2026年北京市东城区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年北京市东城区中考数学二模试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．估计的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
3．如图，，直线与直线，分别交于点，，直线与直线交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．五边形的内角和是（ ）
A．B．C．D．
5．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．某班学生到首都博物馆参观．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，它们除正面图案外完全相同．把这些卡片背面朝上洗匀，每位同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．甲、乙两位同学都抽到主题为“伯矩鬲”的卡片的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
8．如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，轴于点．以，为邻边作平行四边形，边与函数图象交于点，连接，．
给出以下四个结论：
①△的面积恒为2；
②点与点的横坐标之比为定值；
③点可能是的中点；
④△有可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．因式分解： ．
10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
12．某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则该参赛队的最终成绩是 分．
13．如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为 ．
14．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系是，则水流喷出的最大高度是 ．
15．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰△，，点在边上，交于点．若，则长的值为 ．
16．某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米小时，师生步行的平均速度为4千米小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”．
（1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时 分钟（不考虑上、下车时间）；
（2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为 分钟（不考虑上、下车时间）．
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算．
18．解不等式，并写出此不等式的非正整数解．
19．已知，求代数式的值．
20．花生油是从花生中提取的油脂．普通花生平均每公顷的产量为，出油率为，高油花生平均每公顷的产量比普通花生平均每公顷的产量高，出油率为．某农场去年种植了普通花生，今年改种高油花生，虽然种植面积比去年减少了2公顷，但是产油量比去年提高了．求今年种植高油花生的面积．
21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围．
22．如图，在△中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
23．从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下：
．信息处理速度得分统计图：
．信息识别准确度得分统计图：
．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中 ， ；
（2）综合图表中的统计量，下列结论正确的是 （填正确结论的序号）；
①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多；
②从甲、乙两款软件的信息处理速度得分中各任意删去1个数据后中位数均不会发生改变．
（3）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入用来提升信息识别准确度．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．
经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．
在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则 ， 4.84， 5.74（填“”“ ”“ ” ．
24．如图，为的直径，点在上，点在的延长线上，过点作交延长线于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
25．某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位可取1，2，3或，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下：
时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．
对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．
（1）观察曲线，当整数的值为 时，的值首次超过60；
（2）写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；
（3）技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）．
①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第 日可实现达标（结果为整数）；
②小张应选择 单位制剂投放方案，总成本最低，最低是 元．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移4个单位长度，得到点，点在抛物线上．
（1）求点的坐标，并用含的式子表示；
（2）将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，与抛物线在轴右侧的部分形成新的图形．点与点关于抛物线的对称轴对称．
①当时，判断图形与线段公共点的个数，并说明理由；
②若图形与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围．
27．如图，在正方形中，为边上一点，连接，作交的延长线于点，作交于点，过点作交于点，延长交的延长线于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：记点关于点的对称点为点（特别地，当时，与重合），若线段上存在点，，使得，且，则称点是线段的“称角点”．
（1）已知点，在点，，中，线段的“称角点”是 ；
（2）已知点，点．
①若点，点，线段上存在线段的“称角点”，直接写出的取值范围；
②已知点，的半径为1，若存在一个值，使得上存在线段的“称角点”，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
2．估计的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
解：，，而，
故选：．
3．如图，，直线与直线，分别交于点，，直线与直线交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
解：，，
．
又，
．
故选：．
4．五边形的内角和是（ ）
A．B．C．D．
解：五边形的内角和是：
．
故选：．
5．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：观察数轴可知：，，
，，，
，，选项的结论错误，选项的结论正确，
故选：．
6．某班学生到首都博物馆参观．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，它们除正面图案外完全相同．把这些卡片背面朝上洗匀，每位同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．甲、乙两位同学都抽到主题为“伯矩鬲”的卡片的概率是（ ）
