第9讲 相似三角形的判定（知识精讲+典例+针对练习）2026沪教版数学五四制九年级上册（含详解版）

这是一份第9讲 相似三角形的判定（知识精讲+典例+针对练习）2026沪教版数学五四制九年级上册（含详解版），共23页。试卷主要包含了 定义， 表示方法，相似比， 三角形相似的传递性等内容，欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
理解 相似三角形的定义及基本性质（对应角相等、对应边成比例）。
掌握 相似三角形的四种判定方法（AA、SAS、SSS、HL），能根据已知条件选择合适的判定定理。
熟练运用 相似三角形判定定理解决格点图、补充条件、乘积式证明、求线段长等问题。
识别 常见的相似模型（A字型、8字型、母子型、一线三等角、斜边高模型等），并能借助辅助线构造相似。
体会 类比全等三角形的判定学习相似判定，感悟“从特殊到一般”的数学思想，提升逻辑推理与几何直观能力。
✨ 核心思想：相似三角形是比例线段与平行线的升华，判定定理是几何证明的重要工具。
☆知识点1： 相似三角形的概念
1. 定义
如果两个三角形的三个角对应相等，三条对应边成比例，那么称这两个三角形相似。对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。
两个三角形相似也可以表述为“两个三角形是相似三角形”或“一个三角形与另一个三角形相似”。
2. 表示方法
两个三角形中，∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1，且 ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1，这时 △ABC 与 △A1B1C1 相似，记作 △ABC∼△A1B1C1，读作“△ABC 相似于 △A1B1C1”。（如图所示）
提醒：对应性：在书写两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。
3.相似比
两个相似三角形的对应边的比值叫作它们的相似比，通常用 k 表示。
如图，如果 DE 是 △ABC 的中位线，
那么：
① △ADE 与 △ABC 的相似比是 12，
ADAB或AEAC或DEBC
② △ABC 与 △ADE 的相似比是2。ABAD或ACAE或BCDE
即如果 △ADE 与 △ABC 相似，△ADE 与 △ABC 的相似比是 1k，那么 △ABC 与 △ADE 的相似比是 k。
三角形是相似三角形的特例。
(2)两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关。
4. 三角形相似的传递性
定理：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。（如图所示）
符号表示：∵ △A1B1C1∼△ABC,△A2B2C2∼△ABC,∴△A1B1C1∼△A2B2C2.
☆知识点2：:相似三角形的预备定理和判定定理
1. 相似三角形的预备定理
例 1 如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BA 延长线上的一点，CE 交 AD 于点 F，图中有哪几对相似三角形？
解：三对。
① △EAF∼△EBC，
② △EAF∼△CDF，
③ △EBC∼△CDF。
总结：当题目中已知线段的平行关系，或已知图形为平行四边形时，考虑用预备定理证明两个三角形相似。
2. 相似三角形判定定理（1）
提醒：A.A 是为方便记忆，书写时不使用，后同。

