（3）已知该市有 20 万户居民，若每组的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该市居民月用水的总量.
18. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，且 ，求 的周长；
（3）若 ， 在边 上， 是 的角平分线，求 的最大值.
19. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，且 .
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（1）若 平面 ，证明： .
（2）设平面 平面 .
（ⅰ）证明： .
（ⅱ）若 ，求二面角 的正弦值的取值范围.
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