初中数学北师大版（2024）八年级上册平行线的性质练习

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册平行线的性质练习，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．50°B．45°C．40°D．30°
2．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B，AD⊥b于点D，若∠1=57°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．32°C．33°D．40°
3．如图，直线AB∥CD，∠EFB=60°，则∠CGE的度数是（ ）
A．130°B．110°C．120°D．60°
4．如图，在四边形ABCD中，下列结论正确的是（ ）
A．若AB∥DC，则∠DAC=∠ACB
B．若AD∥BC，则∠BAC=∠ACD
C．若AB∥DC，则∠DAB+∠ABC=180°
D．若AD∥BC，则∠ADC+∠DCB=180°
5．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（ ）
A．15∘B．20∘C．65∘D．95∘
6．如图所示，AB∥CD，EC⊥CD，若∠BEC=30°，则∠ABE的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
7．如图，已知直线a∥b，点B在直线a上，点A，C在直线b上，且AB⊥BC．若∠1=35°，则∠2的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
8．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE=120°，则图1中的∠DEF的度数是（ ）
A．30°B．20°C．40°D．15°
9．如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④B．①③④C．①②④D．②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，已知直线a∥b，c∥d，若∠1、∠2是图中的两个角，且这两个角的两边分别平行，∠1=（2x−3）°，∠2=（3x−17）°，则x值为 ．
12．如图，已知AB∥CD，BC∥DE，那么∠B +∠D = .
13．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是 ．
14．如图，AB∥CD∥EF，若∠CEF=105°，∠BCE=55°，则∠ABC的度数为 °．
15．生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= °.
16．《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点A和点C的两盏激光灯控制．如图，光线AB与灯带AC的夹角∠A=40°，当光线CB′与灯带AC的夹角∠ACB′= 时，CB′∥AB．
三、解答题（共8题，共52分）
17．如图，点P为∠AOB的角平分线OC上的一点，过点P作PM∥OB交OA于点M，过点P作PN⊥OB于点N．当∠AOB＝60°时，求∠OPN的度数．
解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝ ▲ °（ ）（填推理的依据）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN＝∠PNB＝90°，
∠POB＝ ▲ （ ）（填推理的依据）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB＝60°，
∴∠POB＝12∠AOB＝30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO＝ ▲ °．
∵∠MPO+∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝ ▲ °．
18．把推理过程补充完整，并填写相应的理由．
如图，∵AC∥EF（已知），
∴∠1=∠2．（ ）
∠BEF=∠A．（ ）
又∵EF平分∠BED（已知），
∴∠2= ▲ ．（ ）
∴∠1=∠A．（ ）
19．完成下面的证明：已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边 BC、AC、AB上的点，且DE∥BA，DF∥CA．
求证： ∠FDE=∠A ．
证明：∵DE∥BA
∴ ▲ = ▲ （ ）
∵DF∥CA
∴ ▲ = ▲ （ ）
∴∠FDE=∠A
20．完成下面的证明过程，如图，BD∥GF，∠1＝∠2．求证：∠DEC＝∠ABC
证明：∵BD∥GF（ ）
∴∠1＝ ▲ （两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝ ▲ （ ）
∴DE∥AB（ ）
∴∠DEC＝∠ABC（ ）
21．阅读下列推理过程，在括号中填写依据．
已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE，DF交BC于点F，AE平分∠BAC．
求证：DF平分∠BDE．
证明：∵AE平分∠BAC（已知）．
∴∠1=∠2（角平分线的定义）．
∵AC∥DE（已知），
∴∠1=∠3（ ）．
∴∠2=∠3（等量代换）．
∵DF∥AE（已知），
∴∠2=∠5（ ）．
∠3= ▲ （两直线平行，内错角相等）．
∴∠4=∠5（ ）．
∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）．
22．数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于180°．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程．
理由：由操作可知∠B＝∠2，
所以AD∥ ▲ （依据： ▲ ）．
同理，∠C＝∠3，
所以， ▲ ∥ ▲ ，
所以，AD、AE在同一直线上，
所以，∠DAE＝ ▲ ° ，
即 ∠1＋ ▲ ＋ ▲ ＝ ▲ ．
23．如图1，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠EAC+∠ACE=90∘.
