安徽省马鞍山市2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷含答案（word版+pdf版）

这是一份安徽省马鞍山市2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷含答案（word版+pdf版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数 z=2026−2026i 在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案:D】
2. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB 和 CD 的中点,则 AD+EB=
A. AF B. DE C. CE D. BF
【答案:A】
第 2 题图
3. 已知 m,l 为空间中不重合的直线， α,β,γ 为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是
A. 若 m//l ,l ⊂β ,则 m//β B. 若 m⊥α,l ⊥α ,则 m//l
C. 若 m//β,l ⊂β ,则 m//l D. 若 α⊥β,β⊥γ ，则 α//γ
【答案: B】
4. 若 e1,e2 是同一平面内两个不共线向量,则下列各组向量不能作为该平面的基底的是
A. e1 与 2e1−e2 B. −e1−e2 与 e2
C. 2e1−3e2 与 4e1+6e2 D. e1+2e2 与 12e1+e2
【答案:D】
5. 已知数据 x1,x2,⋯,x2026 的平均数为 11,标准差为 3,则 3x1−2,3x2−2,⋯,3x2026−2 的平均数和标准差分别为
A.33,9 B. 33,7 C. 31,9 D. 31,7
【答案:C】
6. 已知向量 a=1,3,b=−2,0 ，则 a 在 b 上的投影向量为
A. 1,0 B. 3,0 C. 12,32 D. 32,32
【答案: A】
7. 一个箱子里有 20 个小球,分别以 1∼20 编号. 甲从中随机抽取 1 个小球,记下其编号. 记事件 A= “编号为奇数”, 事件 B = “编号为偶数”, 事件 C = “编号小于 18 ”，事件 D = “编号大于 18 ”，则下列结论错误的是
A. A与 B 互斥 B. A与 B 互为对立事件
C. C 与 D 互为对立事件 D. B 与 D 互为独立事件
【答案:C】
8. 在 △ABC 中, AB=6,AC=3 ,点 D 满足 BD=2DC,AD=23 ,则 csB=
A. 23 B. 22 C. 34 D. 32
【答案: D】
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知复数 z 满足 z=1,z 是 z 的共轭复数,则
A. z+z=2 B. zz=1
C. z−2的最小值为 1 D. z(1+i)=2
【答案: BCD】
10. 在边长为 2 的等边 △ABC 中, BC 和 AC 的中点分别为 D 和 E ,点 F 满足 AF=λAD,λ∈R ,则
A. AB+AC=2AD B. 向量 AB 与 BD 的夹角为 60∘
C. |EF|的最小值为 12 D. FA⋅FD 的最小值为 −34
【答案:ACD】
11. 六棱锥 P-ABCDEF 的高为 12 ,底面是边长为 3 的正六边形. 若该六棱锥的外接球半径为 2,则顶点 P 与底面 ABCDEF 的中心之间的距离可能为
A. 24 B. 12 C. 2 D. 2
【答案: CD】
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知圆锥的高为6，侧面积是底面积的2 倍，则该圆锥的母线长为_____.
【答案: 43 】
13. 某中学有高一年级学生 1050 人，高二年级学生 1000 人，高三年级学生 950 人. 现采用在各年级中按比例分配的分层随机抽样，从三个年级共抽取 60 名学生进行身高调查，则高一年级抽取的学生数为_____.
【答案:21】
14. 如图,在 △ABC 中, ∠BAC=2π3,AB=3,AC=2,AD=2DB ,点 E 是 CD 的中点, AE 与 BC 交于点 F ,则 AF⋅BF= _____.
【答案: −925 】
第 14 题图
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
从0,1,2,3,4,5,6这 7 个数中随机选择数,求下列事件的概率.
(1)若随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为 6 ；
(2)若随机选择两个不同的数，则这两个数之和的个位数字为 6.
【答案】:
解:(1)从这 7 个数种人选 1 个数，有 7 种选择， 2 分
因为这 7 个数中只有 4 和 6 的平方的个位数字为 6 ， 4 分
所以事件的概率为 27 . 6 分
(2)随机选择两个不同的数共有 6+5+4+3+2+1=21 种, 9 分
两个数之和的个位数字为 6 , 符合条件的有共 3 种, 12 分
所以事件的概率为 321=17 . 13 分
16.(15 分)
某市统计局统计了某城际地铁自开通以来的 100 天每天的客流量,发现它们都在 0~25 万人次之间, 将它们分成 5 组 (单位: 万人次): [0,5),[5,10),[10,15),[15,20),20,25 ,制作成如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 a 的值;
(2)求这 100 天中客流量不少于 10 万人次的天数；
(3)假设这些数据在各组内均匀分布，估计这 100 天客流量的第 75 百分位数.
第 16 题图
【答案】
解: (1) a=1−0.01×5+0.02×5+0.07×5+0.02×55=0.08 . 5 分
(2)不少于10万人次的天数的频率为 0.07+0.08+0.02×5=0.85 ，
故不少于 10 万人次的天数为 100×0.85=85 天. 10 分
(3)因为 0.01+0.02+0.07×5=0.5,0.01+0.02+0.07+0.08×5=0.9
所以第 75 百分位数一定在区间 [15,20) 内,
故设第 75 百分位数为 x ,
则 0.08×x−15+0.01+0.02+0.07×5=0.75 ,
解得 x=18.125 ,
所以第 75 百分位数为 18.125. 15 分
17. (15 分)
如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ∠ABC=90∘,AB//CD,AB=2CD=2,BC=1 . E 为 AB 的中点, 将 △BCE 沿着 CE 翻折成 △PCE ，如图 2.
