山东省济南市市中区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市市中区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 如图，将两个全等的直角三角板的一组对应边完全重合，组成以下四个图形，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可．
【详解】解：A．该图形绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形绕公共边中点旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意．
2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、它是整式的乘法，是将乘积形式化为多项式形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、它变形的结果是和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、它将多项式化为整式与的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
D、右侧的不是整式，不符合因式分解的要求，不是因式分解，故本选项不符合题意．
3. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分式有意义的条件为分母不等于0，据此列出不等式求解即可
【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为0，
∴对于分式，可得，
解得．
4. 如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由邻补角定义求出，然后利用平行四边形对角相等即可求解．
【详解】解：

四边形是平行四边形

5. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义．将已知根代入方程中，即可得到一个关于未知系数的方程，进而求解得出系数的值．这是利用方程根的定义求解参数的基本方法．
将已知根代入方程，求出m的值．
【详解】解：∵方程的一个根是，
∴将代入方程可得：
，
解得
故选：D．
6. 如图，长宽分别为，的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ）
A. 96B. 120C. 160D. 192
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出，，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可．
【详解】解：长、宽分别为、的长方形周长为，面积为，
，，
．
7. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ）
A. 且B. C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】先将分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据解为正数且分式分母不为0，列出不等式求解得到a的取值范围.
【详解】解：原方程两边同乘去分母得
整理得
∵方程的解为正数
∴，即，解得
又∵分式方程分母不能为0
∴，即，解得
综上，的取值范围为且．
8. 如图，在中，，，，是边上任意一点，点，分别是，的中点，则线段的长为（ ）
A. 2.5B. 2C. 1.5D. 1
【答案】B
【解析】
【详解】解：连接，
，，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
．
9. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转，使的对应边经过点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，根据旋转的性质得出及，结合点在上，利用等边对等角及三角形内角和定理求出旋转角的度数，即为的度数．
【详解】解：在中，，，
．
由旋转的性质可知，，，．
的对应边经过点，
点在上， ，
．
在中，．
．
10. 定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果．
【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为．
① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误；
② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确；
③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确；
④ 若是的根，则，
，
，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确；
⑤ 原的“倒方程”为，
是“倒方程”的根，
，
对所求式变形：，故⑤正确．
综上，正确结论共4个，故选C．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11. 分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
12. 如图，已知平行四边形的面积是，图中分割线均经过对角线、的交点，那么阴影部分的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，过对称中心的直线将图形分成面积相等的两部分，利用中心对称性质可知阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．
【详解】解：设平行四边形的对角线、相交于点．
因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．又因为图中分割线均经过点，
所以根据中心对称的性质，阴影部分与空白部分关于点对称，即阴影部分的面积等于空白部分的面积．
所以阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半．
因为平行四边形的面积是，
所以阴影部分的面积为．
13. 代数式与代数式的值相等，则_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意，，
解得；
经检验，是原方程的解.
14. 一条河的两岸，平行，河宽，村庄点到河岸的垂直距离为，村庄点到河岸的垂直距离为，且点，到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为_______．
【答案】25
【解析】
【分析】作，且，连接，作，易得，进而得到，勾股定理求出的长，即可得出结果.
【详解】解：作，且，连接，作，
则四边形为平行四边形，
∴，
∴，
由题意，，
∴，
∴，
故最短路程为.
15. 如图，在正方形中，，是上一点（不与端点重合），将正方形沿翻折，使点落到，连接，，若为等腰三角形，则的长为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据正方形的性质及折叠的性质得出，，，当时，延长，交延长线于，可得是等边三角形，进而得出，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，根据，利用三角形面积公式求出的长即可；当时，根据等边对等角得出，进而得出，即可证明，得出是等边三角形，可得，，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵将正方形沿翻折，使点落到，，
∴，，，
如图，当时，延长，交延长线于，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
如图，当时，连接，过作于，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
不存在的情况；
综上所述，的长为或．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【小问1详解】
