河南省南阳市唐河县2025-2026学年八年级下学期6月期末 数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市唐河县2025-2026学年八年级下学期6月期末 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，其与的误差小于．其中用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 分式值为0，则的值为B. 分式是最简分式
C. 无论为何值总有意义D. 代数式是分式
3. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ）
A. 八（1）班跳绳次数更集中
B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班
C. 两个班级跳绳次数的中位数相等
D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好
4. 如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（ ）
A. 18B. C. D. 24
5. 如图，在中，，分别是，的中点，连接，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6. 已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A. 当，是矩形B. 当，是矩形
C. 当，是菱形D. 当，是正方形
8. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
10. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：），两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系：下列结论：
①；
②当动车到达终点时，普通列车距离甲地；
③普通列车行驶时，到达终点甲地．
其中正确的是（ ）．
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ②③
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，一次函数与的图象相交于点，若点的纵坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为_____．
12. 曲老师参加区青年教师教学大比武比赛，笔试得95分，微型课得90分，教学反思得85分．按如图所示的笔试、微型课、教学反思的权重，曲老师的综合成绩是_____分．
13. 如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝35°，则∠DBE＝__度．
14. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值为_____．
15. 如图，为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，过点作交于点，连接，则的长为_____．
三、解答题（共75分）
16. 解决下列问题：
（1）计算：；
（2）解方程：．
17. 化简求值：先化简：，再请从，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值．
18. 2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）．
【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，；
抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理数据】，两班的数据整理如下：
【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示；
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：____，_____，请补全条形统计图；
（2）假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数；
（3）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价．
19. 某饮水机的工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整个工作过程中水温与通电时间满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表：
（1）饮水机在加热过程中，水温为与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式；
（2）饮水机停止加热，水温下降过程中，水温与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式；
（3）已知某种茶冲泡的最佳温度在左右．现用该款饮水机把初始温度为的水加热到，再降温到使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间．
20. 如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求菱形的面积．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．
（1）①求反比例函数和一次函数的表达式；
②根据图像直接写出的的取值范围
（2）求的面积
（3）点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．
22. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）商场售出足球的数量比篮球数量的还多10个，且获利超过1300元，问：篮球最少售出多少个？
（3）商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，问：分别购进篮球和足球多少个，能使商场获利最大？最大利润是多少？
23. 如图1，在中，为边上一点，过点作于点，过点作，交延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，当为边中点时，连接，．
①求证：四边形是菱形；
②当为多少度时，四边形是正方形？并请说明理由．
数学
本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，其与的误差小于．其中用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果．
解答过程：解：，
故选：A．
方法提示：此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 分式值为0，则的值为B. 分式是最简分式
C. 无论为何值总有意义D. 代数式是分式
答案：C
解析：
解答过程：解： A选项，分式值为0需要满足且，解得，故错误；
B选项，∵，∴分子分母有公因式，∴不是最简分式，故错误；
C选项，∵，∴，∴分母恒不为0，∴无论为何值总有意义，故正确；
D选项，∵是常数，分母不含字母，∴是整式，不是分式，故错误．
3. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ）
A. 八（1）班跳绳次数更集中
B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班
C. 两个班级跳绳次数的中位数相等
D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好
答案：D
解析：
思路：本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可．
解答过程：解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中，
在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为，
∵，
∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误；
B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值，
对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152，
∵，
∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误；
