精品解析：河北唐山市迁安市2025-2026学年第二学期5月期中考试高二数学试卷及答案

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本试卷分第Ⅰ卷（1—42页，选择题）和第Ⅱ卷（3—4页，填空题和解答题）两部分，共150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、考号、科目填涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果函数在处的导数为1，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.
【详解】因为函数在处的导数为1，
所以，
故选：C
2. 若随机变量的分布列为
则（ ）
A. 0.3B. 1C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解.
【详解】因为分布列得出，所以，
所以，
所以.
故选：D.
3. 游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（ ）
A. 336B. 120C. 56D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】利用插空法可得结果.
【详解】在空置的5个车位的4个间隔安排三辆不同的车，
故选：D.
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】.
5. 在的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出展开式的通项为，展开式中的项有和，系数相加即可求解.
【详解】展开式的通项为，
展开式中项为和，
所以的展开式中的系数为，
故选：C
6. 三个数的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数并求导，利用导数分析函数的单调性和最大值，从而得出，再利用对数的运算性质计算求出的大小关系，从而判断的大小顺序．
【详解】已知，构造函数，
求导得，
当时，，故，函数单调递增；
当时，，故，函数单调递减；
在处取得极大值，即为最大值，
，即，
，故，
．
7. 若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（ ）
A. 1120B. C. D. 448
【答案】C
【解析】
【详解】由题意得，故，
则展开式的通项为
且，
令，则，所以展开式中第6项系数为.
8. 已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造，根据导数的运算公式可求出及，再根据求出，最后解不等式即可.
【详解】由题易知不满足不等式，当时，令，
则，，，（为常数），
故，又，，解得，.
不等式，即，得，解得或.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知事件A，B满足，，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则B. 若A与B互斥，则
C. 若A与B相互独立，则D. 若，则A与B相互独立
【答案】BD
【解析】
【分析】对A根据，则；对B，根据互斥事件的性质得，对C，根据独立事件的特点则可计算出，对D，根据条件概率公式计算出，再利用相互独立事件的定义即可判断.
【详解】对于A,因为,所以；故A错误,
对于B,因为与互斥,所以,B正确,
对于C,因为与相互独立,所以,故C错误;
对于D,因为,即,所以,
又因为,所以,所以与相互独立，故D正确.
故选：BD.
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】本题核心方法是赋值法，通过代入不同的值得到对应等式，再对等式运算得到所求系数和。
【详解】选项A：令，代入原式得，故A错误；
选项B：令得①式：；
令得②式：，
①+②得，即，故B正确；
选项C：①②得，即，故C正确；
选项D：令，代入原式得，移项得，故D正确.
11. 将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ）
A. 若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法
B. 若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法
C. 若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
D. 若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
【答案】AB
【解析】
【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确；
对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则和同色，和同色，则共有种不同涂法，故B正确；
对于C，因4种不同颜色全部用上，，同色，相邻区域不同色，故可以先涂，区域，有种涂法，
因三个区域都与，相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误；
对于D，按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，
因，不同色（只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能与同色，此时共有24种涂法，故D错误.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上.
12. 已知函数在处取得极值，则实数a的取值为_____．
【答案】或1
【解析】
【分析】对函数求导，利用求参数值，再注意验证极值情况，即可得.
【详解】由题设，且，
所以，可得或，
当，则，
，或，
所以在、上单调递减，在上单调递增，
此时处取极大值，满足题设，
当，则，
或，，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
此时处取极小值，满足题设，
综上，或.
13. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】从甲袋任取两个球分三类情况，再计算乙袋中取出的是2个红球的概率即可.
【详解】甲袋任取两个球的可能性有三种：
甲袋取出2个白球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：；
甲袋取出1个白球、1个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：；
甲袋取出2个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：，
故从乙袋中取出的是2个红球的概率为：.
故答案为： .
14. 若直线与曲线相切，则的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值．
【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为，
则①，
曲线求导得，则②，解得，
代入①得，，故，
，
当时，取得最小值，最小值为．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为和，单调递减区间为和；极大值为，极小值为
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；
（2）讨论导数的正负，求出单调区间，从而求出极值.
