吉林省部分校2025-2026学年高二下学期7月期末联考数学试题（含解析）

这是一份吉林省部分校2025-2026学年高二下学期7月期末联考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则的元素个数为（ ）
A. 16B. 12C. 8D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】，，
则，
则的元素个数为16.
2. 已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导函数的图象判断其在区间上的符号，进而确定原函数的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小.
【详解】由的图象可知，当时，的图象位于 轴下方， 即在区间上恒成立，
所以函数在区间上单调递减，
因为， 所以，故D正确.
3. 超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，．若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】记事件“任意购买一件买到优品”，事件“买到甲工厂的产品”，事件“买到乙工厂的产品”，
则，，
所以买到优品的概率．
4. 若曲线在处的切线方程为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知求出即可.
【详解】由，求导得，
由曲线在处的切线方程为，得，解得，
当时，，所以.
5. 已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点逐项分析判断.
【详解】因为x与y的样本相关系数为，可知x与y为负相关，故C，D错误；
又因为经验回归方程过样本中心点，
对于A项，，则，故A错误；
对于B项，，则，故B正确．
6. 除以7的余数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】因为
，
所以除以7的余数为1.
7. 若，，且，则（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项分布的期望和方差公式，结合已知条件判断.
【详解】已知，，因此，，
由题设，得，即，排除C、D选项，
，，
作差得：，
由题设，所以，，
因此，即，
综上，且.
8. 已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数与极值点的关系，结合诱导公式及三角函数性质求解即可..
【详解】.
令，则，即.
令，当时，，
则问题可转化为在上有两个不同的解，即与在上有两个交点.
易知在上单调递减，在单调递增.
又当时，；当时，，
当时，，
简图如下：
所以.
故的取值范围为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，为两个随机事件，且，，，则（ ）
A.
B.
C.
D. 与相互独立
【答案】ACD
【解析】
【详解】,
选项 A,,A 正确;
选项 B,在发生的条件下，与对立,,B 错误;
选项 C, ,C 正确;
选项 D, ,故相互独立，D 正确
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【详解】令，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，
因此，D错误.
11. 设关于X，Y，Z的三元方程的正整数解的组数为，其中a，b，c均为常数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用隔板法可判断A；分类讨论法分别计算对应三元方程的正整数解组数，再逐一验证其余选项的正误.
【详解】选项A，由题意知，即的正整数解的组数，
由隔板法，正整数解组数为，故A错误.
选项B：，即的正整数解的组数，
由，得，
对分类： 当时，，共6组；当时，，共4组；当时，，共3组；当时，，共1组，
总和为，
，即的正整数解的组数，由，得，
对分类：当时，，共6组；当时，，共4组；当时，，共3组；当时，，共1组，
总和为，
两者相等，故B正确.
选项C：，即的正整数解的组数，
由，，得，故，
对每个，的正整数解组数为，
总组数为： ，C正确.
选项D：，即的正整数解的组数，
得，（），
总组数为，
，即的正整数解的组数，同理计算得总组数为，
显然，即，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若随机变量，且，，则_______．
【答案】##
【解析】
【详解】已知随机变量，全体事件的概率和为，
根据概率性质： ，
由已知条件计算：，
，
代入得：
13. 已知函数的导函数，且，则在上的最小值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】利用导数研究函数单调性及闭区间上函数最值的求解，首先由条件求出，再得出在上的单调性，即可求解最小值.
【详解】已知函数的导函数，
所以（为常数），由代入求出，
故，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
又，，，
因此在上的最小值为0.
14. 在的展开式中，只有第25项的二项式系数最大，则_______，在的展开式中，含项的系数为_______（结果用数字作答）．
【答案】 ①. 48 ②. 19600
【解析】
【分析】根据二项式定理及组合数的性质求解即可.
【详解】只有第25项的二项式系数最大，则展开式共有项，
所以.
根据二项式定理，中项的系数为，
所以在的展开式中，含项的系数为
.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表：
（1）分别求两种防冰涂层的合格率；
（2）依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）电热防冰涂层合格率为，疏水防冰涂层合格率为.
