吉林省长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程高一年级期末考试数学试题（含答案）

这是一份吉林省长春外国语学校2025-2026学年第二学期第三学程高一年级期末考试数学试题（含答案），共12页。
数学试卷
出题人 ：陈燕 审题人：尹璐
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 2 页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚， 将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每题 5 分 ，共 40 分。在每小题列出的选项中， 选出符合题目的一项）
1．i 是虚数单位，复数z 满足z(i -1) = 2i ，则z = ( )
A ．1- i B ．1+ i C ．2 - 2i D ．-2 + 2i
2．设一组样本数据x1 , x2 , … , xn 的极差为2 ，方差为 0.1 ，若数据 ax1 + b, ax2 + b, … , axn + b
的极差为4 ，则数据 ax1 + b, ax2 + b, … , axn + b 的方差为
( )
A ．0.02 B ．0.04 C ．0.2 D ．0.4
3．已知向量 = (2, 2) ， = (- 3, 0)，则 与 的夹角的余弦值为
( )
A ．- B ． C ． D ．
4．设m ，n是不同的直线，a ，β是不同的平面，则下列命题正确的是 ( )
A ．m 丄 n ，n//“，则m 丄“ B ．m//n ，m 丄“，n c β→“ 丄 β
C ．m 丄“，“ 丄 β,则m//β D ．m//β , β 丄“，则m 丄“
5．如图，某建筑物的高度BC = 150m ，一架无人机Q （无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部C 的仰角为15° , 地面某处A 的俯角为45° , 且 ÐBAC = 60° , 则此无人机距离地面的高度PQ 为 ( )
A ．200m B ．150m
C ．100m D ．50m
32π
6．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为 ，则正四面体的高
3
为 ( )
A ． B ． C ． D ．
7.在VABC 中，A = 60° , AC = 4 ，BC = 26 ，则 B = ( )
A ．30 ° B ．45 ° C ．135 ° D ．45 °或 135 °
8. 已 知 非 零 向 量 EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 4(_),A) 与 EQ \* jc3 \* hps26 \\al(\s\up 6(_),A) 满 足 ， 且 EQ \* jc3 \* hps26 \\al(\s\up 8(_),A) - EQ \* jc3 \* hps26 \\al(\s\up 8(_),A) = 22 ，
EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 8(__),A) + EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 8(_),A) = 62 ，点 D是VABC 的边 AB 上的动点，则EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 6(__),D) . EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 6(_),D) 的最小值为( )
A 1 B 1 C 1 D. 7
4 5 8
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分）
9．下列说法正确的是
( )
A ．1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，10 的第 60 百分位数是 6
B ．已知一组数据 2 ，3 ，5，x ，8 的平均数为 5，则这组数据的方差是5.2
C ．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D ．若x1 ，x2 ，… , x10 的平均值为 2，则3x1 +1 ，3x2 +1 ，… , 3x10 +1 的平均值是 7
10．抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件A1 = “点数为奇数 ”，A2 = “点数为偶数 ”，A3 = “点数小于 3 ”，A4 = “点数大于 3 ”，则
( )
A ．A3 与A4 互为对立事件 B ．A1 与A2 互斥
C ．A1 UA3 UA4 是必然事件 D ．A2 与A3 相互独立
11．在棱长为 1 的正方体ABCD_ A1B1C1D1 中，连结线段AC1 ，下列说法正确的是( )
A ．正方体的棱所在直线有 6 条与直线AC1 异面
6
3
B. 直线AC1 与平面ABCD 所成角的正弦值为
C ．直线AC1 丄 平面A1BD
D ．点A 到平面A1BD 的距离为
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．若向量 为单位向量，且 = (1, 2) ， 丄 ，则向量 的坐标是
13．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区 100 名九年级男生进行测量，他们的身高 x（cm）统计如下表：
根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于 170cm 的概率是 ．
14.在正四棱台ABCD_ A1B1C1D1 中， AB = 4, A1B1 = 2 ，高为 32 ，则该正四棱台的外接球的表面积为 ．
)、若解（EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 2147483643(1),a)）共（_b(EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 11(7),x)分), =解(_EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 10(应),1))写,xEQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 10(文),R)字说明，证明过程或演算步骤）
(2)若a 与b的夹角为钝角，求x 的取值范围.
