第1章 三角形的初步知识 单元测试-2026-2027学年浙教版 八年级数学上册考点解惑含答案

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第1章 三角形的初步知识 单元测试总分：120分一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，满足条件即可构成三角形，反之不能．【详解】解：∵ ，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形；∵ ，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形；∵ ，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形；∵ ，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形．2．下列命题中，是真命题的是（     ）A．相等的角是对顶角B．同旁内角相等，两直线平行C．面积相等的三角形全等D．全等三角形的周长相等【答案】D【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；B、同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为高为的三角形与底为高为的三角形面积相等，但两个三角形不全等，原命题是假命题；D、全等三角形的周长相等，是真命题.3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是．4．如图，，，，，垂足分别为点，△ABC中边上的高是（   ）A．B．C．D．AD【答案】D【详解】解：△ABC中边上的高是AD．5．如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ）A．3B．4C．5D．6【答案】B【详解】解：∵∴∴∴．6．如图，直线，直线AD与l1，l2分别相交于点B，，若，，则的度数为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先利用平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴．7．如图，在△ABC中，，分别以点和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF交AC于点，连接BD．若的周长为10，则AC的长是（     ）A．3B．5C．6D．7【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为10，得出，从而求出AC的长．【详解】解：由作图过程可知：EF是线段AB的垂直平分线，，∴的周长，．8．在△ABC中，，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，以小于的长为半径画图，分别交AB，于点E，F； ②分别以点E、F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点，若， 则△ABD的面积为（     ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据作图得到平分，如图所示，过点D作于点H，由角平分线的性质定理得到，再根据面积的计算公式求解即可．【详解】解：根据作图可知平分，如图所示，过点D作于点H，∵，即，∴，∴，故选：B ．9．如图，在 中，点在上，，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，若的面积是，则的面积是（     ）A．3B．4C．6D．9【答案】B【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是AC的中点，可得，，即可求解．【详解】解：如图，连接，设，∵，∴，，∴，∵点E是AC的中点，的面积是2，∴，，∴，，∴，解得：，∴．10．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．①若，则点运动路程始终是点Q运动路程的2倍；②当两点同时到达点时，；③若时，PC与垂直；④若运动过程中存在与全等，则或．以上说法正确的选项为（   ）A．①③B．①②C．①②④D．①②③④【答案】B【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点Q的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出x的值即可判断④．【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒，点运动路程为．若，则点Q运动路程为，点运动路程始终是点Q运动路程的倍，故①符合题意；对于②，当点到达点时，秒，，故②符合题意；对于③，如图所示，当，时，点运动的路程为，点Q运动的路程为．，，，．，，，和不全等，．，，，与不垂直，故③不符合题意；对于④，当时，则，．，，，，，；当时，则，．，，．，，，若与全等，则或，故④不符合题意．综上所述，符合题意的结论为①②．【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．△ABC中，，则________．【答案】/60度【分析】本题利用三角形内角和定理，结合题干给出的与的数量关系，列方程求解的度数．【详解】解：根据三角形内角和定理可得.，将代入上式得，整理得，解得．12．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ________．【答案】（答案不唯一）【分析】只需找出满足题设，但不满足结论的的值即可解题．【详解】解： 当时，，但不满足，因此可作为该假命题的反例．故答案为（答案不唯一）．13．如图，点B，E，，F在一条直线上，，，请添加一个条件________（写出一个即可），使．【答案】【分析】先由得到，由得到，再结合全等三角形的判定证明即可．【详解】解：∵∴∵∴，∴当时，；或当时，；或当时，，或时，则，．∴可添加条件为：或或或（答案不唯一，只需填一个）．14．如图，在中，点D、E分别在边AC、AB上，，，．若，则的周长为 ___ cm．【答案】7【分析】由全等三角形的性质推出，，求出，得到的周长．【详解】解：∵，∴，，∴，∴的周长．15．如图，在△ABC中，BO、分别平分和，过点O作，分别交边AB、AC于点D和点E，如果，那么______ ．【答案】/5度【详解】先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质得出，即可求解．【分析】解：由条件可知 ，，，平分，∴ ，∵，∴，．16．如图，在△ABC中，，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 _______ ．【答案】1【分析】过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接，∵，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，此时，∵，∴，又∵，∴，∴，∴点H是AB的中点，∴，∴点P与点H重合，∴，∴．