2025-2026学年重庆市第八中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年重庆市第八中学高一（下）期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a+bi（a,b∈R）是的共轭复数，则a-b=（ ）
A. 1B. C. D. -1
2.如图，向量=，=，=，则向量可以表示为（ ）
A. +-B. -+C. -+D. --
3.已知直线a,b与平面α，β，则能使α⊥β的充分条件是（ ）
A. a⊥α，b⊥β，a∥bB. a⊂α，b⊂β，a⊥b
C. a∥b,a⊥β，b⊂αD. α∩β=a,b⊥a,b⊂β
4.已知与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的.若被截正方体的棱长为40cm,则该阿基米德多面体的表面积为（ ）
A. （4800+1600）cm2B. （4800+4800）cm2
C. （3600+3600）cm2D. （3600+1200）cm2
6.已知三棱锥P-ABC，面PAB⊥面ABC，PA=PB=4，AB=4，∠ACB=120°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
A. 20πB. 32πC. 64πD. 80π
7.如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=6，CD=4，EF是圆心为C、半径为2的圆的动直径，则的取值范围是（ ）
A. [-6，12]
B. [-7，13]
C. [-8，-10]
D. [-9，15]
8.f（x）=cs（ωx-ω）（ω＞0），，若方程f（x）-g（x）=0的所有实根之和为6，则ω可以取何值（ ）
A. 5B. 10C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数z满足，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 为纯虚数B. C. D.
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为线段B1C1的中点，P为线段CC1上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥D-D1PQ的体积为定值
B. 直线DP与直线A1B所成角的取值范围为
C. DP+PQ的最小值为
D. P为线段CC1的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面的面积为
11.如图，在△ABC中，，点E是线段AD上一点，直线BE交线段AC于点F下列选项中正确是（ ）
A.
B. 若E是线段AD的中点，则3=
C. 若E是线段BF的中点，那么F是线段AC的中点
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是 .
13.已知sinα-sinβ=1，csα+csβ=0，则cs（α-β）= .
14.已知有两个半径为1的小球与两个半径为3的大球，且这4个球两两相切.若存在一个半径为r的小球与4个球均外切，则r= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC中，∠ABC=90°，E、F分别为AC和CC1的中点.AB=BC=AA1=2，D为棱A1B1上的中点.
（1）证明：BF⊥DE；
（2）求直线DE与平面ABB1A1所成的线面角的正切值.
16.(本小题15分)
.
（1）求；
（2）将函数f（x）化为Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）的形式，写出其最小正周期并求函数f（x）在区间上的值域.
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知2sin2A+sin（A-B）=sinC，且.
（1）求的值；
（2）若c=8，，求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
如图，在四边形ABCD中，E是AD的中点，∠BCD=90°，AD∥BC，AD=2BC=kCD（k＞0），将△ABE绕着BE顺时针旋转得△A′BE，二面角A'-BE-C=α（0°＜α＜180°）.
（1）证明：平面A′DE⊥平面BCD；
（2）若k=2，α=60°，求二面角B-A'E-C的余弦值；
（3）若CD=2，请给出一组k,α的值，使得四棱锥A′-BCDE的外接球球心到平面BCD的距离为1.
19.(本小题17分)
阅读下列材料：
如图，已知点P在锐角△ABC的内部，△PBC，△PCA，△PAB的面积记为SA，SB，SC，则.该结论因图像神似奔驰车标，因此称它为“奔驰定理”.
根据你对材料的理解请完成以下问题.
（1）若O为锐角△ABC的外心，请证明：；
（2）若I为锐角△ABC的内心，a=2，b=3，c=4，且，求λ+μ的值；
（3）若O为锐角△ABC的外心，且，求a：b：c的值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】AB
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】-1
14.【答案】
15.【答案】证明：因为EG∥AB，而E为AC的中点，则G为BC的中点，
在正方形BCC1B1中，F为CC1中点，Rt△BB1G≌Rt△CBF，
则∠BB1G=∠CBF，
因此∠CBF+∠BGB1=∠BB1G+∠BGB1=90°，
有BF⊥B1G，而∠EGC=∠ABC=90°，
则有EG⊥BC，又BB1⊥平面ABC，EG⊂平面ABC，有EG⊥BB，
而BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，
于是得EG⊥平面BCC1B1又BF⊂平面BCC1B1，
则有BF⊥EG，
因为EG∩B1G=G，EG，B1G⊂平面A1EGB1，
从而得BF⊥平面A1EGB1，又DE⊂平面A1EGB1，
所以BF⊥DE

16.【答案】0
最小正周期为π，值域为[-1，2]
17.【答案】2

18.【答案】证明：由已知E为AD中点，得AD=2ED，又AD=2BC，故ED=BC；又AD∥BC，即ED∥BC，
因此四边形BCDE是平行四边形．
已知∠BCD=90°，
所以四边形BCDE为矩形，
所以BE⊥DE，BE⊥BC，BE⊥AE，
△ABE绕BE旋转得到△'ABE，
旋转前后垂直关系不变，
故BE⊥A'E，A'E∩DE=E，A'E⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，
所以BE⊥平面A'DE，
因为BE⊂平面BCD，
所以平面ADE⊥平面BCD
k=2，α=90°，则四棱锥A-BCDE的外接球球心到平面BCD的距离为1
19.【答案】证明：设锐角△ABC的外接圆半径为R，外心为O，则OA=OB=OC=R，
根据圆心角与圆周角的关系：∠BOC=2A，∠AOC=2B，∠AOB=2C，
三个小三角形的面积分别为：
，
，
，
由奔驰定理：，
代入面积表达式：，
两边同除以，得：，证毕