甘肃酒泉市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份甘肃酒泉市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第4章、选择性必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解.
【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为，
因为，所以，所以，
所以的坐标为.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由，则.
3. 算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理即可求得.
【详解】拨动两枚算珠可分为以下三类
（1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.
（2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.
（3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示个不同整数.
所以，根据分类加法计数原理，一共可表示个不同整数.
故选：B.
4. 设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可求出，再由即可求出.
【详解】，
由，得.
故选：B.
5. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ ）
A. 回归直线 必经过样本点、
B. 这组数据的样本中心点未必在回归直线上
C. 回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D. 据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元
【答案】D
【解析】
【分析】根据回归方程的含义与性质判断ABC，根据最小二乘法求出回归方程可判断D.
【详解】回归直线 ，不一定经过任何一个样本点，故 A错；
由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点一定在回归直线上，故B错；
回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C错；
，，
将代入可得，则回归方程为，
时，，故D正确.
故选：D.
本题主要考查回归方程的含义与性质，考查根据最小二乘法求出回归方程以及利用回归方程估计总体，属于基础题.
6. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 在上函数为增函数
B. 在上为增函数
C. 在上函数有极大值
D. 是函数在上的极小值点
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.
【详解】由图象可知在区间单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增，所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，先单调递减，再单调递增，有极小值为，C选项错误.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
7. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据线面垂直的性质得，，，，根据向量数量积的定义逐一计算，比较可得答案.
【详解】解：设，因为平面，所以，，，，
又底面是正方形，所以，，
对于A，；
对于B，
；
对于C，；
对于D，，
所以数量积最大的是，
故选：B.
8. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式形式，构造同构母函数，然后利用的单调性，将问题转化为对恒成立，求解最小值即可求得参数的取值范围.
【详解】设，对任意恒成立，
所以在上单调增.
可变形为
，即
因为在单调增，
所以，即对恒成立.
设，令，解得.
所以，单调减，
，单调增.
所以当时，有最小值.
所以，解得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 将2男2女共4个优秀毕业生分配给，，，四个公司，每人只去一个公司，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有24种分配方法
B. 每个公司都有分配到人，有24种分配方法
C. 恰好有一个公司未分配到人，有144种分配方法
D. 每个公司都有分配到人，且公司只要女生，有12种分配方法
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A：将2男2女共4个优秀毕业生分配给，，，四个公司，共有种选择，A错误；
对于B：每个公司都有分配到人，共有种选择，B正确；
对于C：恰好有一个公司未分配到人，先选出一个公司不分配人，有种方法，
再将四个人分配到三个公司，这三个公司都至少有一个人，有种方法，
恰好有一个公司未分配到人，有种分配方法，C正确；
对于D：每个公司都有分配到人，且公司只要女生，先分给公司，有2种方法，再分给其他公司，
有种方法，每个公司都有分配到人，且公司只要女生，有12种分配方法，D正确.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量x服从两点分布，，则
B. 若随机变量Y的方差，则
C. 若随机变量ζ服从二项分布，则
D. 若随机变量η服从正态分布，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据两点分布的期望公式，方差公式，二项分布概率公式，正态分布的对称性，判断选项.
【详解】由条件可知，，，故A正确；
，故B错误；
若随机变量ζ服从二项分布，则，故C错误；
根据对称性可知，正态分布曲线关于对称，所以，故D正确.
故选：AD
11. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（ ）

A. 直线平面
B. 点到平面的距离是
C. 异面直线和所成角的余弦值为
D. 平面平面
【答案】BC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】在正三棱柱中，，，为的中点,所以,
以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

