河北唐山市迁安市2025-2026学年第二学期高二7月阶段性测试数学试题（含解析）

这是一份河北唐山市迁安市2025-2026学年第二学期高二7月阶段性测试数学试题（含解析），共14页。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、考号、科目填涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一组数据：，这组数据的中位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】数据升序排列为：，
数据共5个，中位数取最中间第3个数，即为．
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求集合，再根据交集的定义，即可求解.
【详解】由，又，
则.
故选：C
3. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得该函数的增区间.
【详解】函数的定义域为，，
由得，故函数的增区间为.
4. 已知随机变量，若，，则（ ）
A. 15B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可.
【详解】因为，，
所以，
即，所以，
所以．
故选：A．
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项.
【详解】由函数，，令，解得，
则其定义域为，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为，观察选项可知，选A.
故选：A
6. 一袋子中有编号为1，2，3，4，5的5个相同的玩具，现每次随机取出一个玩具并记下其编号后放回，直到奇数编号的玩具一共出现8次时停止．设停止时共取了X次，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意，每次有放回取玩具，取到奇数编号的概率为，取到偶数编号的概率为，各次取玩具的结果相互独立.
事件等价于：前9次取玩具的过程中恰好有7次取到奇数，且第10次取到奇数.
前9次恰好有7次取到奇数的概率为，再乘以第10次取到奇数的概率，
所以.
7. 已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】由，得，
在处，，，
所以切线方程为，
即．
该切线经过点，故，
解得．
8. 已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解.
【详解】由题当时，，所以，
所以当时，，当时，；
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
当时，当时，；
当时，；
所以可作出函数的图象，如下图，
若要使函数有个不同的零点，
所以的图象与直线有个交点，
即，解得.
即实数的取值范围是.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】运用赋值法求二项式展开式中部分项的系数和.
【详解】对于A，令，，A错误.
对于B，令时，；
令时，，两式相加得，
，B正确.
对于C，令时，，C正确.
对于D，对展开式两边求导，，令，，D错误；
10. 某厂用1号、2号、3号车床加工同一型号的零件，它们的产量之比为，次品率分别为4%，5%，6%，加工出来的零件混放在一起．现任取一个零件，设事件：零件为号车床加工，事件：取一个零件为次品，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先根据产量占比计算各车床生产零件的概率，再结合条件概率、全概率公式与贝叶斯公式逐一判断选项即可.
【详解】选项A：1号、2号、3号车床产量比为2:3:5，
故，A错误.
选项B：表示在零件为2号车床加工的条件下，取一个零件为次品的概率，
因为零件为2号车床加工的概率，
零件为2号车床加工且是次品的概率，
所以，B正确.
选项C：由全概率公式可得：，
C错误.
选项D：由贝叶斯公式可得： ，D正确.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则存在极值点
B. 若是增函数，则
C. 曲线是中心对称图形
D. 存在，使得有三个不同的零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，将代入，求导判断函数是否存在极值点；对于B，求导，根据是增函数得到在上恒成立，分离参数，令，求出的最大值，进而得到的取值范围；对于C，根据函数的对称性进行判断；对于D分两种情况讨论极值点个数，对于，利用导数求出函数的极大值，求出极大值的取值范围进行判断.
【详解】函数的定义域为，
对于A， 当时，，
所以，
所以当时，，当时，，
当时，，所以存在极值点，A正确；
对于B，，
若是增函数，则在上恒成立，
即在上恒成立，令，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且在上恒成立，
所以，所以，故B正确；
对于C，，
所以，
所以函数关于点对称，C正确；
对于D，由B选项可知，当时，函数单调递增，最多有一个零点，
当时，令，则，等价于，
，
所以方程有两个不同的实数根，
由韦达定理，故，
所以在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为
又是极值点，所以，即，
所以，
令，则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
即，所以在上恒小于0，故最多两个不同的零点，
即不存在使有三个不同的零点，故D错误.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上．
12. 立德中学举行田径运动会，在男子米接力赛预赛中，高一（1）班准备派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，若将甲安排在第一棒或第四棒，则该班不同的接力比赛安排顺序有_____________种．
【答案】12
【解析】
【分析】采用特殊元素优先法，先安排甲，再安排其余学生，然后根据分步乘法计数原理计算即可得解.
【详解】先安排特殊元素甲，由题意可知甲仅可选择第一棒或第四棒，因此甲有种方法；
再安排其余学生，将乙、丙、丁3名学生安排到其余的3棒，有种方法，
根据分步乘法计数原理，可知该班不同的接力比赛安排顺序有种方法.
13. 随机变量，正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据正态分布的对称性得到满足的条件，再结合基本不等式求的最小值.
【详解】因为，且正实数，满足，
所以，即.