三、解答题：本题共8小题，共72分．17．（8分）已知的三边长分别是a，b，c．(1)若a、b、c满足．判断的形状；(2)若，且为等腰三角形．求的周长．【答案】(1)是等边三角形(2)的周长为或【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可；（2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可．【详解】（1）解：△ABC是等边三角形，∵，∴，∴，∴，∴△ABC是等边三角形；（4分）（2）解：∵△ABC为等腰三角形，，∴或，当时，三角形的三边为3，3，5，由，此时能构成三角形，此时△ABC的周长为；当时，三角形的三边为5，5，3，由，此时能构成三角形，此时△ABC的周长为；综上，△ABC的周长为或．（8分）18．（8分）如图，已知于B，于E，，，求证：．【答案】证明：于B，于E，．∵在△ABC和中，，．【分析】通过“”证明即可得出结论．【详解】略（8分）19．（8分）近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须适合下列条件：①使其到两公路距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定点的位置．【答案】解：如图所示：点即为所求．【分析】先作两公路夹角的角平分线，再作甲村和乙村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P．【详解】略（8分）20．（8分）填充证明过程和理由：已知：如图，平分，求证：．证明：，____________（同位角相等，两直线平行）（______________________）____________（同角的补角相等）．又平分（角平分线的定义）．____________（等量代换）∴（______________________）【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行．【分析】先证明，由平行线的性质得出，结合已知条件得出，由角平分线的定义以及等量代换得出，即可得出．【详解】略（8分）21．（8分）如图，，分别是△ABC的角平分线和高．(1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？(2)与有怎样的关系？为什么？【答案】(1)，还可以求，，．(2)解：与的关系为．∵在中，，∵是角平分线，∴，∵是边上的高，∴，即，在中，，又∵，代入得：，∴与的关系为：．【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解的度数，再由直角三角形可求解的度数，由此可求的度数，再根据三角形内角和定理还可以求解，，的度数．（2）先由三角形内角和得到，以及，再根据，代入表示即可．【详解】（1）解：在中，，∵是的角平分线，∴，∵是边上的高，∴，即，在中，，∴，还可以求解，，的度数，在中，，∴，在中，．（4分）（2）略（8分）22．（10分）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，△ABC的顶点，B，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．(1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）．(2)如图2，作AC边上的中线BD，并求出的面积．【答案】(1)见解析(2)图见解析，7【分析】（1）根据全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可；（2）AC与中间格线的交点即为AC中点D，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求．（点P在点A右侧一个单位格点处）；（5分）（2）解：如图所示，线段BD即为所求．的面积．（10分）23．（10分）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在△ABC和中，AD，分别是和边上的高线，且，则△ABC和是等高三角形．【性质探究】如图①，用，分别表示△ABC和的面积．则，．【性质应用】(1)如图②，D是△ABC的边上的一点．若，则__________；(2)如图③，在△ABC 中，D，E分别是和AB边上的点．若 ， ，，则__________，_________；(3)如图③，在△ABC 中，D，E分别是和AB边上的点，若 ， ，，则__________．【答案】(1)(2)12；(3)【分析】（1）由图可知△ABD和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；（2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得；（3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得．【详解】（1）解：如图，过点A作，则 ， ，∴；（3分）（2）解：∵和△ABC 是等高三角形，∴ ，∴；∵和是等高三角形，∴ ，∴；（6分）（3）解：∵和△ABC 是等高三角形，∴ ，∴；∵和是等高三角形，∴ ，∴．（10分）24．（12分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形ABCD中，分别是直线上的点．(1)如图1，若，F分别在线段，上，且满足，试探究线段EF，之间的数量关系．数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到EF，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段EF，，之间的数量关系为    ___________．(2)如图2，若，点E，点F分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段EF，之间的数量关系，并请说明理由．(3)如图3，若不变，点E在的延长线上，点F在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由．【答案】(1) (2)，理由如下：在上截取，连接，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．(3)，理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，，，在和中，，，，，，在和中 ，，，，，，即，．【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论；（2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论；（3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．【详解】（1）解：结论：．理由：如图 1，延长到点，使，连接，在和中，，，，，，，，在和中， ，，，．（4分）（2）略（8分）（3）略（12分）