湖北省部分省级示范高中2025_2026学年高二数学下学期期末试卷含解析

这是一份湖北省部分省级示范高中2025_2026学年高二数学下学期期末试卷含解析，共56页。试卷主要包含了 已知随机变量，且，则，2B， 某地天气预报等内容，欢迎下载使用。

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用散点图的变化趋势，判断相关系数的正负，由散点图的集中程度，分析相关系数大小，即可得答案.
【详解】由散点图可得，图1为正相关，则，且相关性较强，则，
图2为负相关，则，且相关性较强，则，
图3为正相关，则，
图4为负相关，但数据相关性较弱，所以，
所以相关系数最小的为.
故选：B
2. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
【答案】D
【解析】
【详解】随机变量，且，则
3. 已知等差数列中，，其前5项和为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
【答案】B
【解析】
【详解】由，，得，则．
4. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山人，北宋文学家､书法家､画家．现有苏轼的本不同诗集全部奖励给名同学，每人至少分得一本，不同分配方案的种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将本不同诗集分成组，组诗集的数量分别为、、，然后再将组诗集分配给名同学，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】先将本不同诗集分成组，组诗集的数量分别为、、，分组方法种数为种，
然后再将组诗集分配给名同学，共有种分配方案．
5. 某地天气预报：下雨时预报下雨的概率为0.8，不下雨时预报下雨的概率为0.1．该地某季节下雨的概率为0.2．小明按“预报下雨则带伞”行事．若某天小明带伞，则实际下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设事件为“实际下雨”，事件为“预报下雨”，
则事件为“实际下雨且预报下雨”，
，
，所以．
6. 袋中装有2个红球和1个白球，除颜色外完全相同，从袋中有放回地依次取出7个球，定义数列为，记为数列的前项和，则的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意说明只有两次摸到白球，五次摸到红球，
由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，
故共摸球七次只有两次摸到白球的概率是．
7. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，设数列的前项和为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义可得，利用裂项相消法可得，，即可得结果.
【详解】因为，则，可得，
由题意可知：在点处的切线斜率为，即，
则，可得，
则数列的前项和，
所以．
8. 已知，，若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，可得，令，由题意可知直线与的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】令，即，则．
令，则，
由可得，由可得或，
所以函数的减区间为、，增区间为，
的极小值为，极大值为，
当时，，当时，，如下图所示：
因此要使得直线与的图象有三个交点，的取值范围为．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某研究小组调查学生每周课外阅读时间（单位：小时）与语文作业中错别字个数（单位：个）的关系，随机抽取5位学生的数据如下表所示：
根据表中的数据计算得经验回归方程为，下列结论正确的是（ ）
A. 与负相关B.
C. 当与时，残差相等D. 每增加1小时，平均减少1个
【答案】ABD
【解析】
【详解】由于，，经验回归直线过样本中心点，
代入得，解得，回归方程为.
选项A：，说明随增大而减小，与负相关，A正确；
选项B：计算得，B正确；
选项C：残差定义为. 当时，，残差；
当时，，残差，残差不相等，C错误；
选项D：回归斜率，说明每增加1小时，平均减少1，即平均减少1个，D正确.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 随机变量，则
B. 某同学参加100米达标训练，5次训练的成绩为：11.5秒，13.1秒，14.5秒，11.7秒，14.3秒，从这5次训练的成绩中不放回任意抽取两次，则两次抽取的成绩都比12.8秒好的概率为
C. 已知，，则是的充要条件
D. 已知甲、乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，那么对甲而言“三局两胜”比“五局三胜”更有利
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，使用二项分布的均值公式结合方差的线性运算性质即可求解，对于B，使用超几何分布的运算公式即可求解，对于C，由条件概率的公式结合独立事件的乘法公式即可求解，对于D，分类讨论各个赛制下的胜利方式，结合二项分布的运算公式即可求解.