（1）判断直线l1与l2的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若l1//l2，P为直线AC上一定点，Q为直线l2上一动点，当点Q在直线l2上运动时(不与点C重合)，猜想∠CPQ，∠CQP与∠BAC之间的数量关系，并说明理由.
24．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板．
（1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1=27°，求∠2的度数；
（2）如图2，过点E作CD∥AB，请探索并说明∠AGF与∠CEF之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，标注直线a即直线AH，射线BA即射线BK，
∵直线a∥b，∠1=50°，
∴∠1=∠CAH=50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠CAK=90°，
∴∠2=90°−∠CAH=40°，
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠CAH=50°，由垂直的定义可得∠CAK=90°，利用∠2=90°-∠CAH即可求解.
2．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，∠1=57°，
∴∠ABD=∠1=57°，
∵AD⊥b，
∴∠ADB=90°，
∴∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质可得∠ABD=∠1=57°，再结合∠ADB=90°，利用角的运算求出∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°即可。
3．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠EFB=60°，
∴∠EGD=∠EFB=60°，
∴∠CGE=180°-60°=120°．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质可得∠EGD=∠EFB=60°，再利用邻补角可得∠CGE=180°-60°=120°。
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A.要得出∠DAC=∠ACB，需要AD∥BC，但AB∥DC，无法判定∠DAC=∠ACB，故A不符合题意；
B.要得出∠BAC=∠ACD，需要AB∥DC，但AD∥BC，无法判定∠BAC=∠ACD，故B不符合题意；
C.由AB∥DC，无法得出∠DAB+∠ABC=180°，故C不符合题意；
D.由AD∥BC，根据两直线平行同旁内角互补，得出∠ADC+∠DCB=180°，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的性质逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图：
∵ AB∥CD
∴∠ABE=∠CFE=45°
∴∠DFE=180°−∠CFE=180°−45°=135°
∴∠DEB=∠180°−∠EFD−∠EDF=180°−30°−135°=15°
故答案为：A
【分析】利用平行线的性质可得∠ABE=∠CFE=45°，再利用三角形的内角和求出∠DEB即可。
6．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥CD，
∴∠GEB+∠B=180°，∠GEC=∠ECD，
∵EC⊥CD，
∴∠ECD=90°=∠GEC，
∵∠BEC=30°，
∴∠GEB=90°−30°=60°，
∴∠ABE=180°−60°=120°.
故答案为：C
【分析】先求出EG∥AB∥CD，再求出∠ECD=90°=∠GEC，最后计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝35°，AB⊥BC，
∴∠3＝180°-90°−35°＝55°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠3＝180°-90°−35°＝55°，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=55°。
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意得：图1中，AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
设∠DEF=∠EFB=α，
图2中，
CF∥DE，AE∥BG，
∴∠GFC=∠BGD=∠AEG=180°-2∠EFB=180°-2α，
图3中，
∠CFE=∠GFC-∠EFG=180°-2α-α=120°，
解得α=20°．
即∠DEF=20°，
故答案为：B．
【分析】由AD∥BC可得∠DEF=∠EFB，设∠DEF=∠EFB=α，结合图2知CF∥DE，AE∥BG，可得∠GFC=∠BGD=∠AEG=180°-2∠EFB=180°-2α，结合图3可得∠CFE=∠GFC-∠EFG=180°-2α-α=120°，从而求出结论.
