山东省济南市槐荫区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题（含解析）

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注意事项：
1．本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．
2．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
3．第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：选项A：，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，
满足一元二次方程的所有条件，正确；
选项B：含有两个未知数，不满足定义，错误；
选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误；
选项D：未知数的最高次数为，不满足定义，错误.
2. 中国传统六角宫灯广泛应用于节日装饰、文化主题创作等领域．六角宫灯的主体是一个正六棱柱，从正面看到的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图形，得到从正面看得到的图形，可得答案．
【详解】解：∵从正面看，会看到正六棱柱的三个面，是一行三个相邻的矩形，中间一个还是正方形，即，
∴C正确．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按照同分母分式减法法则计算化简即可得到结果．
【详解】
．
4. 槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行投影的变化规律，明确北半球下午物体影子长度随时间的变化趋势即可求解．
【详解】北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长，
本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大，
故符合要求的排列为，，．
5. 下列说法正确的是（ ）．
A. 平行四边形的对角线相等
B. 菱形的四个内角都是直角
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 正方形是轴对称图形也是中心对称图形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，A错误；
菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，四个内角不都是直角，B错误；
矩形的对角线相等且互相平分，不互相垂直，C错误；
正方形沿对边中点连线，对角线折叠均可与自身重合，绕中心旋转也可与自身重合，故正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，D正确．
6. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A. 9B. 10C. D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解的性质，是解题的关键．
根据方程解的定义把代入方程求解，即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
解得．
故选：A．
7. 如图，在中，是斜边上的中线，若，，则的长为（ ）．
A. 10B. 8C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质，计算中线的长．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：
，
是斜边上的中线，
．
8. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键．
根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
9. 随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均增长率表示出月份的销量，结合题目中月份销量与月份销量的关系列出方程，即可得到正确选项．
【详解】设每个月销量的平均增长率为，
月份销量为辆，
月份销量为辆，
月份销量为辆，
又月份销量比月份增加辆，即月份销量为辆，
可得方程．
10. 如图，在菱形中，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质得到，由三角形的内角和为求出的值，得出，由直角三角形的性质得到，即可得到；在直角三角形中，，故与不全等，由三角形的面积公式即可判断．
【详解】解：菱形，
是等边三角形，是等边三角形，
，
分别是的中点，
，故①正确；
，
，
在和中，
，
，
，故②正确；
是直角三角形，
，
与不全等，故③错误；
，
，
，故④正确；
综上，正确的有3个．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．
不按以上要求作答，答案无效．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【详解】解：．
12. 宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于_________（填“中心”或“平行 ”投影）

【答案】中心投影
【解析】
【分析】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．根据中心投影和平行投影的定义即可判断．
【详解】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影，
故答案为：中心投影．
13. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
∴，
解得，
故答案为：．
14. 已知是方程的两根，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵， 是方程的两根，
∴，，
∴；
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
15. 不透明的口袋中装有8个黄球和若干个白球，它们除颜色以外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有______个．
【答案】
【解析】
【分析】设口袋中白球的个数大约为x个，利用大量重复试验中频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率，结合概率公式列方程求解即可．
【详解】解：设口袋中白球的个数大约为x个，
∵通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，
∴摸到黄球的概率为，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴估计口袋中白球大约有32个．
16. 将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，展开后，沿、折叠，使点、点的对应点都落在折痕上，再次展开后，沿折叠，点点的对应点为点．点为线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点落在上，若，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用矩形对折性质得到为中点，，再由两次折叠的性质得到，设，在中用勾股定理列方程求出，得到；接着根据沿I折叠的性质得到，设，用表示，在中由勾股定理列方程求解，最终得到．
【详解】解：∵矩形中，对折与重合，得是中点，
∴，
沿折叠到上，得；
沿折叠对应点为，得，
设，
对用勾股定理：，代入，，，
得：，
展开解得，即，
∴，
沿折叠到上的，得，，
∴，
设，则，故，
由折叠性质得，在中：
展开化简得，
解得​，
即．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 因式分解___________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解．
【详解】解：
，
