湖北省部分省级示范高中2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷含解析

这是一份湖北省部分省级示范高中2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的右焦点，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的定义，即可求解三角形的周长.
【详解】由椭圆的定义可得：，
的周长为：．
故选：B．
2. 已知直线与平行，那么k的值为（ ）
A. 1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或2
【答案】C
【解析】
【分析】讨论k的取值，结合两直线平行列式求解，即得答案；也可采用排除法.
【详解】当时，两直线为，满足题意；
当时，因已知两条直线平行，所以，解得.
另解：把代入已知两条直线方程，得与，
此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以，排除A，B，D.
故选：C
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得.
【详解】由，得．
故选：B
4. 在空间直角坐标系中，若，且，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量，
因为，可得，解得，所以，
则，所以.
故选：D.
5. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角.
【详解】已知直线的一个方向向量为，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率. 因为直线的斜率，且，所以.
故选：A.
6. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件为互斥事件B. 事件与事件为互斥事件
C. 事件与事件相互独立D. 事件与事件相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，写出事件包含情况，得到，A错误；B选项，写出事件包含的情况，结合A选项，得到，B错误；C选项，写出事件包含的情况，故，C错误；D选项，写出事件和包含的情况，得到，D正确.
【详解】A选项，事件包含的情况有，
事件：至少有一颗点数为6包含的情况有
，
故，事件与事件不为互斥事件，A错误；
B选项，事件包含的情况有
，
故，事件与事件不为互斥事件，B错误；
C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有种情况，
故，
事件包含的情况为，故，
故，故事件与事件不相互独立，C错误；
D选项，事件包含的情况有
，
，共18种情况，
故，
事件包含的情况有：，
故，
因为，所以事件与事件相互独立，D正确.
故选：D
7. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且，
由圆的圆心为，
圆心到的距离为，
圆心到：距离为，
所以，整理得到，
由，所以．
故选：D．
8. 已知点及圆，点 ，在圆上，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
如图所示，当四边形为正方形且时，取得最小值或最大值，求出的坐标即可得出答案．
【详解】如图所示，
当四边形为正方形且时，取得最小值或最大值．
由图可知所在直线斜率，则方程为，
则与圆的两个交点分别为、，，
解得，，
所以，，，，
则的最小值为：，最大值为：，
所以的取值范围为，．
故选：A．
【点睛】解题的关键是根据题意，根据对称性，求得PM的方程，进而可求得M点坐标，即可求得答案，考查数形结合的解题思想，考查了计算能力，属中档题．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A. 短轴长是3B. 的周长为15
C. 离心率D. 若，则的面积为9
【答案】CD
【解析】
【分析】根据短轴长的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；根据离心率来判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D.
【详解】A，由，可得，，所以椭圆的短轴长为，故A不正确；
B，的周长为，故B不正确.
C，离心率，故C正确；
D，，，
又因为，所以，
即，解得,
所以，故D正确.
故选：CD
10. 如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ）
A. 平面B. 平面
C. D. P，G，E，F四点共面
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断ABC；求出点坐标，再推导出判断D.
【详解】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，
则，，，，
设平面的法向量，则，令，得，
对于A，，且平面，则平面，A正确；
对于B，，平面，则平面，B正确；
对于C，，，，，
则，C错误；
对于D，由，得，
即，则，，即，
因此，即四点共面，D正确.
故选：ABD.
11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A. 圆的方程是
B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D. 在直线上存在异于，的两点，，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.
【详解】因为，，点满足，
设点，则 ，
化简得：，即 ，故A正确；
因为，所以，则 ，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误；
假设存在异于，的两点，，则，
化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】方法一、根据题意，得到，根据A，C，D三点共线得，再利用向量相等的条件求解参数即可；方法二、假设为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即可.
【详解】方法一、因为，，，
所以．
因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得，
即，
即，解得．
方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底，
则在此基底下的坐标为，同理，，
则，
若A，C，D三点共线，则，
即，解得．
故答案为：0.
13. 柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.