9．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°．
∵∠FDE=30°，
∴∠ADF=90°﹣30°=60°．
∵BC∥DF，
∴∠B=∠ADF=60°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠ADF=90°﹣30°=60°，再利用平行线的性质可得∠B=∠ADF=60°。
10．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
11．【答案】14或40
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵c∥d，
∴∠1+∠2=180°，
∴（2x-3）°+（3x-17）°=180°，
解得：x=40，
如图，
∵a∥b，c∥d，
∴∠2+∠3=180°，∠1+∠3=180°，
∴∠1=∠2，
∴（2x-3）°=（3x-17）°
解得：x=14
综上：x的值为：14或40
故答案为：14或40
【分析】结合图形，利用平行线的性质，列方程计算求解即可。
12．【答案】180°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C．
又∵BC∥DE，
∴∠C+∠D=180°，
即∠B+∠D=180°．
故答案为180°．
【分析】先求出∠B=∠C，再求出∠C+∠D=180°，即可作答。
13．【答案】z+y=x
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示，延长AB交DE于H，
∵AB∥EG，
∴∠AHE=∠HEG
∵BC∥DE，
∴∠AHE=∠ABC=x
∴∠HEG=∠ABC=x
∵CD∥EF，
∴∠DEF=∠D=z
∵∠DEF+∠FEG=∠HEG
∴z+y=x
故答案为：z+y=x．
【分析】延长AB交DE于H，根据平行线的性质可推出∠HEG=∠AHE=∠ABC=x，∠DEF=∠D=z，根据∠DEF+∠FEG=∠HEG即可求解.
14．【答案】130
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，∠CEF＝105°，
∴∠ECD＝180°-∠CEF＝180°-105°＝75°，
∵∠BCE＝55°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝55°+75°＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝130°．
故答案为：130.
【分析】根据平行线性质，求得∠ECD＝180°-∠CEF＝75°，从而得∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝130°，再根据平行线性质，求得∠ABC＝∠BCD＝130°．
15．【答案】270
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BF∥AE，如图，
∵CD//AE，
∴BF//CD，
∴∠BCD+∠CBF=180°，
∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案为：270.
【分析】过点B作BF∥AE，则BF∥AE∥CD，由平行线的性质可得∠BCD+∠CBF=180°，根据垂直的概念可得∠ABF=90°，然后根据∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD进行计算.
16．【答案】140°或40°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图：
当AB与CB′在AC同侧时，
当CB′∥AB时，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
当AB与CB"在AC异侧时，
当CB"∥AB时，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用平行线的性质求解即可。
17．【答案】解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB=90°（垂直的定义）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN=∠PNB=90°，
∠POB=∠MPO（两直线平行，内错角相等）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB=60°，
∴∠POB=12∠AOB=30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO=30°．
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN，
∴∠OPN=60°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠POB＝12∠AOB＝30° ，利用平行线的性质可得∠MPN=∠PNB=90°，∠POB=∠MPO，再角的运算求解即可。
18．【答案】证明：如图，∵AC∥EF（已知），
∴∠1=∠2．（两直角平行，内错角相等）
∠BEF=∠A．（两直角平行，同位角相等）
又∵EF平分∠BED（已知），
∴∠2=∠BEF．（角平分线的定义）
∴∠1=∠A．（等量代换）
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可。
19．【答案】证明：∵DE∥AB ，
∴∠DEC＝∠A （两直线平行，同位角相等），
∵DF∥CA ，
∴∠FDE＝∠DEC （两直线平行，内错角相等），
∴∠FDE＝∠A ；
故答案为： ∠DEC，∠A ，两直线平行，同位角相等， ∠FDE，∠DEC ，两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等得∠DEC=∠A，由两直线平行，内错角相等得 ∠FDE=∠DEC，据此可得结论.
20．【答案】证明：∵BD∥GF（已知）
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠ABD（等量代换）
∴DE∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠DEC＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据题意可得 BD∥GF ， 两直线平行，同位角相等∠1＝∠ABD ； 内错角相等，两直线平行 ， DE∥AB；两直线平行，同位角相等 ， ∠DEC＝∠ABC .
