吉林四平地区部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题（含解析）

这是一份吉林四平地区部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交，本卷主要命题范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
4．本卷主要命题范围：必修第一册第一章至第四章，选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同报法的种数为（ ）
A. 16B. 27C. 64D. 81
【答案】D
【解析】
【详解】一共有 3 支运动队：足球、篮球、乒乓球，每位同学都有3 种报名选择；共有 4 名同学，每人选择相互独立；
总报法种数：.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式求出集合，根据交集的定义计算即可.
【详解】由题，，
故，故D正确.
3. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可知.
4. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】因为X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
又因为，则，
且，即，
可知a与3是关于对称的，所以．
5. 已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】当时，，
当且仅当，即时，等号成立.
由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数单调递减，.
函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是.
6. 5名学生排成一排，甲、乙、丙3人相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过捆绑法确定甲、乙、丙3人相邻的排法总数，再由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】5名学生排成一排，共有种排法，
其中甲、乙、丙3人相邻有种，
所以甲、乙、丙3人相邻的概率为，
故选：A
7. 已知函数，记则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据定义法可得函数为奇函数，利用导数可得在上单调递增，由此可比较函数值的大小.
【详解】∵函数定义域为，，
∴为奇函数，故.
由题意得，.
∵，当且仅当时等号成立，，
∴，即在上单调递增.
∵，
∴.
故选：B.
8. 在平面直角坐标系中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且向上、下、左、右四个方向移动的概率相等，若该质点移动6次后所在坐标为，则该质点移动的方法总数为（ ）
A. 120B. 225C. 230D. 245
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，质点向右移动次数恰好比向左次数多2次，向上移动次数和向下移动次数相同.由此分"质点往右移动4次，往左移动2次"、"质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动1次，往下移动1次"、"质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次"三种情况分析求解即可.
【详解】由题意可得，质点向右移动次数恰好比向左次数多2次，向上动次数和向下移动次数相同.
因为该质点移动6次后所在坐标为，所以有以下三种情况：
①质点往右移动4次，往左移动2次，共有种移动方法；
②质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动1次，往下移动1次，共有种移动方法；
③质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，共有种移动方法.
所以质点移动的方法总数为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论中正确的是（ ）
A. 在回归模型中，决定系数越大，则模型的拟合效果越好
B. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，且此时推断犯错误的概率不大于
C. 具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点中心为，则
D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
【答案】AC
【解析】
【详解】对于A选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，故A正确；
对于B选项，，故不能在的小概率值下判断与有关联，故B错误；
对于C选项，经验回归方程过样本中心点，将代入得，解得，故C正确；
对于D选项，样本点都在直线上，则完全正相关，所以相关系数为，D项错误．故选AC．
10. 以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有（ ）
A. 第100行中，从左到右看第50个数最大
B. 第100行的所有数的和为
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据二项式系数的增减性判断A，根据组合数运算及性质计算判断B，C，D.
【详解】对于A选项，由二项式系数的增减性可知，第100行中共有101个数，从左到右看第51个数最大，A错误；
对于B选项，第100行的所有数的和为，B正确；
对于C选项，由组合数的性质可得，C正确；
对于D选项，
，D正确．
故选：BCD．
11. 已知函数的定义域为，值域为.且满足；当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在上单调递增
C. D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法判断A，利用单调性的定义证明B，可得，再由基本不等式判断C，推导出，即可判断D.
【详解】对于A：因为，令可得，
解得或，又的值域为，所以，故A正确；
对于B：设任意的且，令，
所以，
因为，，则，所以，
即，即，所以在上单调递增，故B正确；
对于C：因为且，令，则，
又，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，故C错误；
对于D：因为且，，
所以，则（舍去），
所以，
则，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 曲线在点处的切线的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出导函数，得切线斜率后可得切线方程．
【详解】，∴切线斜率为，
切线方程为．
故答案为：．
13. 已知随机变量X，Y满足，且，，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式可得，进而可得，结合方差的性质运算求解即可.