（2）在的独立性检验下，可以认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联．
【解析】
【小问1详解】
由列联表可知，电热防冰涂层总数量100，合格数量70，
故电热防冰涂层的合格率为，
疏水防冰涂层总数量100，合格数量85，
故疏水防冰涂层的合格率为．
【小问2详解】
零假设为：防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰无关，
根据列联表中的数据，计算得到，
根据的独立性检验，我们推断不成立，
即认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关．
16. 吉林雾凇是中国四大自然奇观之一，冬季江水不冻，水汽遇低温凝华在树枝上形成洁白蓬松的雾凇，冰清玉洁，仪态万千．某文创店推出的雾凇盲盒销售火爆，货架上仅存6个盲盒，其中4个盲盒中各有1个雾凇冰箱贴，另外2个盲盒中各有1个雾凇冰晶挂件．
（1）若甲先购买1个盲盒，乙再购买1个盲盒，求甲买到雾凇冰箱贴且乙买到雾凇冰晶挂件的概率；
（2）若甲一次性购买4个盲盒，甲买到的雾凇冰箱贴数量为，雾凇冰晶挂件数量为，记，求的分布列与期望．
【答案】（1）
（2）的分布列为
．
【解析】
【小问1详解】
甲买到雾凇冰箱贴且乙买到雾凇冰晶挂件的概率为．
【小问2详解】
当,当,当,
的所有可能取值为0，2，4．
，
，
，
则的分布列为
故．
17. 已知三对夫妻坐成一排照相．
（1）求不同的排列数；
（2）求每对夫妻两人均相邻的排列数；
（3）求同性别的人均不相邻的排列数．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】根据题设要求，选择捆绑法，插空法，特殊位置优先法，以及分步乘法，分类加法计数原理求解即得.
【小问1详解】
6人坐成一排，不同的排列数为；
【小问2详解】
要求每对夫妻均相邻，使用捆绑法，将每对夫妻看作1个整体，共得到3个整体，
则不同的排列数为；
【小问3详解】
要求同性别的人均不相邻，仅存在两种性别排列方式：男女男女男女；女男女男女男，
则不同的排列数为.
18. 某同学进行投篮训练，投中1次记1分，未投中1次记分，n次投篮后累计得分为X，当或时，训练结束．设该同学每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立．
（1）当时，求；
（2）求时训练结束的概率；
（3）记该同学恰好经过m次投篮后训练结束，证明：．
【答案】（1）
（2）
（3）因为该同学恰好经过m次投篮后训练结束，所以为偶数，故的可能取值为，
；
；
；
.
则，
两边同乘以得，
，
两式作差得，
即
.
【解析】
【分析】（1）2次投篮得分，说明1次投中，1次没有投中；
（2）时训练结束，说明前2次得分为0，第3、第4次得分为0，后两次得分为2或；
（3）先求时的概率，再利用期望的计算公式求出的值判断.
【小问1详解】
2次投篮得分，说明1次投中，1次没有投中，
因此.
【小问2详解】
时训练结束，说明前2次投篮为投中1次，未投中1次，得分．
第3次、第4次投篮为投中1次，未投中1次，得分．
第5次、第6次投篮为连续2次投中，或连续2次未投中，得分或．
故时训练结束的概率为．
【小问3详解】
略
19. （1）证明：函数在上单调递增．
（2）已知函数有两个不同的零点，．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【答案】（1）函数的定义域为，，
令，则．
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以，
所以在上单调递增.
（2）（ⅰ）.
（ⅱ）证明：不妨假设，因为，所以，得，
由（1）可知，在上单调递增，且，
所以当时，，
当时，，
所以，得，
因为，所以，，
所以，得.
两式相加得，
得.
【解析】
【分析】（1）求导得，令，利用二次导数可求得恒成立，可得结论；
（2）（ⅰ）．设函数，求导可得的单调性，进而可求得的取值范围；（ⅱ）不妨假设，由（ⅰ）得，结合（1）知在上单调递增，且，计算可求得结论.
【详解】（1）略
（2）（ⅰ）令，得．设函数，得
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以
因为当时，，，的图象与直线有两个交点，
所以，即的取值范围为
（ⅱ）略.
防冰涂层类型
积冰情况
合计
无积冰
有积冰
电热防冰涂层
70
30
100
疏水防冰涂层
85
15
100
合计
155
45
200
0.05
0.01
3.841
6.635
0
2
4
0
2
4