C项：箱线图中，中间的线代表中位数，
对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172，
∵，
∴两个班的中位数不相等，故C错误；
D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高，
对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数，
∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确．
4. 如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（ ）
A. 18B. C. D. 24
答案：D
解析：
思路：本题考查了作图-基本作图，也考查了平行线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质．利用基本作图得到平分，，再证明得到，连接，交于点O，如图，接着证明四边形为菱形，所以，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
解答过程：解：由作图痕迹得到平分，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，交于点O，如图，
∵，
而，
∴四边形为菱形，
∴，，，
在中，，
∴．
故选：D．
5. 如图，在中，，分别是，的中点，连接，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：B
解析：
思路：先根据中位线的判定与性质，得，，再结合F是的中点，以及对顶角相等，证明，故，即可作答．
解答过程：解：∵D，E分别是，的中点，
∴，，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
6. 已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了反比例函数图像和性质，根据时，可知反比例函数在第三象限内随的增大而减小，由此得出比例系数，解不等式即可求出的取值范围．
解答过程：解：点，在反比例函数的图象上，且时，，
∴该反比例函数在第三象限内随的增大而减小，
，
，
．
故选：D．
7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A. 当，是矩形B. 当，是矩形
C. 当，是菱形D. 当，是正方形
答案：D
解析：
思路：本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断
解答过程：四边形是平行四边形，
当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：
8. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案．
此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、b的符号，进而可得的符号是关键．
解答过程：解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意；
B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意；
C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意；
D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意；
故选：A
9. 如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
答案：B
解析：
思路：此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案．
解答过程：解：∵点在的图象上，
∴，
∴点，
∵轴，轴，C，D两点在的图象上，
∴四边形是矩形，
∴点，，
∴，，，，
，
∴，，
∴
，
故选：B．
10. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：），两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系：下列结论：
①；
②当动车到达终点时，普通列车距离甲地；
③普通列车行驶时，到达终点甲地．
其中正确的是（ ）．
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ②③
答案：A
解析：
思路：①根据路程和速度和时间即可解答；②、③根据路程速度时间即可解答．
解答过程：①、由图象可得，甲乙两地的距离为，
当，时，即代表普通列车和动车相遇，
∴两车的速度和为，
∴，故①正确，符合题意；
②、由函数图象可得，当时，动车到达终点，
∴动车的速度为，则普通列车的速度为，
∴普通列车距离甲地为，故②正确，符合题意；
③、已知普通列车的速度为，甲乙两地的距离为，
∴普通列车到达终点甲地的时间为，故③错误，不符合题意．
综上，符合题意的有①②．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，一次函数与的图象相交于点，若点的纵坐标为2，则关于的二元一次方程组的解为_____．
答案：
解析：
思路：本题考查两直线的交点与二元一次方程组的解．
将代入，可得点的横坐标，即可得方程组的解．
解答过程：解：∵一次函数与的图像相交于点，且点的纵坐标为，
∴，
解得，
∴点坐标为，
∴关于，的二元一次方程组的解为．
故答案为：．
12. 曲老师参加区青年教师教学大比武比赛，笔试得95分，微型课得90分，教学反思得85分．按如图所示的笔试、微型课、教学反思的权重，曲老师的综合成绩是_____分．
答案：91
解析：
解答过程：解：曲老师的综合成绩为：（分）．
13. 如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝35°，则∠DBE＝__度．
答案：20．
解析：
思路：由矩形的性质可知，则可求得度数，由直角三角形的性质可得的度数．
解答过程：解:∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OB＝OC
∴∠ACB＝∠OBC＝35°
∵∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝70°，且BE⊥AC
∴∠DBE＝20°
故答案为：20．
方法提示：本题主要考查矩形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得的度数是解题的关键．
14. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值为_____．
答案：1或
解析：
思路：分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解．
解答过程：解：，
方程两边同乘最简公分母，得，
整理得整式方程 ，
分式方程无解，分两种情况讨论：
整式方程无解，令，得，此时方程变为，不成立，整式方程无解，原分式方程无解．
整式方程的解为原分式方程的增根，令，得增根，
将代入，得，
解得．
综上，实数的值为或．
15. 如图，为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，过点作交于点，连接，则的长为_____．
答案：4
解析：
思路：先根据平行四边形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得．
解答过程：解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
三、解答题（共75分）
16. 解决下列问题：
（1）计算：；
（2）解方程：．
答案：（1）5； （2）
解析：
思路：（1）依次运用绝对值、负整数指数幂、零次幂、算术平方根、乘方的运算法则分步化简，再进行加减乘运算；
（2）去分母化为整式方程，解整式方程，检验分母不为0，排除增根．
（1）解：原式．
（2）解：方程两边同乘，消去分母：
，
，
，
消去，移项合并同类项：
，
，
检验：把代入公分母，
，
分母不为，是原方程的解．
17. 化简求值：先化简：，再请从，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值．
答案：，0．
解析：
解答过程：解：
，
∵原式分母不能为，
∴，，
∴，；
∴当时，原式．
18. 2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）．
