河南省洛阳市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷

这是一份河南省洛阳市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了 BCD10， 3 - 4i13， 33 岁,40等内容，欢迎下载使用。

2025———2026 学年高一质量检测
数学试卷参考答案
单选题
1 - 4BCDB5 - 8ADCC
多选题
9. BCD10. BD11. ABD
填空题
12. 3 - 4i13. 2O→A +O→B
解答题
(2 + 5 ) a
2
解(1)[35,45) 年龄段占总体比例为: 55
150
= 11,……3 分
30
则抽取人数为:30 × 11 = 11 人……6 分
30
由题可得 150 人的平均年龄约为:30 × 45
150
+ 40 × 55
150
+ 50 × 50
150
= 30 × 3
10
+ 40
× 11 + 50 × 1 = 121(40 岁,40. 33 岁,40. 3 岁都对)……12 分
3033
1
2
解:(1) 因为 m,n ∈ R,Δ = m2 - 4n < 0,所以方程 x2 + mx + n = 0 的两个根 z ,z 为
共轭复数,……2 分
设 z1 = a + bi,z2 = a - bi( a,b ∈ R),由韦达定理得 z1 + z2 = - m,z1z2 = n,……3 分将 z1 = a + bi,z2 = a - bi 代入 z1 + (1 - i) z2 = 1 - 2i 得 a + bi + (1 - i)( a - bi)
= 1 - 2i 即(2a - b) - ai = 1 - 2i
所以2a - b = 1,解得a = 2,所以 z1 = 2 + 3i,z2 = 2 - 3i……5 分
- a = - 2b = 3
所以 m = - ( z1 + z2) = - 4,n = z1z2 = 13……6 分
因为 z1 = 1 + 2i,所以 z2 = 1 - 2i,所以 a = (1,2),b = (1, - 2),
所以 ta + b = t(1,2) + (1, - 2) = ( t + 1,2t - 2),
a - 2b = (1,2) - 2(1, - 2) = ( - 1,6),……9 分
因为 ta + b 与 a - 2b 的夹角为钝角,所以( ta + b) · ( a - 2b) < 0,且 ta + b 与 a - 2b
不共线,
所以- ( t + 1) + 6(2t - 2) < 0,解得 t < 13 且 t ≠ - 1 ,……12 分
6( t + 1) + (2t - 2) ≠ 0
112
所以实数 t 的取值范围为( - ∞ , - 1 ) ∪ ( - 1
22
解:(1) ∵f( x) 是奇函数,g( x) 是偶函数,∴f( - x) = - f( x),g( - x) = g( x),
……2 分
2f( x) + 3g( x) = 9x2 + 4x + 1,①
∴2f( - x) + 3g( - x) = 9x2 - 4x + 1,即 - 2f( x) + 3g( x) = 9x2 - 4x + 1,Ⓒ
……4 分
由 ①、Ⓒ 解得 f( x) = 2x,g( x) = 3x2 + 1 .……6 分
3
由(1) 知 f( x) = 2x 是 R 上的奇函数和增函数
则不等式 f(4 -x ) + f(4 - 5 × 2 -x ) ≤ 0⇔4 -x ≤ 5 × 2 -x - 4,……9 分因此 4 -x - 5 × 2 -x + 4 ≤ 0,即(2 -x - 1)(2 -x - 4) ≤ 0,解得 1 ≤ 2 -x ≤ 4 ……11 分即 - 2 ≤ x ≤ 0,所以原不等式的解集为[ - 2,0] .……13 分
解:(1)2acs( π
3
- B) = b + c,由正弦定理得:
2sinA( 1 csB + 3 sinB) = sinB + sinC = sinB + sin( A + B) = sinB + sinAcsB + csAsinB
22
即 3 sinAsinB = sinB + csAsinB,……2 分
∵B ∈ (0,π),∴sinB > 0,
∴3 sinA - csA = 1,即 sin( A - π ) = 1 ,
62
又 ∵0 < A < π,∴A - π = π ,∴A = π .……4 分
663
由 S△ABE + S△AEC = S△ABC 得:
1 × c × AEsin π + 1 × b × AEsin π = 1 bc × sin π ,……6 分
262623
∵AE = 1,∴c + b = 3 bc,
bc
∴b + c = 3 .……7 分
S
= 1 bcsin π
= 20 3 ,∴bc = 80,……8 分
△ABC23
∵csB = 11,∴sinB = 5 3
……9 分
1414
∵A + B + C = π,