【小问1详解】
由题意知，
则
所以曲线在点处的切线方程为，即．
【小问2详解】
的定义域为，由（1）知，
令，得或；
令，得或，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和．
易知的极大值为，极小值为．
16. 3个女生（含甲）和4个男生（含乙）排成一排．
（1）其中甲必须排在中间的排法有多少种？
（2）如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？
（3）如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？
（4）如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？
【答案】（1）720 （2）720
（3）3600 （4）432
【解析】
【小问1详解】
因为甲必须排在中间，只有1种排法，其他6人全排列，排法有种，
故甲必须排在中间的排法有720种.
【小问2详解】
将3个女生看成一个整体，与4个男生全排列，此时相当于5个元素全排列，有种，
3个女生内部全排列有种，
故女生必须全排在一起有种.
【小问3详解】
7人全排列，排法有种，
将女生甲和男生乙看作一个整体，与其余5人全排列，此时相当于6个元素全排列，有种，
女生甲和男生乙内部交换位置有种，故女生甲和男生乙相邻的排法有种，
故女生甲和男生乙不能相邻的排法有种.
【小问4详解】
从3个女生中选出2个的选法有种，从4个男生中选出2个的选法有种，
选2个女生和2个男生的选法有种，
将选出的4人全排列有种，
故选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲有种.
17. 甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数.
（1）求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率；
（2）若，求随机变量的分布列、数学期望、方差.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）分别计算甲答对2道题、乙答对2道题的概率，相乘即可；
（2）将问题分解为甲、乙分别答对的题目数，分别求概率再相乘即可列出分布列，进而利用期望和方差公式计算即可.
【小问1详解】
甲答对2道题的概率为，乙答对2道题的概率为，
故“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率为.
【小问2详解】
由题意知可取1，2，可取0，1，2，故可取1，2，3，4，
，
，
，
，
故的分布列为：
期望，
方差.
18. 飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7，0.75，0.9.求：
（1）首先应该搜索哪个区域？
（2）若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？
【答案】（1）丙区域 （2）飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为
【解析】
【分析】（1）由条件概率计算公式逐个计算概率即可求解；
（2）设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件为“飞机坠落在甲区域”，事件为“飞机坠落在乙区域”，事件为“飞机坠落在丙区域”，事件为“飞机坠落在丁区域”，由全概率公式及贝叶斯公式逐个计算即可.
【小问1详解】
应首先搜索丙区域.
理由如下：搜索甲区域，且被搜救部门发现的概率为；
搜索乙区域，且被搜救部门发现的概率为；
搜索丙区域，且被搜救部门发现的概率为；
搜索丁区域，且被搜救部门发现的概率为.
故首先搜索丙区域，因为当前可能性最大.
【小问2详解】
设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件为“飞机坠落在甲区域”，事件为“飞机坠落在乙区域”，事件为“飞机坠落在丙区域”，事件为“飞机坠落在丁区域”，
则，，，，
，，，，
所以
，
所以.
同理，
，
.
所以搜索丙区域后，未发现飞机，此时飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为.
19. 已知函数，其中，
（1）求的最小值；
（2）若，求的取值集合；
（3）若，其中，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】(1)求导，判断单调性，求得最小值.
(2) 恒成立，即令的最小值即可，再进行求解的最小值即可.
(3)根据题意分离参数，求解最小值，通过换元，求导，求单调性来求解函数的最小值.
【小问1详解】
解：，
，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
【小问2详解】
恒成立，则恒成立即可
设
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，要使恒成立，即，则，
综上所述：的取值范围是．
【小问3详解】
（3）已知，
则恒成立，
即恒成立，等价于恒成立，
也就是恒成立．
令，令，
易知在上单调递增，且，
所以存在，使得，即，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，
在上单调递减，所以
即，所以，所以，
又因为，所以的最大值为2．
0
1
2
0.3
0.4
1
2
3
4