内蒙古自治区赤峰市部分校联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份内蒙古自治区赤峰市部分校联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了07， 复数， 已知集合，，则， 已知，，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2026.07
本试卷共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 复数（其中为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题可知，.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由，得，得或，
因为，所以.
3. 在中，为边上靠近点的三等分点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，
所以，因此.
4. 已知是定义域为的偶函数，且满足当时，，则函数的零点个数为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为的图象与直线的交点个数，使用图象求解.
【详解】函数的零点个数等价于函数的图象与直线的交点个数，
当时，，，
由图可知交点个数为2个，
所以函数的零点个数为2.
5. 已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据相等向量的定义，结合充要条件的定义判断即可.
【详解】若四边形是平行四边形，
则，所以；
若，则，则四边形是平行四边形.
所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件.
故选：A.
6. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案.
【详解】由题意得，令，解得或，
的定义域为，
设，，
根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又因为在为增函数，
根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为.
7. 两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（ ）
A. 两个角均为锐角B. 一个角为，一个角为
C. 两个角均为D. 两个角均为
【答案】D
【解析】
【分析】根据异面直线和直线与平面所成角的概念逐个分析可得答案.
【详解】对于A，两个角可能均为锐角，故A不正确；
对于B，可能一个角为，一个角为，故B不正确；
对于C，可能两个角均为，故C不正确；
对于D，如果两个角均为，则两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，不是异面直线，故这两个角不可能均为，故D正确.
故选：D.
8. 若将函数的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】将函数的图象向右平移1个单位后得到函数，
由题可知图象关于原点对称，所以为奇函数，
所以，即，
所以，即，
所以，
解得（因为，舍去），或，或（因为，舍去），或，
所以.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【详解】，选项正确；
，选项正确；
，选项错误；
，选项正确.
10. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则满足条件的有两个
C. 若，，则周长的最大值为
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，由余弦定理得到；B选项，根据得到不存在；C选项，由余弦定理和基本不等式得到周长最大值；D选项，由大边对大角和余弦函数单调性可得D正确
【详解】A选项，由余弦定理得，
因为，所以，A正确；
B选项，，，，则，故，
则满足条件的不存在，B错误；
C选项，，，由余弦定理得，
故，所以，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
故，解得，故，
所以周长的最大值为，C错误；
D选项，因为，所以，
因为，在上单调递减，
所以，D正确.
11. 在正三棱柱中，所有棱长均为2，为中点，为中点，连接、、．下列命题正确的是（ ）
A. 平面
B. 三棱锥的体积为
C. 平面与平面所成二面角的正弦值为
D. 正三棱柱外接球的表面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】取中点为，连接，，可证四边形为平行四边形，进而可判断A；利用，结合正三棱柱的性质可求得体积判断B；取中点为，过作于，连接，可得为平面与平面所成二面角的平面角，进而计算可判断C；利用正三棱柱的性质可求得外接球的半径，进而计算判断D.
【详解】取中点为，连接，，
因为为中点，所以，，
又因为为中点，所以，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，故A正确；
因为平面，所以三棱锥的高为，
所以，故B正确；
取中点为，过作于，连接，
又因为为中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，
因为为中点，所以，所以，
所以，又，所以，
在中，，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故C正确；
取正三棱柱上下底面的正三角形的中心为，连接，
由正三棱柱的性质可知正三棱柱外接球的球心为的中点，
在正三角形中，由正弦定理可得，
在中，外接球的半径，
所以正三棱柱外接球的表面积为，故D错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________．
【答案】4
【解析】
【详解】设圆心角为，半径，故，解得.
13. 在平面直角坐标系中，已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的公式求解.
【详解】在方向上的投影为
14. “无字证明”(prfs withut wrds), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：__________________．
【答案】
【解析】
【详解】由图中所给数据易得图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分的面积为,又，
.
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角，，的对边分别为，，．
（1）若，，，求角及的面积；
（2）求证：的面积（其中）．
【答案】（1），的面积为
（2）
，
.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可求得，可求，进而利用三角形面积公式可求得的面积；
（2），进而利用余弦定理角化边，再计算化简可得结论.
【小问1详解】
由余弦定理可得，
因为角为三角形内角，则，则，
的面积.
【小问2详解】
略.
16. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式与对称中心；
（2）当时，求的最大值与最小值；
（3）若角满足，求的值．
【答案】（1），
（2）最大值1，最小值
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图象变换可得解析式，利用整体代换思想令即可求出对称中心；
（2）令，结合余弦函数性质求最值即可；
（3）设，利用诱导公式转化所求表达式以及二倍角公式计算结果即可.
【小问1详解】
由已知图象平移得，所以，
设，的对称中心为，
令，解得，
所以的对称中心为.
【小问2详解】
当时，则，
因为为偶函数，且在上为减函数，
所以当，即时，有最大值；
当或，即或时，有最小值.
【小问3详解】
因为，设，则且，
可得，
所以.
17. 如图，在三棱锥中，底面，垂足为，且，，为中点，，
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）平面，平面，
，D是中点，
又平面，平面，，平面
平面，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的定理得平面，从而证得；
（2）根据直线与平面所成角的定义，以及面面垂直的判定定理和性质定理，证得直线与平面所成的角为，再由等面积法求得其正弦值；或由线面垂直的判定定理证得直线与平面所成的角为，再由余弦定理求出其余弦值，最后利用同角三角函数关系式，求得其正弦值.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
法一：
连接，平面，平面，∴平面平面
过作，为垂足.
∵平面平面，平面，平面，
为与平面所成角.
，，，.
平面，平面，．
，
，
，
.
即与平面所成角正弦值为．
法二：
连接，过作，
平面，平面，.
又，平面，平面，，
平面.
为与平面所成角，
，，，，
平面，平面，．
，
，
由余弦定理，，
，
，
即与平面所成角正弦值为．
18. 如图，正方形的边长为，、分别是、边上的动点，且满足，与相交于点．

（1）若为中点，求的值；
（2）（ⅰ）求证：在运动过程中，恒有；
（ⅱ）求的最大值．
【答案】（1）2 （2）（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则，，，，
，，
，
故，
故恒有．
（ⅱ）
【解析】
【小问1详解】
以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，则，，，，
，，
．
【小问2详解】
（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设，
则，，，，
，，
，
故，
故恒有．
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以点轨迹是以为直径的圆在正方形内部的部分．
设在上的投影向量为，则 ，
由M点轨迹知，与同向共线，且，
故.
19. 对于任意两个实数，，记区间上曲线与直线，及轴围成的曲边梯形面积为，约定，，并定义．
（1）对任意实数和，且，证明：（注：可借助图形辅助证明）；
（2）若，求实数的值；
（3）（ⅰ）求证：对任意实数，都有；
（ⅱ）设，记，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）如图，
，，



（2）
（3）（ⅰ）①若，则．
②若，则．

③若，则．

综上所述，
（ⅱ）存在，
【解析】
【分析】（1）根据新定义，将转化为曲边梯形面积，再结合图形，
根据图形面积的大小关系证明不等式；
（2）根据，列方程求解实数的值；
（3）（i）通过分类讨论三者的大小关系，将利用性质转化为与的和差形式，再利用证明等式成立；
（ii）作差化简，利用基本不等式能得到恒成立，所以问题转化为，解方程求的所有值.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
由已知，
所以，
所以
所以；
【小问3详解】
（ⅰ）略
（ⅱ）


，当且仅当，即时等号成立．
，
假设存在使恒成立，则，所以．