∴sinC = sin( A + B) = sinAcsB + csAsinB = 3 × 11 + 1 × 5 3 = 4 3
∴ b = sinB = 5 ,
214214
7
……10 分
csinC8
2
∴b = 5 2 ,c = 8
……11 分
又 ∵B→D = 3D→A,∴
AD = c
4
= 2 2 ,
在 △ACD 中,由余弦定理得:CD2 = AC2 + AD2 - 2AC · ADcs π
2
3
= (5 2 ) 2 + (2 2 ) 2 - 2 × 5
× 2
× 1 = 38
2
2
∴CD =38 .……13 分
解:(1) 取 AD 中点 G,连接 GF,GP,∵△PAD 为正三角形,∴PG ⊥ AD,
……1 分
在 △ABD 中,由余弦定理得 BD2 = AD2 + AB2 - 2AD · ABcs60° = 3,
则 AD2 + BD2 = AB2,即 AD ⊥ BD,……2 分
设 BD ∩ AE = O 由 DE ∥ AB,DE = 1 AB 得 AO = 2OE
2
由 F 为线段 AE 上靠近 A 的三等分点,得 F 是线段 AO 的中点,……3 分
∴GF ∥ BD,∴AD ⊥ GF,……4 分
而 PG ∩ GF = G,PG,GF ⊂ 平面 PGF,因此 AD ⊥ 平面 PGF,
又 PF ⊂ 平面 PGF,所以 AD ⊥ PF.……5 分
① 由(1) 知,PG ⊥ AD,GF ⊥ AD,则 ∠PGF 是二面角 P - AD - B 的平面角,
……6 分
由(1) 得 AD ⊥ PF,又 PF ⊥ AE,AE ∩ AD = A,则 PF ⊥ 平面 ABCD,
在 Rt△PGF 中,PG = 3 ,GF = 1 DO = 1 DB = 3 ,
2266
所以二面角 P - AD - B 的余弦值是 cs∠PGF = GF = 1 .……8 分
Ⓒ 在 Rt△PGF 中,PF =
连接 FC,由(1) 可得 AE = BD = 3 ,
= 6 ,
PG2 - GF2
3
PG3
在 △EFC 中,FC2 = FE2 + EC2 - 2FE · ECcs150° = 13
3
PF2 + FC2
在 Rt△PFC 中,PC =
设点 C 到平面 PAD 的距离为 d,
= 5 ,……10 分
由 V -
= V -
,得 1 S
· d = 1 S· PF,则 3 × 12 × d = 1
× 1 × 2 × 3 × 6 ,
C PAD
P ACD
3 △PAD
3 △ACD4
223
解得 d = 2 6 ,……12 分
3
所以直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值为 d = 230 .……13 分
PC15
解:(1) 可知 cs( α + β ) cs( α - β ) = 1 ( cs2α + cs2β )
2
= 1 (2cs2α - 1 + 1 - 2sin2β ) = cs2α - sin2β , 2
结合已知条件可得 cs2α - sin2β = 1 .……4 分
3
左边 = 1 [ cs( β - γ) - cs(2α + β + γ)] 2
= 1 [ cs( β - γ) - cs( α + π - ω)] 2
= 1 [ cs( β - γ) + cs( α - ω)]……6 分
2
右边 = 1 [ cs( α - ω) - cs( α + ω)] + 1 [ cs( β - γ) - cs( β + γ)]……7 分
22
= 1 [ cs( α - ω) + cs( β - γ)] - 1 [ cs( α + ω) + cs( β + γ)] .
22
因为 α + β + γ + ω = π,所以 cs( α + ω) + cs( β + γ) = 0.
故 sin( α + β ) sin( α + γ) = sinαsinω + sinβ sinγ,……8 分
(3) f( x) = 2cs2xcs(2x + π ) - 3 = cs π
+ cs(4x + π ) - 3 = cs(4x + π )
626
626
……9 分
可得 af( 1 x - π ) - f( 1 x - π ) = asinx - csx ≥ 2 恒成立,
46424
则 a ≥ 2 + csx 对任意的 x ∈ [ π
2π] 恒成立,……10 分
sinx
2 , 3
+
2( sin x ) 2 + 2( cs x ) 2 + ( cs x ) 2 - ( sin x ) 2

2csx =2
sinx
2
2sin
22
x x
2 cs 2
3( cs x ) 2 + ( sin x ) 23 + tan2 x
=2
2sin
2
x x
2 cs 2
=
2tan
2 ,……11 分
x
2
令 t = tan x ,因为 x
∈ [ π π
则 t = tan x
∈ [1, 3 ],
224 , 3 ],2
t
易知 y = 3
2
+ t 在[1, 3 ] 单调递减,则 y = 3
t
22
+ t 的最大值为 2,……12 分
2
所以实数 a 的取值范围为[2, + ∞ ) .……13 分