例 2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，如果 ∠A=∠D=70∘,∠B=60∘,∠E=50∘，那么 △ABC 和 △DEF 相似吗？请说明理由。
解：△ABC 与 △DEF 相似。理由如下：
在 △ABC 中，∵∠A=70∘,∠B=60∘∴∠C=50∘.∵∠E=50∘∴∠C=∠E.
在 △ABC 和 △DFE 中，∠A=∠D,∠C=∠E,∴△ABC∼△DFE.
总结：当题目中已知三角形中某两个角的度数，可利用三角形的内角和为 180∘ 计算出第三个角的度数，找到另一个三角形中与这个三角形相等的两组角，从而证明两个三角形相似。
3. 相似三角形判定定理（2）
提醒：
(1) 利用此判定定理时必须注意：满足的条件是两边对应成比例及其夹角相等，而不是某边的对角相等。
(2)一般地，当题目中既有角之间的关系，又有线段之间的比例关系时易采用此判定定理。
例 3 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2。求证：△OAB与△ODC是相似三角形。
证明：∵ OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2，
∴ OAOD=12,OBOC=1.53=12，由此得 OAOD=OBOC。
在△OAB与△ODC中，∵OAOD=OBOC,∠AOB=∠DOC,
∴ △OAB∽△ODC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
4. 相似三角形判定定理（3）
提醒：此判定定理指出要说明两个三角形相似，只需要满足三条边对应成比例。一般地，当题目中告诉线段的长度较多，或有成比例线段的图形，但又找不到角相等时，常选择此判定定理。
例 4 已知：在 △ABC 中，AB = 1 cm，BC = 2 cm，CA = 1.5 cm，在 △DEF 中，DE = 6 cm，EF = 4 cm，FD = 8 cm，这两个三角形相似吗？为什么？
解：∵ABEF=14,CADE=1.56=14,BCFD=28=14,
∴ 在 △ABC 与 △EFD 中，ABEF=CADE=BCFD=14。
∴ △ABC∼△EFD。
总结：已知两个三角形三条边的边长，要证两个三角形相似，只需证明三边对应成比例即可。用有关的边长作“比”并进行计算时，可以数形结合，用最长边比最长边，最短边比最短边，求值后判断三组边是否对应成比例即可完成证明。
☆知识点3： 直角三角形相似的判定定理
说明：
要说明两个直角三角形相似，只需满足斜边和一条直角边对应成比例，即仅用直角三角形的斜边和直角边也可判定。一般地，当题目中出现直角三角形时，除了前面方法外，还应考虑本方法。
该判定定理仅适用于直角三角形，运用前需先判定两个三角形是直角三角形。
例 5 如图，已知：在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是边 AB 上的高。
求证：AC2=AD⋅AB, BC2=BD⋅AB, CD2=AD⋅BD。
解析：要证 AC2=AD⋅AB，即 ACAB=ADAC，可证 △ABC∼△ACD。其他两个等式同理可证。
证明：∵ ∠ACB=90∘，CD 是 △ABC 的边 AB 上的高，
∴∠ADC=∠ACB=90∘
在 △ABC 与 △ACD 中，
∵∠A=∠A,∠ACB=∠ADC,
∴△ABC∼△ACD
∴ACAB=ADAC, 即AC2=AD⋅AB.
同理，△ABC∼△CBD，可得 BCAB=BDBC，即 BC2=BD⋅AB。
易证 △ACD∼△CBD，可得 CDBD=ADCD，即 CD2=AD⋅BD。
例 6 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠BAC=∠ADC=90∘，AD = 4，BC = 9，AC = 6。
求证：DC⊥BC。
证明：∵ ∠BAC=∠ADC=90∘，
∴ △ABC 和 △ACD 都是直角三角形。
∵AD=4, BC=9, AC=6,
∴AC2=AD⋅BC.
∴ADAC=ACBC.
∴ Rt△DCA ∼ Rt△ABC（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。
∴∠DCA=∠B.
∵∠B+∠ACB=90∘
∴∠DCA+∠ACB=90∘, 即∠DCB=90∘
∴DC⊥BC.
总结：当题目中已知直角三角形时，除了前面所述判定定理外，还可考虑直角三角形相似的判定定理。题目中给出三角形边长时，可先判断斜边和直角边，再计算对应边是否成比例，从而证明相似。其中，由已知线段长度建立比例关系是难点，可借助图形分析。
☆知识点4： 判定三角形相似的方法选择
要证明两个三角形相似的方法有：
方法 1：平行得相似；
方法 2：两角对应相等得相似；
方法 3：两边对应成比例且夹角相等得相似；
方法 4：三边对应成比例得相似；
直角三角形：斜边和一直角边对应成比例得相似。
解题思路：
若有平行线 → 用方法1
若已有一对角对应相等：
——再证一对角对应相等 → 用方法2
——或找夹此角的对应边成比例 → 用方法3
若可找到两组边成比例：
——再证夹角相等 → 用方法3
——或看第三组边的比 → 用方法4
直角三角形：
——斜边和一直角边对应成比例得相似
——一对锐角相等 → 用方法2
——两条直角边对应成比例 → 用方法3
提醒：
定义法（三个角对应相等，三边对应成比例）一般不常用。
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（斜高图，常用但需证明）。
☆知识点5： 相似三角形与全等三角形之间的联系与区别
核心考点 ·6大典型考点精讲
【考点1】格点图中判定两个三角形相似（第1-5题）
※ 方法总结
利用勾股定理计算网格中三角形的三边长度（或直角边的比例）。
三边对应成比例（SSS）或两边成比例且夹角相等（SAS）来判断。
注意直角：很多格点三角形为直角三角形，可通过直角边的比值判断相似。
技巧：将三角形的边长化为最简整数比，再与其他选项比较。
1．（2026•河北校级一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2026•固镇县一模）如图，△ABC顶点均在正方形网格格点上，下列阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025秋•易县期末）如图，方格纸中有△ABC与△DEF，其中△ABC的一边与△DEF的一边和方格线重合．下列判断正确的是（ ）
A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形
B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例
C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等
D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例
4．（2025秋•浦东新区期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是 ．
5．（2025秋•裕安区校级期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点P1、P2、P3、P4、P5、A、C是△ABC边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似，符合题意的三角形共有 个．
【考点2】补充条件判定三角形相似（第6-10题）
※ 方法总结
利用AA判定：添加另一组角相等（如∠ADE=∠B）。
利用SAS判定：添加对应边成比例（如 ADAB=AEAC），注意夹角必须是对应角。
注意：添加条件时，必须保证对应关系正确，避免“边边角”错误。
常见题型：给出一个条件，再添加一个使两三角形相似的条件（开放型）。
6．（2026•洛阳模拟）下列说法：
①所有的等边三角形都相似；
②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；
③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；
④都有一个15°角的两个直角三角形相似．
其中正确的说法是（ ）
A．②④B．①③C．①②④D．②③④
7．（2025秋•九台区期末）如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2026•普洱二模）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE．请你添加一个条件，使△ADE∽△ACB，则你添加的这一个条件可以是 （写出一个即可）．
