北京市延庆区2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

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这是一份北京市延庆区2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（含解析），共13页。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由并集定义结合题设可得答案.
【详解】由题设可得：
2. 若复数满足，则的虚部为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的除法运算和虚部的概念即可求解.
【详解】由，
得，
分子分母同乘分母的共轭复数：
分子：，
分母：，
因此，
因此的虚部为.
3. 某班班委由2位女同学、3位男同学组成.现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位男同学参加，则不同的选法共有多少种？（）
A. 6B. 7
C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【详解】从5人中任选2人的选法数为，而只有女生的选法数为，
则至少有一名男生的选法共有种.
4. 已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，据此可得答案.
【详解】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为，
焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为：
5. 有4位男生和2位女生，在某风景点前站成一排合照，要求2位女生要相邻，有多少种不同的站法？（）
A. 120B. 240
C. 360D. 480
【答案】B
【解析】
【详解】分成两步来完成：第一步，把两位女生当成一个整体，与4位男生进行全排列，有种方法.
第二步，两位女生内部进行全排列，有种方法；
根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的站法.
6. 已知事件和事件，那么“”是“与相互独立”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】由独立事件的定义及公式可知，“”是“与相互独立”的充要条件.
7. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与30%，且两地同时下雨的概率为15%，则春季的一天里在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件概率计算公式即可求解.
【详解】设事件甲地下雨，事件乙地下雨，
根据题意得：，两地同时下雨的概率，
根据条件概率公式：
在发生的条件下发生的概率为 .
8. 现有件分别标有不同编号的产品，且除了件次品外，其余都是合格品，从中取出件，若取出的件产品中至少要有件次品，则不同的取法共有多少种？（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出总的取法数，再求出全是合格品的取法数，两数相减即可.
【详解】由题意，从件分别标有不同编号的产品中取出件，总取法数为种，
全是合格品的取法数为种，
因此取出的件产品中至少要有件次品的取法数为种，故B正确.
9. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班女生占，乙班女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过定义样本空间的划分事件，利用全概率公式，结合各班的人数占比与男生占比，分步计算出遇到男生的总概率.
【详解】设事件为“遇到的同学是男生”，事件为“遇到的同学来自甲班”，事件为“遇到的同学来自乙班”.
由两班人数比得：，.
甲班男生占比：，乙班男生占比：.
由全概率公式：
.
10. 过抛物线的焦点的一条直线与它交于两点，过点和此抛物线顶点的直线与抛物线的准线交于点，则（）
A. B.
C. D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】设抛物线方程为，将过焦点直线与抛物线联立，设交点为，表示出直线PO及M坐标，然后由韦达定理可得表示到准线距离，由抛物线定义可判断选项正误.
【详解】设抛物线方程为：，则焦点为，准线为.
再设过的直线为：，，
将直线与抛物线方程联立，则，判别式Δ=4p2m2+1>0 ，
设，由韦达定理：.
则直线方程为：，其与准线联立可得M纵坐标为：
y=2py1⋅−p2=−p2y1=y2，从而，即表示到准线距离，
然后由抛物线定义可得：MQ=FQ.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数的定义域为___________
【答案】
【解析】
【详解】令，即，得，
故函数的定义域为
12. 为了解学生的体能情况，抽取某学校一、二年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），设一年级跳绳次数为，二年级跳绳次数为，则___________．（填“>”或“