故答案为：．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，应用因式分解法是快速求解的关键．将方程左边因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解即可．
【详解】解：，
或，
解得
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先将分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，约分后即可得出化简结果，最后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：
，
将代入，原式．
20. 如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：．
【答案】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而得到，可证明，即可求证．
【详解】略
21. 现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始．
（1）欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______；
（2）欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人同时选择计算机视觉的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有三场直播，且每一场直播被选择的概率相同，
∴欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们同时选择计算机视觉的结果数有1种，
∴他们同时选择计算机视觉的概率为．
22. 已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形．
【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点是的中点，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
23. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶．
（1）每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）；
（2）若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？
【答案】（1）；
（2）每顶头盔应降价8元
【解析】
【分析】（1）根据利润售价进价，列出代数式即可得到每顶头盔的利润；再利用平均每周的销售量，即可得到销售量；
（2）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价高于元，即可确定结论．
【小问1详解】
解：∵进价为每顶50元，原售价为每顶78元，
∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元；
∵售价为每顶78元，平均每周可售出200顶，每降价2元，平均每周可多售出40顶，
∴销售量为顶；
【小问2详解】
解：由题意得
，，
每顶售价高于68元，且，
，
答：每顶头盔应降价8元．
24. 【先导问题】
我们已经学习过完全平方公式：，通过将代数式凑成完全平方式，再利用“平方数是非负数”的性质，就能巧妙解决很多问题．
例1因式分解：．
原式．
例2已知，其中，为任意实数，求的最值．
，
，
∴当时，有最小值1．
【提炼模型】
通过先加上然后再减去一次项系数一半的平方，将代数式凑成完全平方式，这种解题方法称为配方法．在此基础上再利用平方数的非负性，实现因式分解、求代数式最值或根据多个非负数的和为0求解未知数．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
【识别、应用模型】
（1）因式分解：________；
（2）若，其中为任意实数，求的最值；
【总结提升】
（3）已知、、是的三边长，且，求的周长．
【答案】（1）
（2）有最小值
（3）的周长为
【解析】
【分析】（1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案；
（2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案；
（3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解a，b，c，最后计算三角形周长即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
，
∴当时，有最小值．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴、、满足三角形的三边关系，
∴的周长为．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别是、、．点从点出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点从点出发，沿方向在轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）．
（1）________，________（用含的代数式表示）；
（2）当时，求的值；
（3）如图2，轴上有一动点，连接和，在、运动过程中，当时，请求出此时的坐标和的最小值．
【答案】（1）；
（2）或
（3）的坐标为；最小值为
【解析】
【分析】（1）由题意即可得出结果；
（2）过点作垂足为点，则四边形是矩形，从而可得，，根据动点的速度可知，，则，表示出，再结合勾股定理计算即可得出结果；
（3）先证明四边形为矩形，得出，，根据动点的速度可知，，则，列出关于的一元一次方程，求解即可得出的坐标为，，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称的性质可得，，再由，并结合勾股定理计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：从出发，速度1，；
从出发，，故．
【小问2详解】
解：由题意得，，
则横坐标：，纵坐标4，即；
，
过作，
，
则四边形是矩形，垂足，
，
在中，，代入：
，
，
解得或，
，
或．
【小问3详解】
解：是竖直线，
由得横坐标相同：
横坐标：，横坐标：，
，
解得，，
横坐标：，纵坐标，
；
此时横坐标，即，
在轴（）上，
作关于轴的对称点，
由轴对称性质：，
故，
当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长度，
，，由两点距离公式：
，
最小值为．
26. 在正方形中，边长为，在射线上取一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转至，连接、．
（1）如图1，当点为线段中点时，则________，________；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，交于点，与交于点，猜想线段与具有什么关系，并证明你的结论；
（3）当点在射线上时，连接，是的中点，若，连接，请直接写出的长．
【答案】（1）；
（2）猜想：，且；
证明：由正方形得：，，
由旋转得，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质结合勾股定理可求得的长，证明，可得，由旋转的性质结合勾股定理可得的长；
（2）利用证明，可得结论；
（3）分两种情况讨论点的位置，根据勾股定理求出的长．
【小问1详解】
解：∵是中点，，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，，
∴在中，；
∵，，，
∴，
∴，
由旋转得：，；
∴在中，．
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：∵正方形边长，，
∴，即；
由旋转得，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
即，
∴，
在中，，
①若点在线段延长线上，则，
如图，延长至，使，延长至，使，连接，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，是的中点，
∴是的中位线，
∴；
②若点在线段上，
∵，，
∴与重合，舍去（无法构成），仅保留延长线情况．
综上，的长为．
欢欢
乐乐