【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，；
抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【整理数据】，两班的数据整理如下：
【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示；
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：____，_____，请补全条形统计图；
（2）假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数；
（3）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价．
答案：（1）
，，补全条形图如下：
（2）人
（3）从平均数看，，两班学生测试成绩的平均水平一样；
从中位数看，班学生测试成绩的中位数低于班学生测试成绩的中位数，说明班的整体水平好一些；
从众数看，班学生测试成绩的众数低于班学生测试成绩的众数，说明班学生测试成绩的高分集中趋势高一些；
从方差看，班学生测试成绩的方差低于班学生测试成绩的方差，说明班学生测试成绩的波动小一些．
解析：
思路：（1）根据中位数、众数定义求解即可；
（2）根据样本估计总体进行计算即可；
（3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可；
（1）解：班不了解人数为人，比较了解人数为人，了解共人，故非常了解共人，
将成绩按从小到大排序，可知中位数位于第、之间，
故，
由B班成绩，可得，
补全条形图如下：
（2）解：人，
故成绩为“了解”的学生人数约为人；
（3）略
19. 某饮水机的工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降，且在整个工作过程中水温与通电时间满足初中阶段所学函数模型，具体关系如下表：
（1）饮水机在加热过程中，水温为与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式；
（2）饮水机停止加热，水温下降过程中，水温与通电时间满足哪种函数模型？请判断并求出函数表达式；
（3）已知某种茶冲泡的最佳温度在左右．现用该款饮水机把初始温度为的水加热到，再降温到使用，求饮水机从开始加热到可以使用需要的时间．
答案：（1）一次函数模型，
（2）反比例函数模型，
（3）解析：
思路：本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用，得到一次函数和反比例函数模型是解答的关键．
（1）先根据表格数据得到加热过程中的水温与通电时间满足一次函数模型，然后利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）先根据表格数据得到下降过程中的水温与通电时间满足反比例函数模型，然后利用待定系数法求解函数表达式即可；
（3）求出水温是时的通电时间即可求解．
（1）解：∵每过1分钟，水温上升，所以加热过程中的水温与通电时间满足一次函数模型．
设一次函数表达式为，
过点，
，解得，
，；
（2）解：
停止加热水温下降时，水温与通电时间满足反比例函数模型，
设反比例函数表达式为，
则，
；
（3）解：在中，当时，由得，
在中，当时，，
∴，
从饮水机加热开始到可以饮用需要．
20. 如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求菱形的面积．
答案：（1）
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）24
解析：
思路：（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论；
（2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可．
（1）略
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．
（1）①求反比例函数和一次函数的表达式；
②根据图像直接写出的的取值范围
（2）求的面积
（3）点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．
答案：（1）①，；②或
（2） （3）
解析：
思路：（1）①先把代入求出m确定反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式求出n，确定C点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式；
②根据图象求得即可；
（2）由直线的解析式求得B点的坐标，求得，然后根据即可求得；
（3）取点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，则，此时的周长取得最小值． 待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出点的坐标．
（1）解：①∵反比例函数过点，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∵，在一次函数上，
∴，
解得，
∴一次函数；
②即
由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或；
（2）解：当时，，
∴，
．
（3）解：取点关于x轴的对称点，连接，交x于点P，连接，则，
∴的周长，即此时的周长取得最小值．
设直线的解析式为，把，代入，得
，
∴，
，
当时，，
解得，
∴．
22. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）商场售出足球的数量比篮球数量的还多10个，且获利超过1300元，问：篮球最少售出多少个？
（3）商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，问：分别购进篮球和足球多少个，能使商场获利最大？最大利润是多少？
答案：（1）足球的单价为90元，篮球的单价为120元
（2）篮球最少售出33个
（3）购进篮球45个，购进足球55个时，商场获利最大，最大利润为2450元
解析：
思路：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意列分式方程，求解即可；
（2）设篮球售出m个，则足球售出个，根据题意列出不等式，求解即可；
（3）设购进篮球n个，则购进足球个，根据题意求得，再列出商场获利w元关于n的一次函数，利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元．
根据题意，得
解得．
经检验，是原方程的解．
．
答：足球的单价为90元，篮球的单价为120元；
（2）解：设篮球售出m个，则足球售出个，
根据题意，得，
解得，
因为m，为正整数，所以m的最小值为33，
答：篮球最少售出33个；
（3）解：设购进篮球n个，则购进足球个，
根据题意，得，
解得，
设商场获利w元，
根据题意，得，
∵，
∴w随n的增大而增大，
∴当时，w有最大值，最大值为（元），
此时购进足球（个）．
答：购进篮球45个，购进足球55个时，商场获利最大，最大利润为2450元．
23. 如图1，在中，为边上一点，过点作于点，过点作，交延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，当为边中点时，连接，．
①求证：四边形是菱形；
②当为多少度时，四边形是正方形？并请说明理由．
答案：（1）证明见详解
（2）①证明见详解；②当时，四边形是正方形
解析：
思路：本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的判定是解题的关键，
（1）根据平行四边形的判定与性质即可证得答案；
（2）①根据菱形的判定即可证得四边形是菱形；②根据正方形的判定即可得到答案．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）①证明：∵为边中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，为边中点，
∴，
∴四边形是菱形．
②当时，四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵为边中点，
∴，
∴，
又∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形．
平均数
中位数
众数
方差
班
班
流程
变量
加热过程
水温下降过程
0
1
2
3
4
…
8
10
20
…
20
40
60
80
100
…
50
40
20
…
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