16.（15 分）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取 100 人的成绩（百分制）作为样本，并按[40, 50), [50, 60), … , [ \l "bkmark1" 90, \l "bkmark2" 100]分组，作出频率分布直方图如图所示．
(1)求m 的值，并估计样本中成绩不低于 60 分的人数；
(2)估计样本中成绩的上四分位数；
(3)若规定成绩不低于 80 分为“ 良好”等级，
已知样本中成绩在[80, 90)内的平均数为 88，方差为 7，
成绩在[ \l "bkmark3" 90, \l "bkmark4" 100] 内的平均数为 96，方差为 7，求样本中“ 良好”等级的成绩的平均数和方差．
17.（15 分）如图，在四棱锥P_ ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA 垂直于底面， AD = AP ，点 E 、F 分别是AB 、PC 的中点．
(1)求证：EF// 平面PAD ；
(2)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．
18．（17 分）在VABC 中，
asinA + asinBcsC + csinBcsA = csinC + bsinA，其中角 A, B, C 的对边分别为a, b, c ．
(1)求角C 的大小；
b
(2)若VABC 为锐角三角形，求 的取值范围．
a
组别(cm)
x ≤ 160
160 < x ≤ 170
170 < x ≤ 180
x > 180
人数
13
43
36
8
19．（17 分）如图，在三棱锥A- BCD 中，AB = AD = 2 ， ÐBAD = 60° , ÐBCD = 30° ,
BD 丄 CD ．E 是BD 的中点，Q 是BC 的中点，AQ = 6 ．
(1)求证：AE 丄 平面BCD ；
(2)若P 是AD 的中点，M 在CD 上，PM // 平面ABC ．
(ⅰ)求 CM 的长；
(ⅱ)求二面角 P _ BM _ D 的正切值．
长春外国语学校 2025-2026 学年第二学期第三学程考试高一年级
参考答案
一、选择题：
三、填空题：
14.40π
12. |EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 9(æ),è) _ ， EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 9(ö),ø)| 或|EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 9(æ),è) , _ EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 9(ö),ø)|
四、解答题
15.【答案】（1）3 5
【详解】
2 分4 分6 分8 分
10 分
（1）由 a 与b 共线，可得_ x = 2 ，所以 x = _2 2a _ b = (_ 4,2)_ (2,_1) = (_ 6,3)
—神 —神 —神
（2）由 a 与b 夹角是钝角，则a . b < 0 且a 与b 不共线
所以x 的取值范围(_ ∞, _ 2) |EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 7(æ),è)_ 2， EQ \* jc3 \* hps24 \\al(\s\up 8(1 ö),2 ø)| 13 分
16.【答案】(1) m = 0.025 ，90
(2)86
(3)平均数为 91，方差为 22．
【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为 1，
则(0.005 + 0.005 + 0.020 + 0.030 + m + 0.015)× 10 = 1，解得 m = 0.025 ， 2 分估计样本中成绩不低于 60 分的人数为100 _(0.005 + 0.005)× 10 × 100 = 90 ． 4 分
（2）前四个小矩形的面积之和为(0.005 + 0.005 + 0.020 + 0.030)× 10 = 0.6 ，
前五个小矩形的面积之和为0.6 + 0.025× 10 = 0.85 ，
所以成绩的上四分位数落在[80, 90)内，设其为a ，
则0.60 +(a- 80)× 0.025 = 0.75 ，解得 a = 86 ，
即估计样本中成绩的上四分位数为 86 ． 8 分
（3）样本中成绩在[80, 90) 内占成绩在[ \l "bkmark5" 80, \l "bkmark6" 100] 内的比例为
样本中成绩在[ \l "bkmark7" 90, \l "bkmark8" 100] 内占成绩在[ \l "bkmark9" 80, \l "bkmark8" 100] 内的比例为 10 分
