2025-2026学年山西大学附属中学校高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年山西大学附属中学校高一（下）期末数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列特征量中，刻画一组数据的集中趋势的是（ ）
A. 平均数B. 频数C. 方差D. 极差
2.气象局预报，今天小店区的降雨概率是80%，迎泽区的降雨概率是20%，下列说法正确的是（ ）
A. 小店区今天一定降雨，而迎泽区一定不降雨
B. 小店区今天可能降雨，而迎泽区可能没有降雨
C. 小店区和迎泽区都会降雨
D. 迎泽区降雨的可能性比小店区大
3.已知五个数x1，x2，x3，x4，x5的极差为4，方差为2，则3x1+5，3x2+5，3x3+5，3x4+5，3x5+5的（ ）
A. 极差为12，方差为18B. 极差为9，方差为6
C. 极差为12，方差为6D. 极差为9，方差为18
4.已知m,n表示两条不同直线，α，β表示平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥nB. 若m∥α，m⊥n,则n⊥α
C. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD. 若m⊥α，α⊥β，则m∥β
5.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（ ）
A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨
7.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'=4，C'D'=2，则下列说法正确的是（ ）
A. AB=2B.
C. 四边形ABCD的周长为D. 四边形ABCD的面积为
8.如图，圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C是底面圆周上一动点，D是PA的中点，则直线CD与PB所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知两组样本数据x1，x2，…，x5和x1，x2，…，x5，y,其中y是x1，x2，…，x5的平均数，x1，x2，…，x5不全相同，则这两组样本数据的（ ）
A. 平均数一定相等B. 中位数一定相等
C. 标准差一定不相等D. 第80百分位数可能相等
10.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张.事件A=“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B=“第二次取到标号为5的号签”，事件C=“两张号签标号之和为5”，则（ ）
A. A与B独立B. B与C对立C. D.
11.如图，正三棱台ABC-A1B1C1的上下底面边长分别3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（ ）
A. 过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为
B. 棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动
C. 直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切）
D. 该三棱台可以整体放入直径为的球内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.同时掷两枚大小相同的骰子，用（x,y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数为 .
13.某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1，乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，则这20个人的视力的方差为 .
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，其中ABCD是正方形，已知AB=1，AA1＞1.设点A到直线A1C的距离和到平面DCB1A1的距离分别为d1，d2，则d1d2的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩，将所得数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，其频率分布直方图如图所示.（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（1）求图中a的值；
（2）估计本次数学测试成绩的平均分，中位数和众数.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD和△BAD均为正三角形，AD⊥DC，AD∥BC，AB=2，M为PC上一点，设平面PAD与平面PBC的交线为l.
（1）证明：PB⊥AD；
（2）是否存在点M，使得PA∥平面DMB，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
17.(本小题15分)
山大附中2026年春季校运会主题为“民族团结”，某班在筹备过程中指定4名同学依次在分别写有“民”，“族”，“团”，“结”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果.
（1）求最后的结果中同时有“民”“族”“团”“结”四字的概率；
（2）求最后的结果中同时有“团”“结”两字的概率.
18.(本小题17分)
如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.
（1）求B-AC-D的余弦值；
（2）证明：DF∥平面ABC；
（3）过F，B，C的平面将该几何体分为两部分，它们的体积分别是V1，V2（V1＞V2），求.
19.(本小题17分)
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P处的离散曲率为，其中Qi（i=1，2，…，k,k≥3）为多面体Γ的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk-1PQk和平面QkPQ1为多面体Γ的所有以P为公共点的面.已知三棱锥P-ABC如图所示.
（1）求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=8，三棱锥P-ABC在顶点C处的离散曲率为.求点A到平面PBC的距离；
（3）在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，过点Q作QG∥PA交AB于点G，连接CG，若，求BQ的长度.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】6
13.【答案】0.86
14.【答案】
15.【答案】a=0.025
平均分为71分，中位数为70分，众数为65分
16.【答案】证明：取AD中点E，连接PE，BE，

因为△PAD和△BAD均为正三角形，
所以PE⊥AD，BE⊥AD，
因为PE∩BE=E，PE，BE⊂平面PEB，
所以AD⊥平面PEB，
因为PB⊂平面PEB，
所以PB⊥AD
存在点M，
17.【答案】

18.【答案】
证明：取AD中点N，连FN，EN，则AD⊥FN，AD⊥EN，
所以∠ENF即为二面角F-AD-E的平面角．
在△ENF中，，
所以F-AD-E平面角的余弦值为．
由（1）及对称性可知，二面角C-AD-E平面角的余弦值为，
所以F-AD-E平面角与C-AD-E平面角互补，所以A，C，D，F四点共面．
又AC=DF=CD=AF=AD，所以四边形ACDF为平行四边形，所以DF∥AC．
因为DF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以DF∥平面ABC

19.【答案】2
0～10
10～25
25～50
50～100
小雨
中雨
大雨
暴雨