山西大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．，则
C．若，且，则D．若，则与不共线
3．在中，则
A．B．C．或D．或
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．B．C．1D．3
5．在中，，，，则“恰有一解”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
7．记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（ ）
A．等腰三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
二、多选题
9．已知复数，，则（ ）
A．是纯虚数B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．D．
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若且，则
C．的最大值为2
D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
11．已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为B．外接圆半径的范围为
C．的面积最小值为D．的周长范围为
三、填空题
12．若△ABC中，，那么csC=__________．
13．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.
14．如图，在平面四边形中，，.若，则四边形的面积为______；若的大小可变化，则的最大值为______.
四、解答题
15．已知向量，．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
16．如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，.
(1)用与表示；
(2)求的取值范围；
17．已知中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)点是边上一点，且，若，求面积的最大值．
18．在△ABC中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点.
(1)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F（如图1），设，.
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设△AEF的面积为，△ABC的面积为，求的最小值.
(2)延长CO交AB于点Q（如图2），若，求的值.
19．定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值．
（ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值；
（ⅱ）若，在锐角中，求的范围．
参考答案
1．A
【详解】.
2．A
【详解】由向量相等的定义知选项A正确；
向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误；
当时，与不一定平行，选项C不正确；
可以是但与的模不相等，选项D不正确.
故选：A.
3．B
【详解】由正弦定理可知，，故选B.
4．A
【详解】由余弦定理，有，
由正弦定理可得，
因为，所以，即，解得.
故选：A.
5．B
【详解】由，得，
方程 的判别式，
①，解得．
当时， 转化为，解得 符合题意；
当时 转化为，解得 不符合题意；
②，且两根之积，
可得有一正根和一负根，负根舍去，此时有一解，此时；
③，且两根之积，解得，
当时，，解得 符合题意；
当时，解得不符合题意；
故若有一解，则或，
故“恰有一解”，是“”的必要不充分条件
故选：B．
6．A
【详解】设在复平面内对应的点分别为，
因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示.
故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值，
故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1.
故选：A.
7．A
【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得
，
代入得.
由余弦定理得，
又，所以，化简得，
因为，所以.
8．B
【详解】取的中点，的中点，连接（如图所示），则

，
同理，
因为，所以，
即，所以对于边上任意一点都有，
因此，
又，为中点，为中点，
所以，所以，
即，所以，即△为钝角三角形，
故选：B.
9．AC
【详解】因为是纯虚数，所以A正确；
因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确；
因为的共轭复数为，所以C正确；
因为，所以D不正确．
故选：AC
10．ABD
【详解】已知，，，.
选项A：若，则，得，A正确.
选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确.
选项C：，最大值为，C错误.
选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确.
11．ABD
【详解】对A：因为△为锐角三角形，故可得：，也即，解得，故A正确；
对B：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，也即，
由A可知：，故，故，故B正确；
对C：由正弦定理，也即可得：，
故△的面积，
由A可知：，故，故，故，没有最小值，故C错误；
对D：由C可知：，，
设△的周长为，则
也即，由A可知：，故，则，
则，故，故D正确；
故选：ABD.
12．-0.25.
【详解】试题分析：由正弦定理得，
所以.
故答案为-0.25.
13．且
【详解】由题设，又与的夹角为锐角，
所以，则，
所以，可得且.
14．
【详解】在中，，，，
所以，
由余弦定理得，
所以，所以，
因为，所以，
所以四边形的面积为；
设，在中，
由余弦定理得，
因为，所以，
由正弦定理得，
所以，因为，所以，
在中，由余弦定理得，
所以
，
因为，所以，所以当即时，
取最大值为1，此时，
综上所述，的最大值为5.
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，,
所以
（2）因为，,
所以，
所以,
（3）.
16．(1)
(2)
【详解】（1）在直角梯形中，，，为的中点，
所以.
（2）由，得，由，得，
因此，而，
所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由结合正弦定理得：，即，
由余弦定理：，
因为，所以；
（2），，
即，
两边同时平方：
，
≥，
，当且仅当即时，取等号．
，
即的最大值为．
18．(1)（i）证明见解析（ii）
(2)
【详解】（1）（i）证明：根据题意，，同理可得，
因为，所以，
因为是线段的中点，所以，
所以，
由于三点共线，所以，
即为一定值，且定值为.
（ii），，
所以，由（i）可知，即，
，
所以当时，有最小值，此时.
（2）设，由（1）可知，
所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
又因为，
所以，
所以，即.
19．(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【详解】（1）由已知，所以；
（2）（i）根据题意，由知，，
利用辅助角公式得，其中，
不妨令为锐角，当时，取到最大值，即，
则，同理
由二倍角公式得：，
如图，由三角形面积可得：，
所以，
由余弦定理得，
因为，所以，
则，当且仅当时取等号.
（ii）由，结合（i），，
利用正弦定理边化角可得，其中，，
所以，
，
且，则，
所以，
由于三角形是锐角三角形，则，得，故，
所以，易知.