【详解】设表示三只左鞋，表示三只右鞋，
则从中有放回取出2只的所有可能为：
，共计36种，
其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，
.
故答案为：.
14. 棱长为的正四面体中，点为所在平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的最大值为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用给定条件判断的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可.
【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面，
因平面，所以，
因为正四面体，所以是等边三角形，
由题意得，是的中心，
则，
由题意得，则，
所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
建立如下图所示的空间直角坐标系：
设与轴正半轴所成的角为，则，，
所以，
设直线与直线所成的角为，
所以，
因为，所以，
即直线与直线所成的角的余弦值的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响．
（1）求甲、乙都能进入政审这一关的概率；
（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求甲、乙能进入政审这一关的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）分析可知恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
【小问1详解】
由题意可知：甲、乙分别能进入政审这一关的概率，
所以甲、乙都能进入政审这一关的概率.
【小问2详解】
甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，
所以恰好有两个人通过复检的概率.
16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.
（1）用，，表示，，；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）应用空间向量的加减法计算求解；
（2）应用空间向量数量积公式计算，再应用异面直线所成角的余弦公式计算求解.
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
因为，，
，
又，，
所以，
，
，
设异面直线与所成角为，
则
17. 已知圆过两点、，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点圆的切线方程；
（3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）设圆心为，根据结合两点间的距离公式可求出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，由此可得出原的标准方程；
（2）分析可知，点在圆外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在直线斜率的存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，综合可得出切线的方程；
（3）利用直线截圆的弦长可得出圆心到直线的距离为，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得出，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得的最小值.
【小问1详解】
解：因为圆心在直线上，设圆心为，
因为点、在圆上，所以，
即，解得，
所以圆心，半径，所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：由（1）可得圆，则圆心，半径，
因为，则点在圆外，
当过点的直线斜率不存在，则直线方程为，
圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线；
当过点的直线斜率存在，
可设直线方程，即，
圆心到该直线的距离，
由直线与圆相切，则，即，
可得，解得，
此时，直线方程为，即，
综上，切线的方程为或.
【小问3详解】
解：直线被圆截的弦长为，
所以，圆心到直线的距离为，
又直线的横截距为，纵截距为，
则直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，整理可得，
由，得，即，
解得或，
因为，，则，则，故，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为.
18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可；
（3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可.
【小问1详解】
由平面平面，则，
又，由，且平面，
所以面，
又面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）易知，又，过作于，
由面面，面面面，
所以面，
过作，易知，
故可构建如图示空间直角坐标系.
又，
则，
所以，
若是面的一个法向量，
则解得，
所以点到平面的距离.
【小问3详解】
同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量
设，
于是
，
，
设是平面的一个法向量，
则，令，
因为平面与平面所成角的余弦值为，
所以，
整理得，即或（舍）
故，所以
19. 已知圆 与圆 相外切.
（1）求圆的标准方程；
（2）若，求 的最小值；
（3）已知，P为圆上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得 为定值? 若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在定点B，B的坐标为.
【解析】
【分析】（1）运用圆与圆的位置关系构造方程求出圆心即可
（2）将转化点到圆心 与圆心 的距离之和，结合点关于直线的对称知识画图求解即可；
（3）设，用式子表示，
分析得到取得定值即可.
【小问1详解】
圆心 圆心
因为圆 与圆 相外切，
所以 即 解得 或
因为，所以 舍去，故
故圆的标准方程为
【小问2详解】
若，则点在直线上，
则 表示点到圆心 与圆心 的距离之和，
设如图关于直线对称点，

则 得 ，则点
数形结合易知，到圆心 与圆心 的距离之和的最小值等于 即
【小问3详解】
假设存在定点B，设，
则

当 即时， 为定值，且定值 ，
故存在定点B，且B的坐标为.