A．B．C．D．
解：分别以、、表示“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，甲乙两名同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．列表如下：
由列表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙都抽到“伯矩鬲”的结果只有1种，
所求概率为，
故选：．
7．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
解：由作图过程可知，为的平分线，
．
，
，
，
，
．
故选：．
8．如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，轴于点．以，为邻边作平行四边形，边与函数图象交于点，连接，．
给出以下四个结论：
①△的面积恒为2；
②点与点的横坐标之比为定值；
③点可能是的中点；
④△有可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
解：点在反比例函数图象上，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故①正确，符合题意；
，，
，是定值，
故②正确，符合题意；
若是中点，由，，可得，
把代入得，即，矛盾，
故③错误，不符合题意；
若△是等边三角形，需满足，
，，
，
整理得：，
等式左边恒为负数，
该方程无解，
不存在这样的点，
故④错误，不符合题意；
正确的是①②．
故选：．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．因式分解： ．
解：，
，
．
10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
12．某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则该参赛队的最终成绩是 93 分．
解：由题意可得，
该参赛队的最终成绩是：
（分，
故答案为：93．
13．如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为 20 ．
解：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
故答案为：20．
14．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系是，则水流喷出的最大高度是 ．
解：水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，
抛物线的顶点坐标为，
水流喷出的最大高度是．
故答案为：．
15．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰△，，点在边上，交于点．若，则长的值为 ．
解：，，
，
，
，
，，
，，
，，
在等腰△中，，
，，
，
由勾股定理得：，
又，
，
，
又，
△△，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
16．某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米小时，师生步行的平均速度为4千米小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”．
（1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时 41 分钟（不考虑上、下车时间）；
（2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为 分钟（不考虑上、下车时间）．
解：（1）（小时），（分钟）；
故答案为：41；
（2）设每组乘车千米，则步行千米，全体到达终点的总时间为小时，
将300人分为6组，巴士送完一组需要空车返回接下一组，共空车返回5次，
由条件可知每次空车返回路程为，
巴士行驶总路程为，行驶总时间也为，
因此，
联立等式得，
解得，
将代入得总时间（小时），（分钟）．
故答案为：83．
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算．
【解答】解
．
18．解不等式，并写出此不等式的非正整数解．
解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为1得，，
该不等式的非正整数解是，，0．
19．已知，求代数式的值．
解：原式
，
，
，
原式．
20．花生油是从花生中提取的油脂．普通花生平均每公顷的产量为，出油率为，高油花生平均每公顷的产量比普通花生平均每公顷的产量高，出油率为．某农场去年种植了普通花生，今年改种高油花生，虽然种植面积比去年减少了2公顷，但是产油量比去年提高了．求今年种植高油花生的面积．
解：设今年种植高油花生的面积为公顷，
根据题意，高油花生每公顷产量为，
，
解得：，
答：今年种植高油花生的面积为18公顷．
21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围．
解：（1）把，代入中，得：
，
解得：，
这个函数的解析式为；
（2）当时，恒成立，
整理右边不等式，得，
是增函数，
当时，，
要使对所有成立，
，
整理左边不等式，得，
是减函数，
当时，，
要使对所有成立，
，
综上所述，．
22．如图，在△中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：于点，于点，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，，
，即，
解得：，
平分，，于点，
，
设，则，
，，
△△，
，即，
解得，
，
，
，
，
，
△△，
，即，
．
23．从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下：
．信息处理速度得分统计图：
．信息识别准确度得分统计图：
．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中 9 ， ；
（2）综合图表中的统计量，下列结论正确的是 （填正确结论的序号）；
①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多；
②从甲、乙两款软件的信息处理速度得分中各任意删去1个数据后中位数均不会发生改变．
（3）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入用来提升信息识别准确度．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．
经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．
在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则 ， 4.84， 5.74（填“”“ ”“ ” ．
解：（1）根据众数定义可知：
使用者对甲款软件的评分中，出现次数最多的是9分，共出现5次，
使用者对甲款软件评分的众数为9；
将使用者对乙款软件的评分按照从小到大的顺序排列，其中排在第10和11位的是7分和8分，
使用者对乙款软件评分的中位数为；
故答案为：9，7.5；
（2）根据中位数和众数的定义逐项分析判断如下：
①由众数的定义可知，乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多，该结论正确；
②在甲款软件的信息处理速度得分中，任意删去1个数据后，中位数仍然是7，
在乙款软件的信息处理速度得分中，若删去得分为5分、6分、7分中的1个数据，则剩余数据的中位数为8，
若删去得分为8分、9分、10分中的1个数据，则剩余数据的中位数为7，
所以该结论不正确．
故答案为：①；
（3）甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，
则新的得分数据为3，3，4，4，4，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，
则这组数据的平均数，
，
乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变，
则新数据为8，8，8，9，3，5，5，5，7，6，6，7，7，4，8，6，8，9，8，7，
重新排列为3，4，5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，
则平均数，
，
，，．
故答案为：，，．