_
设样本中“ 良好”等级的成绩的平均数和方差分别为x ，s2 ，
由分层随机抽样的平均数公式可得 12 分
由分层随机抽样的方差公式可得s2 = 7 +(88 _ 91)2 + 7 +(96 _ 91)2 = 22 ，
故样本中“ 良好”等级的成绩的平均数为 91，方差为 22 ． 15 分
1
17.【答案】（1）证明见详解 （2）
2
【详解】
(1)证明：取PD 的中点G ，连接AG, FG ，因为点E 、F 分别是AB 、PC 的中点，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
D
C
B
C
B
B
C
BD
BCD
ACD
所以FG//CD 且FG CD ，又因为AE//CD 且AE CD ，
所以AE//FG 且AE = FG ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以EF//AG ，因为EF Ë 平面PAD ，AG Ì平面PAD ，
所以EF// 平面PAD ． 6 分
（2）过点E 作PB 的垂线，设垂足为H ，连接HF ，
因为PA 丄 平面ABCD ，BC Ì平面ABCD ，所以BC 丄 PA ，
因为底面ABCD 是正方形，所以BC 丄 AB ，
因为PA ∩ AB = A ，且PA, AB Ì 平面PAB ，所以BC 丄 平面PAB ，
因为EH Ì平面PAB ，所以EH 丄 BC ，
因为EH 丄 PB ，且PB ∩ BC = B ，PB, BC Ì平面PBC ，
所以EH 丄 平面PBC ， ÐEFH 即为直线EF 与平面PBC 所成角的平面角， 10 分
设AD = AP = AB = a ，
在Rt△PAB 中sin ÐPBA 即EH a ，由（1）可知，EF = AG PD a ，
所以sin ÐEFH
1
即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为 2 ． 15 分
18.【答案】
【详解】（1）由正弦定理，设 a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC ．原式可化为sin2 A + sinAsinBcsC + sinCsinBcsA = sin2 C + sinAsinB ．
因为sinAcsC + sinCcsA = sin (A + C ) = sinB ，所以 sin2 A + sin2B = sin2 C + sinAsinB ．
所以由正弦定理可得a2 + b2 - c2 = ab ， 4 分
由余弦定理可得cs C 6 分
π
又因为0 < C < π ,所以 C = ． 8 分
3
（2）由 C ，得 A + B = ．
π π
又 △ABC 为锐角三角形，所以0 < A < , 0 < B < ．
2 2
由B A ，可得 < A < ． 10 分
由正弦定理， 14 分
当A ∈ æ|è , EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 7(ö),ø)|时， 16 分
故 17 分
19.【答案】（1）答案见详解 (2) (ⅰ) 3 ；(ⅱ) l 3
【详解】
(1)证明：因AB = AD = 2 ， ÐBAD = 60° ,则BD = 2 ,
又因E 是BD 的中点，则AE 丄 BD ,且AE AB 在Rt△BCD 中， ÐBCD = 30° ,则 CD = 23 ,
又因Q 是BC 的中点，则QE CD
因AQ = ·6 ，则由AE2 + QE2 = 3 + 3 = 6 = AQ2 可得AE 丄 EQ ,
因BD∩ EQ = E, BD, EQ Ì 平面BCD ，故AE 丄 平面BCD . 5 分
（2）(ⅰ)因PM // 平面ABC ，M 在CD 上，则PM Ì 平面ACD ，
因平面ACD ∩平面ABC = AC ，则PM / /AC ，
又因P 是AD 的中点，则M 是CD 的中点，故CM CD 9 分
(ⅱ) 取ED 的中点O ，连接PO ，因P 是AD 的中点，则PO / /AE ，且PO AE 在平面BPM 中，作PH 丄 BM 于点H ，连接OH .
由（1）得AE 丄 平面BCD ，则PO 丄 平面BCD ，因BM Ì面BCD ，则PO 丄 BM ，
因PO∩ PH = P, PO, PH Ì 平面PHO ，则BM 丄 平面PHO ，
又OH Ì 平面PHO ，则BM 丄 OH ，故ÐPHO 即二面角P _ BM _ D 的平面角. 13 分连接CE ，易得 AE CE
因AE 丄 平面BCD ，CE Ì 平面BCD ，则AE 丄 CE ，则 AC ，故PM AC = 2 ，又PB BM
由PM2 + PB2 = 7 = BM 2 可得BP⊥PM ，
在Rt△BPM 中，由等面积可得PH
故在Rt△PHO 中，OH
则tan ÐPHO ，即二面角P _ BM _ D 的正切值为 . 17 分