9．（2026•浦东新区校级模拟）一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）．
10．（2025秋•象州县期末）如图，在△ABC中，D在AB上，添加一个条件使△ACD∽△ABC，则这个条件可以是： ．（不添加辅助线，写出一种情况即可）
【考点3】乘积式 b²＝ac 的转化证明（第11-15题）
※ 方法总结
目标：将乘积式转化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例证明。
步骤：① 由乘积式得到比例式；② 寻找包含这些边的相似三角形；③ 利用相似比证明。
常见模型：母子型（射影定理）、A字型、8字型。
常用技巧：利用中间比（如先证一个相似，得到中间比例，再结合其他条件转化）。
11．（2024春•同步）平行四边形ABCD中，AE交BC于点E，交BD于点F，且BE2＝EF•EA．求证：AB2＝BF•BD．
12．（2026•奉贤区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC．
（1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB；
（2）联结OF．如果OF2＝EF•AF，求证：F是BC的中点．
13．（2008春•新郑市期末）如图：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，且AC⊥AB，BD⊥CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F．
求证：（1）△AMB∽△DMC；
（2）AB2＝BF•BD．
14．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB边上，且BD2＝BE•BC．求证：∠BDE＝∠C．
15．（2023•望江县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．
【考点4】利用相似三角形求线段长（第16-23题）
※ 方法总结
识别相似：根据图形中的平行、垂直、公共角等条件，快速判断相似。
设未知数：利用相似比列出方程，解方程求线段长（注意舍去负值）。
常见图形：正方形、矩形中利用平行线或垂直构造相似。
注意：当图形中有多个相似三角形时，选择比例关系最直接的组合。
16．（2026•二道区校级模拟）如图，∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝9，CB＝6．若△ACB∽△CBD，则BD的长是（ ）
A．2B．3C．4D．272
17．（2026•高新区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E为AD上一点，连接CE交BD于点F，延长CE交BA的延长线于点G，若AG＝1，则CF的长为（ ）
A．157B．127C．207D．73
18．（2026•竞秀区模拟）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手BE距离墙壁2米（即BE与DC之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到BE的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手BE＝12cm，则手影CD的长为 cm．
19．（2026•西城区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE交对角线BD于点F，若AB＝6，BE＝2，则BF＝ ．
20．（2026春•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边上的中点，点G为△ABC的重心，那么CG＝ ．
21．（2026春•昭阳区校级月考）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ADC＝∠ACB，AD＝1，AC＝3，则BD＝ ．
22．（2026•高碑店市模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D，E分别是边AC，AB上的点，AE＝4，将线段DE绕点D顺时针旋转60°，点E的对应点为F，射线DF交BC于点Q．
（1）求证：△ADE∽△CQD；
（2）当AD＝5时，求CQ的长．
23．（2026•江西）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长．
【考点5】相似三角形的判定证明（第24-34题）
※ 方法总结
熟练运用判定定理：AA、SAS、SSS、HL，选择最简方法。
利用旋转、对称、平移等变换：变换前后对应边/角不变，可构造相似。
作辅助线：常作平行线或垂线构造A字型、8字型或母子型。
证明格式：先写“在△...和△...中”，再列条件，最后写“∴△...∽△...”。
24．（2026•凉山州）如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE＝EFB．∠ABA′＝∠CBC′
C．△ABC≌△A′BC′D．△BCF∽△EC′F
25．（2026春•荣县月考）观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2026•西安校级四模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，若BD＝DE，则图中与△ABD相似的三角形共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
27．（2026•广汉市一模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E．除Rt△ABC自身外，图中与Rt△ABC相似的三角形的个数是 ．
28．（2025秋•上海校级月考）如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是 ．（只写一个）
29．（2024秋•宝山区校级月考）已知在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝15，点D是在边CA延长线上的一点，连接BD，当CD＝ 时，△ABD与△ABC相似．
30．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA．
31．（2025秋•浦东新区校级月考）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．
32．（2025秋•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．求证：△ABP∽△PCD．
33．（2025秋•寿县期末）如图，已知△ABC和△AED，边AB、DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，且AEAB=ADAC．求证：△BDF∽△BAD．
34．（2025秋•宣城期末）问题背景：
如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．
问题探究：
如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EG与BD交于点G，求证：BG＝FG．
【考点6】相似三角形判定定理的应用（第35-40题）
※ 方法总结
实际应用：测量高度（镜子、标杆、影子）、计算内径、小孔成像等。
建立模型：将实际问题转化为相似三角形模型，利用对应边成比例列方程。
注意单位：统一单位，特别是比例尺和实际长度。
综合题：可能结合勾股定理、面积、最值等，需要灵活运用。
35．（2026•公主岭市模拟）如图，为测量零件内槽宽BC，某同学制作了一个测量尺．其中，AB为固定臂，AC为活动臂（可绕点A转动）．D，E分别为AB，AC的三等分点（即AD=13AB，AE=13AC），测量尺的零刻度与点D重合．现测得DE的长约为5cm，则内槽宽BC的长为（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．18cm
36．（2026•兰山区二模）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
A．24mmB．36mmC．40mmD．48mm