解：
方程两边同乘，得，
解得，
检验：时，，
所以是原分式方程的解．
【小问2详解】
解：，
移项，得，
配方，得，
即，
开方，得，
解得，．
17. 已知：如图，在菱形中，E、F分别是边、的中点．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先证明，，，再进一步证明即可．
【详解】证明：四边形是菱形，
，，
，F分别是边、的中点，
，，
，
，
∴．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式
．
当时，原式．
19. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案；
（2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
【小问2详解】
方程的两实数根分别为，，
，，
解得，
．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出将向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的；
（2）若将（1）中看成是经过一次平移得到的，则这一平移的距离是 ；
（3）画出关于点成中心对称的图形．
【答案】（1） （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图形平移的性质画出即可；
（2）根据勾股定理即可得出结论；
（3）分别作出各点关于点的对称点，再顺次连接即可．
【小问1详解】
略；
【小问2详解】
连接，则，所以平移的距离为；
【小问3详解】
略．
21. 为打造书香校园，学校补充班级图书角藏书，购进甲、乙两类课外读物，购买甲种图书总共花费3600元，购买乙种图书总共花费2000元，甲种图书的单价是乙种图书单价的倍，购买甲种图书的数量比乙种图书多20本．
（1）求甲，乙两种图书的单价；
（2）恰逢书店优惠活动，所有图书全部按九折销售，学校计划再次购进甲种图书15本，乙种图书30本，共需要花费多少元？
【答案】（1）乙图书单价50元，甲图书单价60元
（2）一共需要花费2160元
【解析】
【分析】（1）设乙种图书单价为元，则甲种图书单价为元，根据等量关系：购买甲种图书的数量比乙种图书多20本，列分式方程，检验方程即可求出答案．
（2）根据第一问所求的甲乙单价，先求出打折后的甲乙单价，最后按照数量单价分别求出甲乙的各自总花费，将其相加即可．
【小问1详解】
解：设乙种图书单价为元，则甲种图书单价为元，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
则甲图书单价：（元）．
答：乙图书单价50元，甲图书单价60元．
【小问2详解】
解：所有图书全部按九折销售，
打折后甲售价：（元），打折后乙售价：（元），
一共需要花费（元）．
22. 为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示．
（1）的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围；
（2）若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？
【答案】（1）；
（2）的长度为16米
【解析】
【分析】（1）由的长为x米，可得边所用隔栏绳，将绳子全长减去，边所用隔栏绳绳长，即可表示出的长度，根据的长度不超过墙的最大可利用长度为24米列出不等式，求解即可；
（2）根据表演区的面积为320平方米列出方程，求解并结合（1）中x的取值范围即可解答．
【小问1详解】
解：∵的长为x米，
∴的长为（米）．
由题意可得，
解得，
即x的取值范围为．
【小问2详解】
解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
由（1）有，
∴．
答：的长度为16米．
23. 换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决．
例：把因式分解．
方法一：整体换元
解：把“”看成一个整体，令．
原式．
方法二：均值换元
解：把“”看成一个整体，令．
原式．
（1）例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 ；
（2）请利用“换元法”将多项式因式分解；
（3）当式子取得最小值时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）运用完全平方公式继续进行因式分解即可；
（2）令，依照材料提供的方法解答即可；
（3）令，根据完全平方公式变形后进行解答即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：令，则
原式
．
【小问3详解】
解：令，则原式，
当，即时原式取得最小值，
可得，
解得：，．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为．
（1）求直线的表达式；
（2）如图1，若点为线段的中点，，分别是线段、上的动点，，连接，，以，为邻边作平行四边形．当其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，求点的坐标；
（3）如图2，若点的坐标为，点的坐标为，连接，连接交轴于点，过作，交轴于点，试探究的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点坐标为或
（3）是定值，定值为
【解析】
【分析】（1）设直线的解析式为，把，代入，解方程组求出、的值即可得出答案；
（2）根据中点坐标公式求出，设，根据可得，根据平行四边形的性质得出，根据坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分得出的中点在轴上或的中点在轴上，分情况分别利用中点坐标公式求出的值，即可得出答案；
（3）设直线的解析式为，把代入可得，根据可得直线的解析式为，，同理可得，直线的解析式为，，进而求出的面积，即可得出答案．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
∵点坐标为，点坐标为，
，
解得：
．
【小问2详解】
解：点为线段的中点，，，
，
设，
，
，
，
，
设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴点是的中点，也是的中点，，
∴，
，
∵一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分，
∴的中点在轴上或的中点在轴上，
如图，当的中点在轴上时，，
解得：，
∴，，
；
当的中点在轴上时，，
解得：，
∴，，
；
综上所述：点坐标为或．
【小问3详解】
解：的面积为定值，理由如下：
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
，
，
设直线的解析式为
把代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
同理直线的解析式为，
，
的面积．
25. 如图1，矩形与矩形全等，点，，和点，，分别在同一条直线上，其中，，连接对角线，．
（1）如图1，线段与线段的数量关系为 ，线段与线段的位置关系为 ；
（2）如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，连接，当点，，在同一条直线上时（，不重合），求点到直线的距离；
（3）如图3，将图1中的矩形绕点逆时针旋转到某一个位置，连接，连接并延长交于点，证明点是的中点．
【答案】（1）；
（2）
（3）如图，过点作的平行线交的延长线于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
在与中，
，
，
，
点是的中点．
【解析】
【分析】（1）第一问考查全等的性质，可通过证明来解题；
（2）第二问根据勾股定理求出的长度，然后利用等面积法求出的边的高；
（3）第三问通过作平行线，构造并证明，从而证得点是的中点．
【小问1详解】
矩形与矩形全等，
，，，
在和中，
，，
，
，
．
【小问2详解】
当点，，在同一条直线上时
，，由等腰三角形“三线合一”得，
设点到直线的距离为，
则由等面积法：，
矩形中，，，
，
此时点到直线的距离为；
【小问3详解】
略