【详解】对于A，，则，故A正确，
对于B，5次训练的成绩中比12.8秒用时更少的有2次，概率为．故B正确，
对于C，充分性验证:
若，即，则，
此时事件与事件独立，充分性得证,
必要性验证:
若事件与事件独立，则，
则，必要性得证，
即是的充要条件，故C正确.
对于D，三局两胜：甲获胜的情况为甲前两局全胜或甲前两局一胜一负第三局胜，
概率为．
五局三胜：甲获胜的情况为前三局甲全胜，前三局甲两胜一负第四局甲赢，前四局甲两胜两负且第五局甲胜，
概率为．
，所以对甲而言“五局三胜”比“三局两胜”更有利，故D错误.
11. 已知随机变量的取值为不大于的正整数值，它的分布列为：
其中满足：，且.定义的生成函数为.若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，可判定A正确；由，结合期望的公式，得到，可判定B正确；由，根据期望的公式，化简得到和，进而可判定C正确，D错误.
【详解】对于A中，由，可得，所以A正确.
对于B中，由，可得，
所以，所以B正确.
对于C和D中，因为，
所以
，
又由
，
可得，所以，则，故C正确，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，含项的系数为_______．
【答案】65
【解析】
【分析】需要分别求出，，展开式中的系数，再相加即可.
【详解】由二项式定理得展开式中的系数为；
展开式中的系数为；
展开式中的系数为；
相加为 ．
13. 现有8道四选一的单选题，小明对其中7道题有思路，1道题没有思路．有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．小明从这8道题中随机选择1题，他答对该题的概率为________．
【答案】
【解析】
【详解】记事件：小明选择的是有思路的题，记事件：答对该题，
则，，，，
由全概率公式可得．
14. 在平面直角坐标系中，动点从出发，每秒向正东、正西、正南、正北任一方向移动1个单位长度，移动6秒后到达原点，则不同的移动路径共有________条．
【答案】225
【解析】
【分析】通过列方程得到四个方向的步数组合，进行分类讨论，对于确定的四个方向的步数，因为路径的本质是6步中按顺序排列不同方向的移动，所以用排列组合中多元素的排列公式计算该步数组合对应的路径数，即可得答案.
【详解】设在6秒内，向正北方向移动步，正南方向移动步，
因为最后要回到原点，所以向正东和正西移动的距离相等，设为步，
由题意可得，所以，
所以当时，，此时共有种移动方法；
当时，，此时共有种移动方法；
当时，，此时共有种移动方法；
当时，（舍）；
综上，一共有种移动方法．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在二项式的展开式中：
（1）若展开式中各二项式系数的和是，求展开式中的系数；
（2）若展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，求展开式中奇数项的二项式系数的和；
（3）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式的所有项的系数的和．
【答案】（1）112；
（2）32； （3）1．
【解析】
【分析】（1）由二项式系数和为 求 ，写出通项公式，令的指数为指定值求系数；
（2）由第2项和第6项二项式系数相等得，奇数项二项式系数和为；
（3）由只有第5项的二项式系数最大得，令求所有项系数和.
【小问1详解】
二项式展开中，所有二项式系数和为，由题意，得，
的通项为，
令，得，因此展开式中的系数为．
【小问2详解】
根据题意和组合数性质，，得，即，
则二项式系数和为，其奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，都为，
故展开式中奇数项的二项式系数的和为．
【小问3详解】
二项式系数中，仅中间项最大说明为偶数，且中间项为第5项，即，得，
令，得，即展开式的所有项的系数和为1．
16. 记等比数列的前项和为，已知，，
（1）求的通项公式；
（2）求，并判断是否成等差数列，说明理由．
【答案】（1）．
（2），
，，
，
即，所以，，是等差数列．
【解析】
【分析】（1）先排除公比为1的情况，再利用等比数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式.