【详解】因为，则，
即，且，解得，
则，可得，
又因为，所以．
14. 某社区居民计划暑假去海南或厦门旅游，经统计得到如下列联表：
若依据小概率值的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，则正整数的最小值为_____________．
参考公式：.
【答案】
【解析】
【分析】由表中数据，根据独立性检验的解题思想，可得答案.
【详解】由题干数据即可得到：，
因为依据小概率值的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，
故，又因为m为正整数，故，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 新型模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图像数据对一种新型降噪模型进行实验，对使用该模型后，图像中的噪声残留量y（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表：
并计算得：．
（1）计算变量x（迭代轮数）和变量y（噪声残留量）的样本相关系数r（r的值精确到0.001）；
（2）若图像中的噪声残留量不高于10个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测该模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？
参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，，．
【答案】（1）
（2），8
【解析】
【小问1详解】
由题可得：，
，
样本相关系数；
【小问2详解】
噪声残留量y的取值为67，57，50，42，34，
所以，
根据题意可得，
所以y关于x的经验回归方程为，
要使图象中的噪声残留量不高于10个/像素，则，
即，所以该AI模型至少需要迭代8轮才可以完成降噪．
16. （1）求展开式中的常数项；
（2）用二项式定理证明能被8整除．
【答案】
（1）
（2）因为，
所以.
又均能被整除，
故能被8整除．
【解析】
【分析】（1）写出展开式的通项，并化简，令的指数为，求出，即可得到常数项；
（2）利用二项式的展开式得，说明每一项均能被整除，即可证得能被8整除．
【详解】（1）展开式的通项为，
令，得，
故常数项为；
（2）略
17. 已知函数为指数函数，且在定义域内单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由是指数函数可得其系数为1，结合单调递增即可求的值；
（2）设，原式转化为二次函数，由题意得有两个正实数根，进而可求k的取值范围.
【小问1详解】
由函数为指数函数得，解得或，
因为在定义域内单调递增，有，故，
故的解析式为.
【小问2详解】
设，原式转化为，则有，
若方程有两个不同的实数根，单调递增，且，
所以有两个不同的正实数解，
即，解得，
故实数的取值范围是
18. 某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊．
（1）求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率；
（2）设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）2
【解析】
【分析】（1）利用对立事件概率计算公式求得正确答案.
（2）利用超几何分布的分布列求法求得分布列并计算出数学期望.
（3）对进行分类讨论，结合条件概率计算公式求得正确答案.
【小问1详解】
医生甲、乙、丙3人均未被选中的概率为，
所以医生甲、乙、丙3人至少有1人被选中的概率为；
【小问2详解】
X的可能取值为0，1，2，3，从7人中任选3人，共有＝35种选法，
，，
，，
则X的分布列为：
所以；
【小问3详解】
当时，，，
；
当时，，，
；
当时，，，
，
当时，，，
，故m的最小值为2．
19. 已知函数，其导函数为，．
（1）求n的值；
（2）函数只有一个极值点，求实数m的取值范围；
（3）若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，根据已知得、，化简整理即可求；
（2）根据已知有，利用分类讨论及导数研究其极值点求参数范围；
（3）问题化为研究恒成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得.
【小问1详解】
由题设，
，，
，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
【小问2详解】
因为，所以，
则，，
当时，，则在上单调递增，所以函数不存在极值；
当时，令，即，得，
令，则恒成立，则在上单调递增，
又，所以存在唯一的，使得，
当时，，即，所以函数在上单调递减，
当时，，即，所以函数在上单调递增，
所以仅在处取到极小值，符合题意.
综上，函数只有一个极值点时，实数的取值范围为；
【小问3详解】
令，则，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，则，即，
由，则，即，
令，则，
因为，故，所以，即，故实数的取值范围为.
去海南旅游
去厦门旅游
合计
老年人
2m
3m
5m
中年人
3m
2m
5m
合计
5m
5m
10m
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
第x轮迭代
1
2
3
4
5
噪声残留量y（个/像素）
67
57
50
42
34
X
0
1
2
3
P