37．（2025秋•东莞市校级期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图．现量得卡钳上A、D两个端点之间的距离为5cm，AOBO=DOCO=12，则容器的内径BC的长度为（ ）
A．5cmB．8cmC．10cmD．12cm
38．（2026•恩平市二模）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD，点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2.4cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是 ．
39．（2026•南山区校级二模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是 m．
40．（2026•潮阳区三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：
（1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE＝∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE＝1.5米，小康到镜面的距离EC＝3米，镜面到旗杆的距离CB＝15米．求旗杆的高度AB．
（2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE＝1.5米，标杆高CF＝4米，EF＝3米，BF＝9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度AB．
随堂检测 · 精选练习
练习1：判断添加条件是否能判定相似（熟悉判定定理的适用条件）。
练习2：在三角形中剪开阴影部分，判断是否与原三角形相似（模型识别）。
练习3：根据乘积式判断相似条件（比例变形）。
练习4：格点图中判定相似（勾股定理求边长，SSS判定）。
练习5：直角三角形中线与相似，求线段长（分类讨论）。
练习6：平行四边形中相似三角形的对数（计数问题）。
练习7：补充条件使两三角形相似（开放型）。
练习8：利用AA判定证明两三角形相似（基本练习）。
练习9：利用SAS判定证明相似（两边成比例夹角相等）。
练习10：平行线+比例式证明相似（综合应用）。
【练习1】（2026春•青浦区校级期中）下列条件中，不能判定△ABC∽△A′B′C′的是（ ）
A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B'
B．ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′
C．ABA′B′=BCB′C′，且∠B＝∠B′
D．ABA′B′=ACA′C′，且∠C＝∠C′
【练习2】（2025秋•渭源县期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【练习3】（2026春•晋中校级月考）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，下列条件中能判定△ADE∽△ACB的是（ ）
A．AD•AE＝AB•ACB．DB•BC＝AB•AD
C．DB•BC＝AE•ACD．AD•AB＝AE•AC
【练习4】（2024秋•鹤山市期末）如图，在2×3的方格中，画有格点△ABC，下列选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【练习5】（2026•青羊区校级一模）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝80，AC＝64，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF与△DBC相似时，线段AE的长为 ．
【练习6】（2025秋•通州区期末）如图，E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 对相似三角形．
【练习7】（2025秋•淇滨区校级期末）如图，∠DAB＝∠EAC，添加一个条件： ，使△ABC∽△ADE．（写一个即可）
【练习8】（2026•城关区模拟）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
求证：△ABC∽△ACD．
【练习9】（2026•番禺区二模）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，已知AB＝4，BD＝2，BC＝8．求证：△BAC∽△BDA．
【练习10】（2025秋•和田地区期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：判断剪下的阴影三角形与原三角形是否相似（注意两边成比例但夹角不一定相等）。
作业2：选择不能判定相似的条件（判定定理的辨析）。
作业3：正方形+等边三角形中多个相似结论的判断（综合推理）。
作业4：添加条件判定相似（开放型，注意对应边）。
作业5：利用相似求线段长（设未知数解方程）。
作业6：动点问题中的相似分类讨论（两种相似对应情况）。
作业7：补充条件使两三角形相似（开放型，答案不唯一）。
作业8：直角三角形中双垂直模型证明相似（母子型）。
作业9：三角形高线相交，证明两个三角形相似（对顶角+直角）。
作业10：利用两边成比例且夹角相等证明相似（等腰三角形背景）。
❤ 复习建议 本讲核心是“相似三角形的判定”，重点掌握：
四种判定方法的条件与适用场景，特别关注AA和SAS的灵活运用；
常见相似模型（A字型、8字型、母子型、一线三等角）的识别与应用；
利用相似求线段长时，注意列方程和解方程；
证明题的规范书写格式；
实际应用中的建模能力（测量、比例尺等）。
【作业1】（2026•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【作业2】（2026春•淮南月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（ ）
A．ADAC=DEBCB．ADAC=AEAB=DEBC
C．∠ADE＝∠CD．ADAC=AEAB
【作业3】（2026•衡阳开学）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△PCD∽△PDH；③DP2＝PH•PC；④△PFD∽△HPB．其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③④D．②③
【作业4】（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠ADEB．ACAE=BCDEC．ABAD=ACAED．∠C＝∠E
【作业5】（2026•徐州一模）如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD＝3，CD＝1，要使△ADB∽△ABC，则AB的长为 ．
【作业6】（2025秋•武城县期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过 秒后△PBQ和△ABC相似？
【作业7】（2025秋•志丹县期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠1＝∠2，只需添加一个条件即可证明△ABC与△ADE相似，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【作业8】（2025秋•漳浦县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，M在边AC上，BM与CD交于点E，作MN⊥BM交AB于点N．
（1）求证：∠BCD＝∠A；
（2）求证：△AMN∽△CBE．
【作业9】（2026•漳州开学）如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE相交于点O，连接ED．求证：△DEO∽△CBO．
【作业10】（2025春•凉州区校级期中）如图，AB＝AC，作△ADC，使得点B，D在AC异侧，且AD＝CD，∠ADC＝∠BAC，E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．求证：△ABC∽△DAC．
内容
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似
简述
平行截得两个三角形相似（“A”字或“8”字）
基本图形