（2）由等比数列的前项和求出，结合等差中项公式即可验证.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，当时，，所以，
则，解得．
故的通项公式．
【小问2详解】
略
17. 汉绣是武汉国家级非物质文化遗产之一，源于战国时期的楚绣，色彩浓艳、针法粗犷，被誉为“荆楚艺术瑰宝，针尖上的传奇”，其制作需依次完成画样、绣制、修饰三道工序．已知某工艺师每道工序成功的概率分别为，，，且相互独立，当且仅当三道工序都成功，该作品为优秀作品．在某次汉绣比赛中，该工艺师制作了4件作品．
（1）求该工艺师制作一件作品时，该作品为优秀的概率；
（2）求该工艺师在本次比赛中制作的优秀作品数的分布列及均值；
（3）若每件优秀作品得6分，不优秀作品扣3分，求该工艺师在本次比赛中得分的均值和方差．
【答案】（1）；
（2）
；
（3），．
【解析】
【分析】（1）已知三道工序相互独立，利用独立事件乘法公式计算求解；
（2）优秀作品数X服从二项分布，求出均值及相关概率，进而求出分布列；
（3）建立得分与优秀件数的线性函数，借助期望方差的线性变换性质快速求值．
【小问1详解】
一件作品优秀的概率为:．
【小问2详解】
的所有可能取值为0，1，2，3，4，，．
，
，
，
，
，
的分布列为：
【小问3详解】设该工艺师在本次比赛中得分为Y，则，
由（1）知，，则，
，所以均值为，方差为．
18. 已知
（1）求函数的极值；
（2）设，当时，不等式恒成立，求的最大值；
（3）若，请判断集合与集合是否相等，并证明．
【答案】（1）极小值为，无极大值．
（2）3 （3），下面进行证明：．
当时，，则；当时，；
当时，，则，所以．
设，则，
因为在上单调递增，且，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，所以．所以．
【解析】
【分析】（1）求导，根据单调性得出极值；
（2）利用参变分离求函数的最小值即可；
（3）构造函数，通过求导得出其单调性即可解不等式.
【小问1详解】
函数的定义域为，且，
则当时，单调递减；当时，单调递增；
因此当时，有极小值，并且极小值为，无极大值．
【小问2详解】
不等式化为，所以对任意恒成立．
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增．
又，，
则方程在上存在唯一实根，且，．
当时，，即，当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．故整数的最大值是3．
【小问3详解】
略
19. 某中学为了解男女学生参加篮球社团的差异，按性别分层随机抽样，在全体学生中抽取人进行调查，设“学生报名篮球社团”，“学生为男生”，据统计，，．
（1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加篮球社团与性别有关？
（2）篮球社团的选拔设置了如下投篮测试规则：测试活动不限时间，不限次数，测试多少轮由学生自行确定．每轮均设置次投篮，学生参与该轮测试，则至少投一次篮，一旦投中一球，则其本轮测试结束，投不中则继续投篮，直到第次投完，本轮测试结束．已知甲同学报名参加篮球社团，假设甲每次投篮是否投中相互独立，且每次投篮命中的概率均为．求甲在一轮测试中投篮次数的数学期望（用表示）．
参考公式与数据：，其中．
【答案】（1）
有关 （2）
【解析】
【分析】（1）利用条件概率计算频数，填充列联表，再通过卡方检验对比临界值，进而进行独立性判断；
（2）分段写出离散型随机变量分布列，将期望展开，通过错位相减法化简得到期望表达式．
【小问1详解】
因为，所以报名参加篮球社团的人数为，
又因为，所以报名参加篮球社团的男生人数为，
女生人数为，
又，所以样本中男生人数为，女生人数为50，
得到2×2列联表为：
：学生报名参加篮球社团与性别无关，：学生报名参加篮球社团和性别有关．
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生报名篮球社团与性别有关联．
【小问2详解】
设甲完成一轮测试，投篮数量为随机变量，则的所有可能取值为，
其中，，
所以．
，
以上两式错位相减得：
，
所以
1
2
3
4
5
8
6
5
4
2
1
2
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
性别
报名
男生
女生
合计
未报名篮球社团
报名篮球社团
合计
性别
男生
女生
合计
未报名篮球社团
报名篮球社团
合计
性别
男生
女生
合计
未报名篮球社团
报名篮球社团
合计