21．【答案】证明：∵AE平分∠BAC（已知）
∴∠1=∠2（角平分线的定义）
∵AC∥DE（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）
∴∠2=∠3（等量代换）
∵DF∥AE（已知）
∴∠2=∠5（两直线平行，同位角相等）
∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠4=∠5（等量代换）
∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠4；等量代换．
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质求解即可。
22．【答案】解：由操作可知∠B=∠2，
∴AD∥BC．（依据：内错角相等，两直线平行）
同理，∠C=∠3，
∴AE∥BC．
∴AD，AE在同一直线上．
∴∠DAE=180°．
即∠1+∠2+∠3=180°．
故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；AE；BC；180；∠2；∠3；180°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】 根据内错角相等，两直线平行 ，可得AD∥BC，AE∥BC，由平行公理可知AD、AE在同一直线上 ，由平角定义可得∠DAE=180°，继而得解.
23．【答案】（1）解： l1∥l2 ，理由如下：
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠BAC=2∠CAE，∠ACD=2∠ACD，
∴∠BAC+∠ACD=2（∠ACD+∠CAE）=180°，
∴l1∥l2；
（2）解：当点P在C左侧时，∠BAC=∠CQP+∠CPQ；②当点P在C右侧时，∠CPQ+∠CQP+∠BAC=180°，理由如下：
①如图，当点P在C左侧时，过P作PE∥CD，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠1=∠2，∠BAC=∠EPC，
又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，
∴∠BAC=∠CQP+∠CPQ；
②如图，当点P在C右侧时，过P作PE∥CD，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l2，
∴∠1=∠2，∠BAC=∠APE，
又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，∠APE+∠EPC=180°，
∴∠CPQ+∠CQP+∠BAC= 180°.
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，结合∠1+∠2 =90°，得出∠BAC+∠ACD=180°，即可得出结论；
(2)分两种情形：①当P在C点左侧时，过点P作PE∥CD，可得PE∥l2，根据平行线性质得出∠1=∠2，∠BAC=∠EPC，再根据角的和差关系，即可得出结果；②当Q在C点右侧时，可得PE∥l2∥l2，根据平行线性质得出∠1=∠2，∠BAC=∠APE，再根据角的和差和邻补角的性质，即可求出结果.
24．【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠EGB=27°，
∵∠2+∠FGE+∠EGB=180°，∠FGE=45°，
∴∠2=180°−45°−27°=108°；
（2）解：∠AGF+∠CEF=90°，
理由：如图，过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD，
∴∠AGF=∠PFG，∠CEF=∠PFE，
∴∠PFG+∠PFE=∠AGF+∠CEF=∠EFG，
∵∠EFG=90°，
∴∠AGF+∠CEF=90°；
（3）解：①如图1中，当点F在直线CD的上方时，过点F作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD∥AB，
∴∠AGF=∠NFG，∠CEF=∠NFE，
∵∠NFG−∠NFE=∠GFE=90°，
∴∠AGF−∠CEF=90°；
②当点F在直线AB与直线CD之间时，过点F作MN∥AB，如下图：
由（2）可知：∠AGF+∠CEF=90°；
③当点F在直线AB的下方时，过点F作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AGF=∠NFG，∠CEF=∠NFE，
∵∠NFE−GFN=∠GFE=90°，
∴∠CEF−∠AGF=90°．
综上所述，①当点F在直线CD的上方时，∠AGF−∠CEF=90°；
②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AGF+∠CEF=90°；
③当点F在直线AB的下方时，∠CEF−∠AGF=90°．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠1=∠EGB=27°，再结合∠2+∠FGE+∠EGB=180°，求出∠2的度数即可；
（2）过点F作FP//AB，利用平行线的性质可得∠AGF=∠PFG，∠CEF=∠PFE，再利用角的运算可得∠AGF+∠CEF=90°；
（3）分三种情况：①当点F在直线CD的上方时，过点F作MN∥AB，②当点F在直线AB与直线CD之间时，过点F作MN∥AB，③当点F在直线AB的下方时，过点F作MN∥AB，再分别求解即可。如图1，△ABC中的三个内角分别为∠1，∠2，∠3．将∠2和∠3撕下，按图2的方式拼摆，使∠2和∠3的顶点均与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合，∠3的一边与AC重合．