符号表示
∵ DE∥BC，∴ △ABC∽△ADE
内容
两角对应相等的两个三角形相似（Λ.Λ）
基本图形

符号表示
在△ABC与△A1B1C1中，∵∠A=∠A1，∠B=∠B1，∴△ABC与△A1B1C1
常见图形

（隐含条件：公共角、对顶角）
内容
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（S.A.S）
基本图形

符号表示
在△ABC与△A1B1C1中，∵ABA1B1=ACA1C1，∠A=∠A1，∴△ABC与△A1B1C1
常见图形

符号表示
在△ABC与△A1B1C1中，∵ABA1B1=ACA1C1，∠A=∠A1，∴△ABC与△A1B1C1
内容
三边对应成比例的两个三角形相似（S.S.S）
基本图形

符号表示
在△ABC与△A1B1C1中，∵ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1，∴△ABC与△A1B1C1
内容
斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（H.L）
基本图形

符号表示
在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠C=∠C1=90°，∵ABA1B1=ACA1C1，
∴Rt△ABC∽Rt△A1B1C1
常见图形
（斜高图）
两个全等三角形
两个相似三角形
相同点
形状相同，对应角相等
形状相同，对应角相等
不同点
大小相等，对应边相等
大小不等，对应边成比例
联系
全等是特殊的相似
当比例系数是1时，两个相似三角形全等
判定方法
边边边(S.S.S)、边角边(S.A.S)、角边角(A.S.A)、角角边(A.A.S)、斜边直角边(H.L)
边边边(S.S.S)、边角边(S.A.S)、角角(A.A)、斜边直角边(H.L)