北京市延庆区2025-2026学年高二下学期期末数学试题（含解析）

这是一份北京市延庆区2025-2026学年高二下学期期末数学试题（含解析），共14页。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. {或}B.
C. {或}D.
【答案】C
【解析】
【详解】集合或，而集合，
所以或.
2. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由，得，
所以的虚部为1.
3. 已知命题：，；命题：，，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】C
【解析】
【详解】当时，，因此命题：，是真命题；
取，得，因此命题：，是假命题，是真命题，
所以和都是真命题.
4. 已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】对于选项A：成立的条件是，，已知，但未限制符号，例如，时不等式不成立，故A不正确.
对于选项B：由得，，若，则，即，
例如，满足，但，，此时，故B不正确.
对于选项C：由不能直接推出，
例如，满足，但，，此时，故C不正确.
对于选项D：因为指数函数在上单调递增，由可得，故D正确.
5. 已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意.
设，则.
若，则方程的解为；
若，由方程有解，
可得且.
综上.所以.
所以实数的最小值为2.
6. 如果函数定义在区间上连续，在区间内可导，则“在上单调递增”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】由在上单调递增，得，
反之取函数，满足，此时函数在上不单调，
所以“在上单调递增”是“”的充分而不必要条件.
7. 在的展开式中，下面关于各项的描述正确的是（ ）
A. 第一项是含的项B. 第二项是常数项
C. 第三项是D. 各项的系数和为
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式定理，结合通项公式及赋值法求解即可.
【详解】展开式通项公式为.
对于A，第一项，代入得，A正确.
对于B，第二项，代入得，B错误.
对于C，第三项，代入得，C错误.
对于D，令，则，所以各项的系数和为729，D错误.
8. 为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表：
假设所有教师的评价相互独立．用频率估计概率．若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”则赋分为0．记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出，，比较它们的大小即可.
【详解】对甲学区，男教师420人，女教师380人，共800人.
用频率估计概率，从甲学区选一名教师，能“达到预期”的概率为.
设从甲学区选一名教师，赋分为，则的分布列为：
所以，，即.
从甲学区选一名教师，能“达到预期”的概率为.
同理可得，.
所以.
9. 现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【详解】设截去的小正方形边长为米，
则长方体形的无盖容器的容积，
当且仅当，即时取等号，所以截去的小正方形边长应为米.
10. 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为，.
所以.
由，由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以函数唯一的极小值点为.
由且为函数定义域的子集.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【详解】由函数有意义，得，解得，
所以所求函数的定义域为.
12. 在等差数列中，已知，与的等差中项为，是与的等比中项，则通项公式__________；前项和__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】设等差数列的公差为,由得.
与的等差中项为,即,得.
是与的等比中项,即.
由韦达定理,与是方程的两根.
解得,.
结合及,得,.
由,即,得.
故.
因此通项公式,即.
前项和.
13. 函数的值域为__________．
【答案】
【解析】
【详解】当 时， .
由于底数 ， 该函数在 上单调递增.
最小值为 ，最大值为 .
故此段值域为 .
当 时， .
幂指数 ， 该函数在 上单调递增.
当 时， ，最大值为 时， .
故此段值域为 .
综上， 函数的值域为 .
14. 已知方程的两根分别为，，则__________；__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】由方程的两根分别为，，得，
所以；.
15. 已知函数，给出下面四个结论：
①，使得函数有最小值；
②，函数都有一个极值；
③，函数都有一个零点；
④时，函数在上单调递减．
其中所有正确的结论序号为__________．
【答案】①③
【解析】
【分析】对于①，采用换元法，结合二次函数的性质判断即可；对于②④，根据导数与单调性及极值的关系判断即可；对于③，对进行分情况讨论，结合零点存在定理及一元二次方程根的判别式判断即可.
【详解】函数的定义域为，
①令，则，
函数转化为，
当时，，在上单调递增，最小值为，对应，此时有最小值.
当时，是开口向下的二次函数，时，，无最小值.
当时，是开口向上的二次函数，对称轴，在上单调递增，最小值为，
对应，此时有最小值.
综上，，使得函数有最小值，①正确；
②，
当时，恒成立，在上单调递增，无极值.
当时，令，即，则，此时有一个极值点.
因此，并非对都有极值，②错误；
③令，即，
当时，，解得，函数有唯一零点；
当时，若，左边，右边，无解；
若，则，即，，方程有一正根一负根，
则正根为函数唯一的零点；
当时，若，左边，右边，无解；
若，易知在上单调递增，
且，，
由零点存在定理，在上有唯一零点.
综上，，函数都有一个零点，③正确；
④，
当时，，则.
