2025-2026学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷（二）

这是一份2025-2026学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷（二），共7页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二项式（1-x）6的展开式中x2的系数是（ ）
A. -20B. -15C. 15D. 20
2.某社区有老年居民1200人、中年居民3500人、青年居民4000人.若采用分层抽样的方法随机抽取部分居民进行社区服务满意度调查，抽取的样本包含中年居民350人，则抽取的样本包含老年居民的人数为（ ）
A. 120B. 180C. 200D. 400
3.已知数列{an}的前n项和是2n-1，则a5=（ ）
A. 9B. 16C. 31D. 33
4.已知8件产品中有2件次品，其余为合格品.若从这8件产品中随机抽取2件，则恰有1件次品的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知随机变量X～B（3，），则P（X=2）=（ ）
A. B. C. D.
6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石
7.生鲜超市分拣员整理货品，现有6种水果，5种蔬菜，从中任选5种货品打包礼盒，要求礼盒中水果、蔬菜都不能少于2种，则不同的选法种数为（ ）
A. 150B. 200C. 350D. 400
8.已知函数f（x）=x3-ax,则“a≥12”是“f（x）在区间[1，2]上单调递减”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，lgan+lgan-1=lg2n-1，n∈N*，n≥2，则S11=（ ）
A. 125B. 127C. 250D. 511
10.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，若对于x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（ ）
A. e2026f（-2026）＜f（0），f（2026）＞e2026f（0）
B. e2026f（-2026）＜f（0），f（2026）＜e2026f（0）
C. e2026f（-2026）＞f（0），f（2026）＞e2026f（0）
D. e2026f（-2026）＞f（0），f（2026）＜e2026f（0）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知随机变量X的分布列如表：
则D（X）= .
12.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n= .
13.若函数f（x）=lnx-mx+3在定义域内存在单调递减区间，则实数m的一个取值是 .
14.有6张座位编号分别为1，2，3，4，5，6的电影票，若平均分给6人，每人1张，则不同的分法共有 种；若分给4人，每人至少1张，至多2张，且这2张票具有连续的编号，则不同的分法共有 种.
15.已知数列{an}，{bn}满足：bn=an+.给出下列四个结论：
①若an=2n,则数列{bn}有最小值2；
②若an=3n，则数列{bn}有最小值；
③若数列{an}是单调递增数列，则数列{bn}也是单调递增数列；
④若bn+1=bn＞0，且an+1≠an，则有an+1an=1.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
某班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表：
从该班级里随机选1名学生参加演讲比赛：
（Ⅰ）求选到女生的概率；
（Ⅱ）如果已知选到的是团员，求选到的是女生的概率.
17.(本小题13分)
已知等比数列{an}中，公比q=2，a4+a6=80.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}是等差数列，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使数列{bn}存在，设cn=an+bn，求数列（cn）的前n项和Sn.
条件①：；
条件②：bn=lg2an；
条件③：b1=a1，b2=a3.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
18.(本小题14分)
我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧.已知某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为15m,若不计壁厚，设该粮仓容积为ym3，圆柱的底面半径为xm.
（Ⅰ）写出y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（Ⅱ）求该粮仓容积的最大值.
19.(本小题15分)
某教育部门为了解中学生校园阅读满意度，连续3年（2023年至2025年）每季度开展调查，将调查结果数据编制成阅读满意度指数.指数越大表示满意度越高，规定指数r∈[0，100）时，为不满意区间，指数r∈[100，200）时，为满意区间.该市2023年至2025年各季度阅读满意度指数如表：
假设每个季度阅读满意度指数相互独立.用频率估计概率.
（Ⅰ）从上述12个季度中随机抽取1个季度，估计该季度处于满意区间的概率；
（Ⅱ）从2024年和2025年共8个季度中，随机抽取3个季度，记其中阅读满意度指数处于满意区间的季度个数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从2023年4个季度中随机抽取1个季度，记X1为该季度阅读满意度指数，从2024年4个季度中随机抽取1个季度，记X2为该季度阅读满意度指数，比较数学期望EX1与EX2的大小.（结论不要求证明）
20.(本小题15分)
已知函数f（x）=x2-aex+csx,，a∈R.
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当a∈（-∞，0]∪[2，+∞）时，讨论函数f（x）在上的单调性；
（Ⅲ）若方程f（x）=2x2在上恰有一个实根，求实数a的取值范围.
21.(本小题15分)
已知数集A={a1，a2，a3，…，an}（1=a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i,j∈N*（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立.
（Ⅰ）分别判断数集{1，3，5}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）已知Sn=a1+a2+…+an（n∈N*），求证：2an-1≤Sn；
（Ⅲ）若an=36，求数集A中所有元素的和的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】10
13.【答案】1（答案不唯一，任意大于0的实数均可）
14.【答案】720
144

