吉林省长春市朝阳区2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市朝阳区2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题（含解析），共14页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等式的基本性质，将未知数系数化为1即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴ 等式两边同时除以，得 ，
∴ 方程的解为．
2. 下列4组数中，是二元一次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解．熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．
将各选项代入方程判断即可．
【详解】解：由题意知，当时，，解得，即不是二元一次方程的解，故A不符合要求；
当时，，解得，即不是二元一次方程的解，故B不符合要求；
当时，，解得，即是二元一次方程的解，故C符合要求；
当时，，解得，即不是二元一次方程的解，故D不符合要求；
故选：C．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
【详解】解：A是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
4. 一元一次不等式的解集在数轴上表示正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：
解得：
∴解集在数轴上表示为
5. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
A. 三角形的稳定性B. 两点之间线段最短
C. 垂线段最短D. 两点确定一条直线
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形的稳定性．
6. 如图，在中，点在边上，连接，将沿翻折得到，使点的对称点落在边上，则是的（ ）
A. 中线B. 高线C. 角平分线D. 边的垂直平分线
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的定义以及角平分线的定义即可解答．
【详解】解：∵将沿翻折得到，使点的对称点落在边上，
∴，即是的角平分线．
7. 如图，在中，点在边上（点不与点、点重合），连接，点是边的中点，连接、．若的面积为，则阴影部分图形的面积和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：点是边的中点，
，，
，
．
8. 如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的轴对称图案．若该正方形的边长为，内部长方形间距最小值为，则图中阴影部分图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是的正方形的周长，加上边长是的正方形的两条边长，再减去，即可得出结果．
【详解】解：∵由平移的性质可知，阴影部分的周长是的正方形的周长，加上边长是的正方形的两条边长，再减去，
∴阴影图形的周长
．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 若为关于的方程的解，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】将代入方程之中即可求出的值．
【详解】解：是关于的方程的解，
，
．
10. 若是二元一次方程的一组解，则的值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】将已知的方程的解代入原方程，解一元一次方程即可得到的值．
【详解】解：∵是二元一次方程的一组解，
∴，
∴．
11. 用边长相等的正三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图如图所示，则的值为______．
【答案】
【解析】
【详解】解：依题意，正边形的一个外角为
∴
12. 如图，正五边形的边在正方形的边的延长线上，点在该正方形的边上，则的大小为______度．
【答案】
【解析】
【分析】根据正多边形的外角求得，再根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：依题意，，，
∴．
13. 如图，的角平分线、交于点．若，则的大小为______度．
【答案】
【解析】
【分析】根据的角平分线交于点O，可得，再由三角形的外角的性质以及三角形内角和定理可得，即可求解．
【详解】解：∵的角平分线交于点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
14. 如图，经过已知直线外一点，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线的垂线．
（1）以点为圆心、适当长（大于点到直线的距离）为半径作弧，交直线于、两点；
（2）分别以点、为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧相交于点；
（3）作直线，交于点，顺次连结、、、．
直线就是所要求作的垂线．
给出以下四个结论：①；②点与点关于直线对称；③若，则四边形的周长为；④四边形的面积为．
以上结论正确的序号为______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据作图可得是的垂直平分线，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：根据作图可得，，，
∴是的垂直平分线
∴，故①正确，
，，
∴点与点关于直线对称；故②正确，
∵，
若，则四边形的周长为，故③正确，
∵，
∴四边形的面积为，故④不正确．
综上所述，正确的序号为①②③．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，运用加减消元法是解二元一次方程组常用的方法．
直接利用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】解：，
，得：，
∴
把代入①，得：，
解得：，
∴方程组的解为．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
17. 图①、图②、图③均为12个边长为1的小正方形组成的长方形，每个小正方形的边称为网格线．仅用无刻度的直尺，按下列要求画图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分关于这条实线成轴对称．
（2）在图②中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分只是关于某一点成中心对称．
（3）在图③中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割成面积相等的两部分，且这两部分不全等．
【答案】（1） （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质找到对称轴，即可求解；
（2）根据中心对称的性质作图，即可求解；
（3）根据题意画出实线，分割成两部分，每部分的面积为，即可求解．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
略
18. 解不等式组，并写出它的最大整数解．
【答案】，不等式组的最大整数解为
【解析】
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为，