若，则，函数在上单调递减；
若，令，即，解得，此时.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故当时，函数在上不一定单调递减，④错误.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在锐角中，，，．
（1）求及；
（2）求的值及面积．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合三角形的形状，可求角，的值.
（2）利用余弦定理求边，利用三角形的面积公式求面积．
【小问1详解】
因为，所以．
因为，所以或．
又因为是锐角三角形，所以．
所以．
【小问2详解】
因为，
所以，即，
因此．
因为，所以，即．
所以的面积为．
17. 求下列函数的导数．
（1）①；②；③．
（2）①；②．
（3）①；②；③．
【答案】（1）①；②；③
（2）①；②
（3）①；②；③
【解析】
【分析】（1）（2）利用导数的运算法则求出导数.
（3）利用复合函数导数运算法则求出导数.
【小问1详解】
①；②；③.
【小问2详解】
①；②.
【小问3详解】
①；②；
③.
18. 求满足下列条件的直线的方程．
（1）为曲线在点处的切线；
（2）的斜率为且与曲线相切；
（3）过原点且与曲线相切．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
因为，所以．
又因为，所以所求切线方程为，即．
【小问2详解】
设切点为，因为，所以切线的斜率为．
所以．
因为，所以切点为．
所以切线方程为，即的方程为．
【小问3详解】
设切点为，因为，所以切线的斜率为．
又因为，所以直线的方程为，
将原点代入上式并整理，可得，解得，
因此切点为，切线方程为，即的方程为．
19. 求下列函数的单调区间．
（1）；
（2）．
【答案】（1）增区间为，单调减区间为．
（2）当时，函数的减区间为，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，，减区间为；
当时，函数的增区间为，，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间.
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负性来确定函数的单调区间；
（2）同样先对函数求导，再根据的取值范围讨论导数的正负性，进而确定函数的单调区间.
【小问1详解】
函数的定义域为．
因为，
令，可得，因为恒成立，
所以，即解得或，
因此可知函数的单调增区间为，
令，可得，解得．
因此函数的单调减区间为．
【小问2详解】
函数的定义域为．
因为，
当时，
在区间，，则此时函数在上单调递减；
在区间，，则此时函数在上单调递增；
当时，
在区间，，函数为增函数；
在区间，，函数为减函数；
在区间，，函数为增函数.
当时，
在区间，，函数为增函数；
在区间，，函数为减函数；
在区间，，函数为增函数.
当时，
，恒成立，函数在为增函数.
综上可知，当时，函数的减区间为，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，，减区间为；
当时，函数的增区间为，，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间.
20. 已知函数，．
（1）求的极值点以及极值、最值点以及最值；
（2）证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）函数在处取得极大值，无极小值；在处取得最小值，在处取得最大值.
（2）当时，不等式，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
因此，即，则，
所以.
（3）令函数，求导得，
函数在上单调递增，，
因此，由（2）知，
所以.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间，进而求出极值、极值点及最值、最值点.
（2）将所证不等式等价变形，再构造函数并利用导数求出最小值即可.
（3）结合（2）构造函数，利用导数求出函数最小值即可.
【小问1详解】
函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，
所以函数在处取得极大值，无极小值；
在处取得最小值，在处取得最大值.
【小问2详解】
略
【小问3详解】
略
21. 已知数列，记集合．
（1）若数列为，写出集合；
（2）若，是否存在，，使得？若存在，求出一组符合条件的，；若不存在，说明理由；
（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，，，，，若，求的最大值．
【答案】（1）
（2）不存在 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意给出的集合的新定义，直接计算所有可能的即可得出答案.
（2）使用假设法，假设存在，使得，将其转化为，分析两因子的奇偶性与取值范围，发现与的因子性质矛盾，从而得出结论.
（3）由，根据集合的新定义得.令，，分析与的奇偶关系，讨论中元素的特征，得出由所有非的正整数次幂的正整数构成，进而求出满足条件的的最大值.
【小问1详解】
由题意得数列为，所有可能的有：
，时，；
，时，；
，时，.
因此.
【小问2详解】
若，则.
设，则.
由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同.
又，.
而，没有大于等于的奇数因子，矛盾.
故不存在，使得.
【小问3详解】
若，则.
令，，则.
且与奇偶性不同，故为偶数，为整数.
若,则,仅分解,代入方程组无正整数,故；
中的元素恰为所有不是的正整数次幂的正整数，即.
要求，即从到的整数中去掉的幂.
的幂不超过的有，共个.
故的最大值为.学区
甲
乙
性别
男
女
男
女
达到预期
260人
240人
120人
180人
未达到预期
160人
140人
260人
240人
0
5