河南省洛阳市2025年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份河南省洛阳市2025年高一下学期期末考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

洛阳市2024———2025学年高一质量检测
数学试卷参考答案
一、选择题
1-4. CDBD5-8. ABCD
二、选择题
9. ABC10. AC11. BCD
三、填空题
12. 113. 1
2
41π
2
四、解答题
(12 分)
由已知得,z = m2 - 3m + 2 + ( m2 - 4m + 3) i,……1′
∵z 为纯虚数,
m2 - 3m + 2 = 0,……2′
∴
m2 - 4m + 3 ≠ 0,……3′
∴m = 2 .……4′
设 A(0,t)( t < 0),则O→A = (0,t),……5′
又O→Z = ( m2 - 3m + 2,m2 - 4m + 3),……6′
由O→A,O→Z 夹角为锐角得:

·OZ
> 0,且OA 与OZ 不共线,……8′
O→A→→→
t( m2 - 4m + 3) > 0,……9′
∴
m2 - 3m + 2 ≠ 0 .……10′
解得 1 < m < 3 且 m ≠ 2,
故 m 的取值范围为(1,2) ∪ (2,3) .……12′
(13 分)
由于cs4 x - 2 3 sinxcsx - sin4 x = ( cs2 x + sin2 x)( cs2 x - sin2 x) - 2 3 sinxcsx
= cs2x - 3 sin2x = 2cs(2x + π ),
3
高一数学答案 第1 页 ( 共 5 页)(2025. 7)
∴f( x) = 2cs(2x + π ),……4′
3
由(2k - 1) π ≤ 2x + π ≤ 2kπ 得:
3
- 2π + kπ ≤ x ≤ - π + kπ,……6′
36
故 f( x) 的单调递增区间为[ - 2π + kπ, - π + kπ]( k ∈ Z),……7′
x ∈ [0, π ] 时,2x
2
36
,
+ π ∈ [ π 4π],……8′
333
当 2x + ππ即 xπ时, f( x) 单调递减,……10′
3 ∈ [ 3 ,π],∈ [0, 3 ]
当 2x + π4ππ π
π
3 ∈ [ π, 3 ],即 x ∈ [ 3 , 2 ] 时, f( x) 单调递增,……12′
故当 x = π 时, f( x) 有最小值,且 f( x) 3
min
= f( 3 )
= - 2,……13′
(13 分) 本试卷答案最早发在微信公众号“做事方法很重要”
用 x1 ,x2 分别表示第 1,2 次取到的球,则可用( x1 ,x2 ) 表示 2 次取球的可能结果,则样本空间 Ω = {( R1 ,R2 ),( R1 ,G),( R2 ,G),( R2 ,R1 ),( G,R1 ),( G,R2 )} .……4′
① 样本点总数为(3 + n)(2 + n),两个球都是红球的样本点个数为 3 × 2 = 6,
故+
6
(3n)(2
+ n)
= 1 ,解得 n = 4.……8′
7
② 设 A = “ 第一次取到红球”,B = “ 第二次取到红球”,
则“ 取到的 2 个球颜色不同” = AB- ∪ A-B,且 AB- 与 A-B 互斥,
所以 P( AB- ∪ A-B) = P( AB-) + P( A-B) = 12 + 12 = 4 .……13′
42427
(13 分) 本试卷答案最早发在微信公众号“做事方法很重要”
∵2bcsBcsC + ccs2B + C = a,由正弦定理得:
2sinBcsBcsC + sinCcs2B + sinC = sinA,……2′
∴2sinBcsBcsC + 2cs2 BsinC = sinA,……3′
∴2csB( sinBcsC + csBsinC) = sinA,
∴2csBsin( B + C) = sinA,……5′
高一数学答案 第2 页 ( 共 5 页)(2025. 7)
即 2csBsinA = sinA,又 sinA > 0,
∴csB = 1 , 2
∵B ∈ (0,π),
∴B = π 3
.……7′
(2) 设 BD = m,则由 S△ABD + S△CBD = S△ABC 知
1 cmsin π + 1 amsin π = 1 acsin π ,……10′
262623
∴m = 3 ac ≤
× ( a + c) 2
3
2
= 3 ( a + c) = 3
× 4 = 3 ,……12′
a + ca + c44
当且仅当 a = c = 2 时,取“ =”,
故 BD 长度的最大值为 3 ,……13′
(13 分)
本试卷答案最早发在微信公众号“做事方法很重要”
方程 f( x) = 1 ,即 ex = 1 ,
xx
x
当 x < 0 时,方程 ex = 1
无实数解.……1′
x
当 x > 0 时,令 φ( x) = ex - 1 ,则 φ( x) 在(0, + ∞ ) 上单调递增,……2′
e
1
又 φ( 2 )
=
- 2 < 0,φ(1) = e - 1 > 0 .
故 φ( x) 在( 1 ,1) 内有唯一零点 x ,
2
即 x1
0
.……4′
0 ∈ ( 2 ,1)
x1
( x0 - 1)(2x0 - 1)
x
∴e 0 + 2x0 - 3 =
0
+ 2x0 - 3 =< 0
x
0
∴ex0 + 2x0 < 3 .……5′
(2) g( x) = lnx,……6′
∴h( x) = ln( ex + e-x ),……7′
高一数学答案 第3 页 ( 共 5 页)(2025. 7)
∵h( x) = g( mex + 1 e -x + 2m) .
2
即 ln( ex + e -x ) = ln( mex + 1 e -x + 2m),
2
∴ex + e -x = mex + 1 e -x + 2m,……8′
2
∴( m - 1) e2x + 2mex - 1
2
= 0 .
令 ex = t( t > 0),
即( m - 1) t2 + 2mt - 1
2
= 0 在(0, + ∞ ) 有两个不等实根,……9′
m - 1 ≠ 0 ,