15.【答案】②④
16.【答案】

17.【答案】（I）为；
（II）选条件①，{bn}不是等差数列，不符合题意；选条件②，Sn=；选条件③，Sn=2n+1-2+3n2-n．
18.【答案】函数解析式为y=-2πx3+15πx2，定义域为
粮仓容积的最大值为125πm3
19.【答案】
E（X1）＞E（X2）
20.【答案】y=-x
当a∈（-∞，0]时，f（x）在区间上单调递增；当a∈[2，+∞）时，f（x）在区间上单调递减

21.【答案】解：（Ⅰ）∵3≠1+1，∴{1，3，5}不具有性质P；
∵2=1×2，3=1+2，6=3+3，∴{1，2，3，6}具有性质P；
证明：（Ⅱ）∵集合A={a1，a2，…，an}具有性质P，
即对任意的k（2≤k≤n），∃i,j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立，
又∵1=a1＜a2＜…＜an，n≥2，
∴，
即an≤2an-1，an-1≤2an-2，an-2≤2an-3，…，a3≤2a2，a2≤2a1，
将上述不等式相加得a2+…+an-1+an≤2（a1+a2+…+an-1），
∴an≤2a1+a2+…+an-1，由于a1=1，
∴an-1≤a1+a2+…+an-1，∴2an-1≤a1+a2+…+an-1+an=Sn；
解：（Ⅲ）最小值为75．
首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2，
∴易知数集A的元素都是整数，
构造A={1，2，3，6，9，18，36}或者A={1，2，4，5，9，18，36}，
这两个集合具有性质P，此时元素和为75；
下面，证明75是最小的和：
假设数集A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2），满足（存在性显然，∵满足的数集A只有有限个），
第一步：首先说明集合A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2）中至少有7个元素：
由（2）可知a2≤2a1，a3⩽2a2，…
又a1=1，∴a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32＜36，
∴n≥7；
第二步：证明an-1=18，an-2=9，
若18∈A，设at=18，∵an=36=18+18，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素ak，使得18＜ak＜36，从而an-1=18，
假设18∉A，根据性质P，对an=36，有ai，aj，使得an=36=ai+aj，
显然ai≠aj，an+ai+aj=36+36=72，
而此时集合A中至少还有4个不同于an，ai，aj的元素，
从而S＞（an+ai+aj）+4a1=76，矛盾，
∴18∈A，进而at=18，且an-1=18，
同理可证：an-2=9，
（同理可以证明：若9∈A，则an-2=9），
假设9∉A，
∵an-1=18，根据性质P，有ai，aj，使得an-1=18=ai+aj，
显然ai≠aj：aan+an-1+ai+aj=72，
而此时集合A中至少还有3个不同于an，an-1，ai，aj的元素，
从而S＞an+an-1+ai+aj+3a1=75，矛盾，
∴9∈A，且an-2=9，
至此，我们得到了an-1=18，an-2=9，
根据性质P，有ai，aj，使得9=ai+aj，
我们需要考虑如下几种情形：
①ai=8，aj=1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak，才能得到元素8，则S＞76，
②ai=7，aj=2，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak，才能得到元素7，则S＞76，
③ai=6，aj=3，此时集合A={1，2，3，6，9，18，36}的和最小，为75，
④ai=5，aj=4，此时集合A={1，2，4，5，9，18，36}的和最小，为75． X
1
0
P
性别
团员
非团员
合计
男生
16
9
25
女生
14
6
20
合计
30
15
45
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
2023阅读满意度指数
113.5
111.8
107.2
95.9
2024阅读满意度指数
104.3
98.4
95.2
90.1
2025阅读满意度指数
102.4
92.6
101.5
99.5