所以
（当且仅当即，时取等号）.
所以的最小值为.
14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______.
【答案】7
【解析】
【分析】当为正偶数时，不符合题意，当为正奇数时，只需研究 时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值可解.
【详解】当为正偶数时，
当时，，不符合题意，所以为正奇数，
则当时，恒成立，
只需研究 时，恒成立即可，
当时，成立，
则当时，因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
设，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，又因为为正奇数，
所以的最大值为7.
故答案为：7
思路点睛：分为奇数、偶数进行讨论，之后采用分离参数的方法求参数的最值.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品．
（1）求一位顾客获得纪念品的概率；
（2）若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列:
数学期望为.
【解析】
【小问1详解】
设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品．
，
，
．
【小问2详解】
由已知可得：，
则．
所以的分布列为：
．
16. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256．
（1）求正整数n的值；
（2）求展开式中含x的项的系数；
（3）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）.
（2）.
（3） 和 .
【解析】
【分析】（1）利用二项式系数和为的性质列方程求解；
（2）先写出展开式通项，令的指数为1，判断符合条件的整数，即可得对应系数；
（3）写出展开式通项，解不等式组 求出 的范围，找到使系数最大的整数 ，代入通项即可．
【小问1详解】
二项式的展开式所有项的二项式系数之和为，由题意得，解得．
【小问2详解】
由得二项式为，其展开式通项为： ，
令，解得，
所以展开式中含x的项的系数为．
【小问3详解】
由展开式的通项为，
假设第项系数最大，则，解得，
所以或，
即系数最大项为和.
17. 某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表：
（1）能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？
（2）若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据．
①求两个赛区都有人被选中的概率；
②用表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，求的分布列和期望．
附：，
【答案】（1）有95%以上的把握
（2）①
②
期望为
【解析】
【分析】（1）根据表中数据及公式计算判断；
（2）①根据抽样比从各层中抽取相应人数，再利用古典概型概率计算公式求解； ②利用超几何分布计算即可求得分布列与期望.
【小问1详解】
假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响．
所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响．
【小问2详解】
①根据分层抽样可知，各层的抽样比为，所以从喜欢用有缝球的选手中选取人，从喜欢用无缝球的选手中选取人，
记“两个赛区都有人被选中”为事件，
则．
所以两个赛区都有人被选中的概率为．
② 的分布列与期望
表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，服从超几何分布，可能取值为 ：
.
分布列：
.
18. 已知函数，．
（1）求的极值；
（2）若在上单调递增，求实数 的取值范围；
（3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数 的取值范围．
【答案】（1）极小值0，无极大值
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可；
（2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解.
（3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解.
【小问1详解】
，求导得，，
因为时，，所以在上单调递增．
因为时，，所以在上单调递减．
又，故在处取极小值0，无极大值．
【小问2详解】
函数，
求导得，
由在单调递增，得在上恒成立，
即在上恒成立，
因此，．
设，，，
则在上单调递增，于是，
即，
所以的取值范围为．
【小问3详解】
若对任意的，总存在，使得，
则当时，．
当时，，
即在上单调递增，，
函数，，，
求导得．
由，得，函数在上单调递减，
则．
因此，解得，
所以 的取值范围为．
19. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中，．
（1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程；
（2）小张每天上班选择骑电动车或自行车，每月第一天他选择骑电动车或自行车的概率均为，从第二天起，若前一天选择骑电动车，则后一天选择骑自行车的概率为，若前一天选择骑自行车，则后一天选择骑电动车的概率为，每个月按照20个工作日计算，设他在某个月的第个工作日骑自行车上班的概率为．
（i）求数列的通项公式；
（ii）若，都是离散型随机变量，则，若小张该月累计骑自行车上班的次数为，求，保留到小数点后一位．
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，．
【答案】（1）更合适，
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型，将两边取对数，转化为线性回归方程，利用表中的数据和线性回归方程公式求解即可；
（2）（i）由全概率公式可得每个月的第个工作日骑自行车上班的概率的递推关系，通过构造等比数列得到通项公式；（ii）记为第天小张骑自行车上班，为第天小张骑电动车上班，则，利用期望的线性性质得到.
【小问1详解】
由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型，
由，得到， 因为，
则，
则，
所以，则.
【小问2详解】
（i）设他在每个月的第个工作日骑自行车上班为事件，
则，，，
由全概率公式可得，
即，则，
且，可知数列是以为首项，公比为的等比数列，
则，所以；
（ii）记为第天小张骑自行车上班，为第天小张骑电动车上班，
则，则，
又，
所以．喜欢用有缝球
喜欢用无缝球
直拍打法选手
18
30
横拍打法选手
20
12
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
0
1
2
3
0
1
2
3
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75