24．如图，为的直径，点在上，点在的延长线上，过点作交延长线于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【解答】（1）证明：如图1，为的切线，连接，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
（2）解：如图2，为的直径，过点作于点，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
解得，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在△中，，
，，
，
在△中，，即，
解得：．
25．某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位可取1，2，3或，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下：
时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．
对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．
（1）观察曲线，当整数的值为 6 时，的值首次超过60；
（2）写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；
（3）技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）．
①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第 日可实现达标（结果为整数）；
②小张应选择 单位制剂投放方案，总成本最低，最低是 元．
解：（1）观察曲线，当整数的值为6时，的值首次超过60，
故答案为：6；
（2）根据题意，时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变，
由表中数据可知，，
解得，
故整数；
（3）①结合（2），观察曲线，可知小张最早在投放制剂后的第5日可实现达标，
故答案为：5；
②结合题意可知，
当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加，
当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加，
当时，至第6日达标，此时总成本为元，
当时，至第5日达标，此时总成本为元，
，
小张应选择单位制剂投放方案，总成本最低，最低是1200元，
故答案为：3，1200．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移4个单位长度，得到点，点在抛物线上．
（1）求点的坐标，并用含的式子表示；
（2）将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，与抛物线在轴右侧的部分形成新的图形．点与点关于抛物线的对称轴对称．
①当时，判断图形与线段公共点的个数，并说明理由；
②若图形与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围．
解：（1）将代入，得：，
点的坐标为，
点由点向右平移4个单位长度得到，
点的坐标为，
将点代入，得：
，
；
（2）①3个；理由如下：
，
，
抛物线的对称轴为直线，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
点的坐标为，
抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，
翻折后的解析式为，即，
图形的解析式为，
当时，
，
如图，
将代入，得：，
解得：或，
，
图形在轴右侧与线段有2个公共点；
将代入，得：，
解得：或（正值，舍去），
，
图形在轴左侧与线段有1个公共点；
综上所述，图形与线段共有3个公共点；
②由①可知，，
（Ⅰ）当图形与线段的公共点在轴的右侧时，
将代入，得，
，
图形与线段只有1个公共点，
△或△，但只有一根在内，
当△时，
，
，
，此时，符合题意；
当△时，
，
解得：或，
，
解得：，
两根关于直线对称，且只有一根落在，
只需满足，即，
，
解得：，满足△，
将代入，得：，
左侧部分无公共点，
△或△，但根都不在内，
当△时，，
解得：，
当△时，
解得：，
由对称性可知，只需满足或，
解得：，
综上所述，当时，图形与线段只有一个公共点，且在轴的右侧；
（Ⅱ）当图形与线段的一个公共点在轴的左侧时，
将代入，得：，
图形与线段只有1个公共点，
△或△，但只有一根在内，
当△时，
，
解得：舍去），此时，不符合题意；
当△时，
，
解得：或，
，
解得：（正根，舍去），
，即，
，
解得：，满足△，
将代入，得：，
右侧部分无公共点，
△或△，但根不在内，
同理（Ⅰ）可得，或，
综上所述，当时，图形与线段只有一个公共点，且在轴的左侧；
综上所述，当或时，图形与线段只有一个公共点．
27．如图，在正方形中，为边上一点，连接，作交的延长线于点，作交于点，过点作交于点，延长交的延长线于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）解：
（2）证明：四边形是正方形，
，．
，
，
△△，
；
（3）结论：．
证明：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，
，，
，
．
，，
．
，
△△，
，
△是等腰直角三角形，
．
，
．
，
．
由可知，即，
，
四边形是平行四边形，
，
．
28．在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：记点关于点的对称点为点（特别地，当时，与重合），若线段上存在点，，使得，且，则称点是线段的“称角点”．
（1）已知点，在点，，中，线段的“称角点”是， ；
（2）已知点，点．
①若点，点，线段上存在线段的“称角点”，直接写出的取值范围；
②已知点，的半径为1，若存在一个值，使得上存在线段的“称角点”，直接写出的取值范围．
解：（1）如图1，由题意得，，则，，，
，
根据图象可知，，符合题意，
故答案为：，；
（2）①的取值范围为；理由如下：
由于点，点，则是和1的直角三角形的斜边，故，且和轴的夹角为，
以为边构造等边三角形△和△，则，，
由于，
则四边形为菱形，
对于上任意，，使得且成立的点都在菱形的边上或内部，
如图2，作点关于轴的对称点，作点关于的对称点，连接，
当线段上存在线段的“称角点”，则菱形与线段有交点，
设的解析式为，将和分别代入得：
，
解得：，
的解析式为；
当在上时，将点的坐标代入得：
，
解得：，
当在上时，将点的坐标代入得：
，
解得：，
综上所述，的取值范围为；
②的取值范围为．理由如下：
由①可知，对于上任意，，使得且成立的点都在菱形的边上或内部，
关于点的对称点为点，
菱形所对应的点都在菱形的边上或内部，由于，，，，则变化前菱形顶点的坐标为，，，，
如图3，
当与菱形有交点时，上存在线段的“称角点”，
当在左边与直线相切时，，
解得：，
当在右边与直线相切时，，
解得：，
综上所述，的取值范围为．
信息处理速度得分
信息识别准确度得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.3
7
5.6
4.84
乙
7.65
7
5.6
5.74
（日
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
时的值
0
10
18
25
30
35
40
43
45
46
47
48
时的值
0
30
45
55
62
65
67
68
69
70
70
甲
乙
信息处理速度得分
信息识别准确度得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.3
7
5.6
4.84
乙
7.65
7
5.6
5.74
（日
0
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7
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0
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30
35
40
43
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46
47
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时的值
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55
62
65
67
68
69
70
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