(2m) 2

∴
- 4( m - 1) × ( -
1 ) > 0 ,
2
t
+ t

 12


2m
=
1 - m
1
> 0 ,

t1 · t2 = - 2( m - 1) > 0 .
∴1 < m < 1,即 m 的取值范围为
2
1
( 2 ,1)
.……13′
(13 分) 本试卷答案最早发在微信公众号“做事方法很重要”
∵CD ∥ AB,CD ⊄ 平面 PAB,
∴CD ∥ 平面 PAB,……1′
又平面 CDE ∩ 平面 PAB = EF,
∴CD ∥ EF.
从而 EF ∥ AB .……2′
而 E 为 PB 的中点,
∴F 为 PA 的中点,
∴在P→F = λP→A 中,λ = 1
2
.……3′
∵AB ∥ CD, AB ⊥ AD,
∴CD ⊥ AD,……4′
高一数学答案 第4 页 ( 共 5 页)(2025. 7)
∵平面 PAD ⊥ 平面 ABCD,
平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD,
∴CD ⊥ 平面 PAD,
∴CD ⊥ DF .……5′
在直角梯形 CDFE 中,CD = 6,EF = 3 ,DF = 3 6 ,
22
故 S = 1
2
× ( 3
2
+ 6) × 3 6
2
= 45 6
8
.……7′
在 CD 上取靠近点 C 的四等分点 G,连 FG,
由 EFCG 知四边形 CEFG 为平行四边形,
∴FG ∥ CE,
∴FG 与平面 PAD 所成的角等于 CE 与平面 PAD 所成的角,FG 与平面 ABCD 所成的角等于 CE 与平面 ABCD 所成的角.……9′
∵GD ⊥ 平面 PAD, 本试卷答案最早发在微信公众号“做事方法很重要”
∴∠GFD 即为 FG 与平面 PAD 所成的角,
在 Rt△GDF 中,GD = 9 ,DF = 3 6 ,
∴FG = 3
22
15 ,
2
9
∴sinα = sin∠GFD =
2
3 15
2
=15 ,……11′
5
作 FM ⊥ AD 于 M,则 FM ⊥ 平面 ABCD,
连接 GM,则 ∠FGM 即为 FG 与平面 ABCD 所成的角 .
在 Rt△FGM 中,FM = 3
15 ,
4
∴sinβ = sin∠FGM = FM = 1 .……12′
FG2
∴sin2 α + sin2 β = (15 ) 2 +
5
1
( 2 )
2 = 17 .……13′
20
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