吉林省G6教考联盟2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省G6教考联盟2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．函数的图象为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．5B．4C．D．
5．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
6．7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（ ）种.
A．720B．1050C．1440D．360
7．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强
B．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则
C．在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越小
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若正实数满足，则的最小值为6
11．已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ）
A．B．的对称中心为
C．是周期函数D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式的常数项为 .（用数字作答）
13．已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为 ．
14．有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到黑球的概率是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
16．设函数，其中，曲线在点处的切线垂直于轴.
(1)求的值；
(2)求函数的极值.
17．目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节.
(1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）；
(2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，，.
18．在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.
(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；
(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为，求甲同学星期四选择②号套餐的概率；
(3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为.事件“”的概率为 ，求使取得最大值时的值.
参考公式：，其中.
19．已知函数（是自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点分别为.
①求实数的取值范围；
②求证：.
参考答案
1．【答案】A
【分析】求得，可求.
【详解】因为，
所以.
故选A.
2．【答案】C
【分析】根据命题的否定的定义写出结论即可．
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选C.
3．【答案】D
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，故A选项错误；
当时，，函数单调递增，故BC选项错误.
故选D.
【方法总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；②从函数的值域，判断图象的上下位置；③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性；⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4．【答案】A
【分析】求导代入，求解即可.
【详解】因为，
所以，
令，可得，解得.
故选A.
5．【答案】B
【分析】根据题中所给定义，只需判断是否有解即可．
【详解】对于A，令，得，无解，
所以函数不是“不动点”函数，故A错误；
对于B，令，不难看出是该方程的根，
所以是“不动点”函数，故B正确；
对于C，令，即，
令，则，
令，解得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，
即方程无解，
所以函数不是“不动点”函数，故C错误；
对于D，令,得，
因为，
所以方程无解，
所以函数不是“不动点”函数，故D错误.
故选B.
6．【答案】B
【分析】考虑7人的分组情况，即按人数为分为3组分到三个研究舱，或者是按人数为分为3组分到三个研究舱，根据分类计数加法原理即可求得答案.
【详解】由题意可知，7名研究员的安排可以是按人数为分为3组分到三个研究舱，
或者是按人数为分为3组分到三个研究舱，
按人数为分为3组分到三个研究舱，共有(种)安排方案，
按人数为分为3组分到三个研究舱时，共有(种)安排方案，
故共有(种)安排方案.
故选B.
7．【答案】C
【分析】令，则，对于A，直接代入，利用对数的运算性质计算判断；对于B，结合对数函数的单调性分析判断；对于C，利用作差法分析判断；对于D，对化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断.
【详解】令，则，
对于A，，故A正确；
对于B，因为在上递增，且，
所以，即，
即，所以，故B正确；
对于C，因为
，
所以，故C错误；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，故D正确.
故选C.
【方法总结】利用指数函数、对数函数的性质比较大小的题目，常用的方法：
（1）作差法；
（2）作商法；
（3）利用函数的单调性（指数和对数经常化为同底）；
（4）图象法；
（5）构造中间量法，比如和0，±1进行比较.
8．【答案】D
【分析】对于两边取对数，构造函数，通过函数的单调性得，又根据即可判断的大小.
【详解】由题意，，
对于，两边取对数得，
构造函数，
则，
令，则，即在单调递增；
令，则，即在单调递减；
所以，即.
因为，
所以.
故选D.
9．【答案】BCD
【分析】对选项A，根据相关系数的性质即可判断；对选项B，根据回归直线方程过点，计算可得，即可判断；对选项C，根据的性质即可判断；对选项D，两边取对数，可得，又，求出的值，即可判断.
【详解】对于A，相关系数的绝对值越大，样本的线性相关性越强，故A错误；
对于B，回归直线方程中，，故B正确；
对于C，在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C正确；
对于D，，两边取对数，可得，则，
因为，所以，即，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】BD
【分析】对于A，时即可判断；对于B，根据基本不等式即可判断；对于C，作差即可判断；对于D，由，得，代入利用基本不等式即可判断.
【详解】对于A项，当时，满足，但没有意义，故A项为假命题；
对于B项，因为，
所以，
当且仅当成立，故B项为真命题；
对于C项，，
因为,所以，但的符号不确定，
若取,则，此时，
即，故C项为假命题；
对于D项，若正实数满足，
则，解得,同理，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为6，故D项为真命题．
故选BD.
【方法总结】利用基本不等式求最值的方法与技巧：
(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧的使用，使其满足基本不等式的“一正”“二定”“三相等”的条件；
(2)利用基本不等式求最值时，要从整体上把握，有时可乘一个数或加一个数，注意“1”的代换等应用技巧.