(1)若 N 为棱 PC 的中点，求证: PA// 平面 DEN ；
(2)当 PD=1 时,求二面角 P−AE−C 的余弦值.
【答案】:
解:(1)连接 AC ，设 AC∩DE=M ，连接 MN .
由四边形 AECD 为平行四边形可得,
AC 与 DE 互相平分, 即点 M 是 AC 的中点, 2 分
又因为 N 为 PC 中点,所以 PA//MN . 5 分
因为 PA⊄ 面 DEN,MN⊂ 面 DEN ,
所以 PA// 面 DEN
(2)取 CE 的中点为 O，连接 PO 和 DO.
在 △POD 中, OD=OP=22,PD=1 ,
则 PD2=OD2+OP2 ,即 OD⊥OP ,
又因为 OP⊥CE,OD∩CE=O ,所以 OP⊥ 面 AECD .
过点 O 作 AE 的垂线,垂足为 G ,连接 PG ,
则 ∠PGO 为二面角 P−AE−C 的平面角. 10 分
在 Rt △POG 中, OG=12BC=12,PO=22 ,
所以 PG2=OG2+OP2 ,解得 PG=32 . 13 分
故 cs∠PGO=OGPG=33 .
即二面角 P−AE−C 的余弦值为 33 . 15 分
18. (17 分)
已知 △ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 若 a=23 且 asinB+3bcsA=0 .
(1)求角 A ；
(2)求 △ABC 面积的最大值；
【答案】:
解: (1) 因为 asinB+3bcsA=0 ,所以 sinAsinB+3sinBcsA=0 . 3 分
又因为 sinB≠0 ,所以 tanA=−3 . 5 分
因为 A∈0,π ,所以 A=2π3 . 7 分
(2)因为 a2=b2+c2−2bccsA ，
所以 12=b2+c2+bc≥3bc , 10 分
所以 bc≤4 ,
当且仅当 b=c 时取等号.
所以 S△ABC=12bcsinA=34bc≤3 , 16 分
故 △ABC 面积的最大值为 3 .17 分
19. (17 分)
如图,在三棱锥 A−BCD 中, AB=BC=AC=CD=2,BD=22 ,平面 ABC⊥ 平面 BCD .
(1)求三棱锥 A-BCD 的体积;
(2)求异面直线 AC 与 BD 所成的角的余弦值;
(3)若点 E 在棱 AB 上，当直线 CE 与平面 ABD 所成的角最大时，求该角的正弦值.
【答案】:
解:(1)取棱 BC 的中点为N，连接 AN，
因为 △ABC 为边长 2 的等边三角形,所以 AN⊥BC ,且 AN=3 .
因为平面 ABC⊥ 平面 BCD ,
所以 AN⊥ 面 BCD . 2 分
因为 BC=CD=2,BD=22 ,
所以 BC2+CD2=BD2 ,则 ∠BCD=90∘ ,故 S△BCD=2 .
所以三棱锥 A−BCD 的体积为 VA−BCD=13×S△BCD×AN=233 . 5 分
(2)取棱 AB 和 CD 的中点分别为 M 和 Q，连接 MN，MQ，NQ，
不难得 MN // AC，NQ // BD，
则异面直线 AC 与 BD 的夹角为直线 MN 与 NQ 所成的角. 7 分
过点 M 作 BC 的垂线,垂足为 F ,连接 FQ ,
因为 MF//AN ,所以 MF⊥ 面 BCD ,则 MF⊥FQ ,
在 Rt △FCQ 中, FQ2=CF2+CQ2=134 ,
故 MQ2=MF2+FQ2=4 . 9 分
在 △MNQ 中, cs∠MNQ=MN2+NQ2−MQ22×MN×NQ=−24 ,
故异面直线 AC 与 BD 的夹角余弦值为 24 . 11 分
(3)过点 C 作面 ABD 的垂线,垂足设为 O ,连接 OE 和 CE ,
则 ∠CEO 为直线 CE 与平面 ABD 所成角,
由 (1) (2) 可知, DC⊥ 面 ABC ,所以 DC⊥AC ,
所以 AD2=AC2+CD2=8 ,则 AD=22 .
在 △ABD 中, AD=BD=22,AB=2 ,不难算得 S△ABD=7 .
因为 VA−BCD=VC−ABD=13×S△ABD×CO ,所以 CO=2217 . 14 分
因为 sin∠CEO=COCE=2217CE ,故当 CE 取最小值时, sin∠CEO 取最大值.
因为 E 为棱 AB 上一动点,当 CE⊥AB 时, CE 取最小值为 3 ,
此时 sin∠CEO=COCE=2217CE=22173=277 .
即直线 CE 与平面 ABD 所成最大角的正弦值为 277 . 17 分