所以不等式组的最大整数解为．
19. 某班到离学校的国家森林公园春游，先坐车，速度为．下车后以的速度步行到达目的地，共花了，求他们步行的时间．
【答案】他们步行了
【解析】
【分析】设他们步行了，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设他们步行了，
由题意，得，
解得，
答：他们步行了．
20. 如图，在中，，，点E在边上，点D在的延长线上，将沿射线方向平移得到，使点E对应点落在边上，与边交于点F．
（1）若，求的大小；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的性质，平移的性质，三角形内角和定理．
（1）根据，得到，再根据平移的性质得到，即可解答；
（2）根据平移的性质及全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到，即可证明．
【小问1详解】
解：∵，，
∴．
由平移，得，
∴；
【小问2详解】
证明：由平移，得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了20块相同的金属板材，每块金属板材有如图所示的A、B、C三种裁剪方式．A方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧面；B方式：裁剪成3个侧面；C方式：裁剪成9个圆形底面．已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面与侧面恰好配套．现已有2块金属板材按C方式裁剪，其余分别按A、B两种方式裁剪．设有块金属板材按A方式裁剪，块金属板材按B方式裁剪．
（1）可以裁剪出圆形底面共______个（用含的代数式表示）；侧面共有______个．（用含、的代数式表示）
（2）求最多能加工圆柱形茶叶盒的数量．
【答案】（1）；
（2）最多能加工36个圆柱形茶叶盒
【解析】
【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解；
（2）根据题意列出二元一次方程组，解方程，进而根据2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，计算侧面的个数，即可求解．
【小问1详解】
解：可以裁剪出圆形底面共个，侧面共个
【小问2详解】
由题意，得．
解得．
．
答：最多能加工36个圆柱形茶叶盒
22. 【问题再现】如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若，求的度数．
【问题解决】
（1）小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程：
平分，平分，
，．
______，
．
______，
______度．
将小明的过程补充完整．
【应用】
（2）如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点．设的度数为，求的度数．（用含的代数式表示）
【拓展】
（3）如图③，在中，为锐角，内部的射线与外角内部的射线交于点（为锐角）．若，，设的度数为，则的大小为______．（用含的代数式表示）
【答案】（1）；；45
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可；
（2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可；
（3）先说明，，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可．
【小问1详解】
解：平分，平分，
，．
，
．
，
，
∴
度．
【小问2详解】
解：平分，平分，
，．
，
．
，
，
∴
．
【小问3详解】
解：∵，，
∴，，
，
．
，
，
∴
∴，即．
23. 小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打相同的折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．这三次参观科技馆的购买成人票和学生票的数量和费用如下表：
（1）小明以折扣价购买门票是第______次参观．
（2）分别求每张成人票和每张学生票的标准票价．
（3）小明第四次以相同的折扣购买成人票和学生票共15张，且购票总费用不超过320元（要求必须购买成人票）．
①成人票和学生票打______折销售；
②直接写出小明第四次的购票方案．
【答案】（1）三 （2）每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元
（3）①五
②方案一：购买成人票1张，购买学生票14张；方案二：购买成人票2张，则购买学生票13张
【解析】
【分析】（1）由表中数据即可得出结论；
（2）设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（3）①设每张成人票和学生票都打折，由购买成人票和学生票共15张，结合表中数据列出一元一次方程，解得，
②设购买成人票张，则购买学生票张，由题意：购票总费用不超过320元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：由题意得：购买门票数量多，总费用反而少的是第三次购票，
∴小明以折扣价购买门票是第三次参观；
【小问2详解】
解：设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元；
【小问3详解】
①解：设每张成人票和学生票都打折，
由题意得：，
解得：，
即每张成人票和学生票都打五折，
②设购买成人票张，则购买学生票张，
由题意得：，
解得：，
必须购买成人票，
或2，
方案一：购买成人票1张，购买学生票14张；
方案二：购买成人票2张，则购买学生票13张．
24. 在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺和，探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，．
（1）如图①，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_____度．
（2）如图②，固定图①中的，将绕着点逆时针旋转，使点在的内部，求证：．
（3）固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．若和的直角边在同一条直线上，则直线与相交所成的锐角的度数为_____．
（4）固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．当的某条边与的某条边平行时，直接写出锐角的度数．
【答案】（1）
（2）证明：，
．

（3）或
（4）或或或
【解析】
【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求解．
（2）根据，即可得出；
（3）根据三角形的外角的性质，即可求解；
（4）分五种情况讨论，分别画出图形，根据平行线的性质以及三角板的角度，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意
∴；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：如图①，直线与相交所成的锐角的度数为
如图②，直线与相交所成的锐角的度数为
【小问4详解】
如图③，，
∴
∴
如图④，，
∴
如图⑤，
∴
∴
∴
如图⑥，
∴
如图⑦，
∴
∴
∴
综上所述，锐角的度数为或或或．购票次数
购买门票的数量（张）
总费用（元）
成人票
学生票
第一次购票
第二次购票
第三次购票