求得,
选项A:,,
设平面的法向量,则,,列方程可得,
代入向量得,令,则,所以,
计算,所以直线不垂直平面,选项A错误；
选项B:因为,所以点到平面的距离,选项B正确；
选项C:因为,
所以异面直线和所成角的余弦值,选项C正确；
选项D:,,设平面的法向量,
则,,列方程可得,代入向量得,
可知,令,则,所,
由前面可知平面的法向量，计算,
所以平面不垂直平面，选项D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在展开式中，含的项的系数是__________．
【答案】20
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.
【详解】的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
故在展开式中，含的项的系数为20．
故答案为：20
13. 某校有20名同学报名参加全市数学竞赛选拔赛，其中来自高一的有8人，来自高二的有8人，来自高三的有4人．高一、高二、高三学生能通过选拔进入比赛的概率分别为0.4，0.7，0.9，则从报名的学生中任选一名能通过选拔进入比赛的概率是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】分别计算出这名学生是高一、高二、高三且进入比赛的概率，然后进行相加即可.
【详解】这名学生是高一且进入比赛的概率为，
这名学生是高二且进入比赛的概率为，
这名学生是高三且进入比赛的概率为，
综上从报名的学生中任选一名能通过选拔进入比赛的概率是
14. 如图，平行六面体中，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先得到，两边平方，从而得到模长
【详解】，
，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最值.
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】(1)求导，根据函数在处取得极值求解；
(2)由(1)得到，利用导数法求解最值.
【小问1详解】
，
函数在处取得极值，
所以有，经检验满足题意；
【小问2详解】
由(1)可知：，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故函数在处取得极小值，因此，
，，
故函数的最大值为，最小值为.
16. 某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）古典概型的概率求法，应用列举法求概率；
（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，根据（1）有且，应用条件概率公式求概率；
（3）记“挑选的2人一男一女”为事件，“女生乙被选中”为事件，根据（1）有且，应用条件概率公式求概率；
【小问1详解】
记4名男生为A(甲)，B，C，D，2名女生为a，b(乙)，
从6名成员中挑选2名成员有，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况，，
记“男生甲被选中”为事件M，则基本事件为，，，，共有5种，故．
【小问2详解】
记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，则，
由（1）知，故．
【小问3详解】
由（1）知：记“挑选的2人一男一女”为事件，则，
“女生乙被选中”为事件，则，故．
17. 如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系．
则，，，，，．
因为为棱的中点，所以，
因为为侧面内的一点，且，所以可设，．
因为，所以．
所以，
所以．
又因为，，，平面，且，
所以平面．
所以为平面的法向量 ，
因为，且平面，
所以平面．
解法二：因为，设的中点为，连接，则，
所以在正方形中，，且平面，平面，
所以平面．
又因为为棱的中点，为中点，连接，则，
且平面，平面，所以平面，
因为，，平面，所以平面平面，
平面，所以平面；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而证明出线面平行；
解法二；证明出面面平行，进而得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角正弦公式进行求解；
（3）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式进行求解
【小问1详解】
略
【小问2详解】
以为原点，建立如图空间直角坐标系．
则，，，，，．
因为为棱的中点，所以．
因为为侧面内的一点，且，所以可设，．
因为，所以．
所以，所以
在正方体中，平面，
所以是平面的一个法向量，
又因为，设与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】
因为，．
设平面的法向量为，
则，令可得，
所以．
所以点到平面的距离为．
18. 已知函数.（其中为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）只有1个，理由：当时，，令，解得（舍去）
所以函数在上有一个零点；
当 时，与在区间的情况如下表：
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点.
【解析】
【分析】（1）当时，求得，得到且，进而求得切线方程；
（2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；
（3）当时，求得在上有一个零点；当 时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数.
【小问1详解】
解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
即曲线所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为
【小问3详解】
略
知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
19. 直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示，2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6或6以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5或不足5的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”．

（1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为是否经常使用网络直播销售与年龄有关？
（2）某投资公司在2021年年初准备将1000元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：
方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；
方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．
附：．
临界值表：
【答案】（1）表格见解析，有关
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意完善列联表，计算，并与附表中的数据对比，即可判断；
（2）分别求方案一、方案二的期望和方差，根据期望、方差的数字特征分析判断.
【小问1详解】
由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有人，其中年轻人有人，由图1知，样本中的年轻人有人．
补充完整的列联表如下，
所以，
故有的把握认为是否经常使用网络直播销售与年龄有关．
【小问2详解】
方案一：设获利万元，则X的所有可能取值为，
，
；
方案二：设获利万元，则的所有可能取值为，
，
；
所以，，
所以从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳妥，
故从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．广告费用（万元）
2
3
4
5
6
销售额（万元）
19
25
34
38
44
0
0
↗
极大值
极小值
↗
极小值
↗
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
0.15
0.050
0.010
0.001
2.072
3.841
6.635
10.828
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计