11．【答案】ACD
【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析计算即可．
【详解】因为，
所以，
所以，
即，
所以是周期为4的周期函数，则C正确；
令，得，
则，从而，故A错误；
因为，
所以，
所以，
所以的图象关于直线对称，即的对称中心为错误，则B错误；
以上求得的周期为4，
且其图象关于直线及对称，
则直线及均为图象的对称轴，
从而，
得，
即，
则，
故
，故D正确．
故选ACD．
12．【答案】
【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，解得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】由题意可得函数在R上单调递减，作出的图象，结合图象，列出不等式组，求解即可．
【详解】因为对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，
所以函数在R上单调递减，
又因为当时，，
作出的图象，如图所示：
由此可得函数在和上单调递减，
又因为当时，，且函数在上单调递减，
所以，解得．
故答案为：．
14．【答案】
【分析】记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，即可得到，然后构造等比数列，求通项公式，然后根据对立事件的概率关系求解．
【详解】记事件表示从第，2，，个盒子里取出白球，则，，
所以，
，
进而可得，，
所以，
又，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故从第个盒子中取到黑球的概率是为：．
故答案为：．
15．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由幂函数的单调性求得,由，通过检验即可求解；
（2）由已知得，两边平方，即可求解实数的取值范围．
【详解】（1）由幂函数在上单调递增知,解得，
又,则，
当或时，，不符合的图象关于轴对称，故舍去，
当时，，图象关于轴对称，符合题意，
综上所述，；
（2）由（1）得，为偶函数，且在上单调递增，
因为,所以，
两边平方，得，
化简得，解得或，
故实数的取值范围为.
16．【答案】(1)
(2)极大值为，无极小值
【分析】（1）求导，根据运算求解；
（2）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定极值.
【详解】（1）的定义域为，且，
因为曲线在点处的切线垂直于轴，
所以，即，解得；
（2）由(1)可得，
则，
令，解得；令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
故有极大值，无极小值.
17．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题意可知，根据正态分布的性质即可求出概率；
（2）分析可知随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
【详解】（1）由题意可知，
则，
则共，即人进入面试；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有，
甲、乙、丙3名考生没通过面试的概率分别为,
则，
，
，
，
故随机变量的分布列为：
故.
18．【答案】(1)答案见详解
(2)
(3)6
【分析】（1）补充完善列联表，进行独立性检验即可；
（2）利用条件概率公式结合全概率公式求解即可；
（3）利用二项分布的性质求解最值即可.
【详解】（1）列联表见图，
零假设：假设食堂就餐与性别无关，
由列联表可得，
根据小概率的独立性检验推断不成立，
即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关；
（2）记事件A：小林同学星期三选择了①号套餐，
事件：小林同学星期五选择了②号套餐，
即
由全概率公式可得；
（3）由题意可知，抽取的10名学生，
喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布，
且喜欢饭堂就餐的频率为,则，
且，
设
，若,即
即解得，
若即解得
所以当时,，
当时,，
因为
所以，
即使取得最大值的值为6.
19．【答案】(1)答案见解析
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果；
（2）①根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围；
②根据题意，将问题转化为，再由①中的结论，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明.
【详解】（1）由题意可得，，
当时，，在上单调递增；
当时，由解得，由解得，
即在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）①等价于有两个零点，
令，则，在时恒成立，∴在时单调递增，
∴有两个零点，等价于有两个零点.
∵，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点；
当时，令，得，单调递增，
令，得，单调递减，∴，
若，得，此时恒成立，没有零点；
若，得，此时有一个零点；
若，得，∵，，
记，则，
记，则，
故在上单调递增，则，即，
故在上单调递增，则，即，
∴在，上各存在一个零点，符合题意，
综上，的取值范围为；
②，不等式两边同时取对数化简可得，
要证即证：，即证，
由（2）中①知，，∴只需证.
∵，，∴，，
∴，只需证，
设，令，则，∴只需证，即证，
令，，则，，
即当时，成立，
∴，即.
【方法总结】函数图象的交点问题，方程的根，均可归结为函数的零点问题．此类问题往往通过函数的单调性、极值等，利用零点存在性定理判断，常见类型及解法如下：
(1)证明或讨论函数零点个数问题，一般借助导数研究函数的单调性，进而研究函数的零点个数，或将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题；
(2)已知函数零点个数，求参数的取值范围，一般分离参数或构造函数，利用数形结合思想求解．男生
女生
合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐
10
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
男生
女生
合计
喜欢食堂就餐
40
20
60
不喜欢食堂就餐
10
30
40
合计
50
50
100