第08讲 函数模型及其应用（专项训练）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份第08讲 函数模型及其应用（专项训练）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共3页。
\l "_Tc19218" 题型01 二次函数模型应用2
\l "_Tc25567" 题型02 分式型函数模型应用3
\l "_Tc19218" 题型03 分段函数模型应用6
\l "_Tc25567" 题型04 指数函数模型应用9
\l "_Tc19218" 题型05 对数函数模型应用12
\l "_Tc25567" 题型06 幂函数模型应用13
\l "_Tc19218" 题型07 函数模型的选择14
\l "_Tc25567" 题型08 构造函数模型解决实际问题17
\l "_Tc21834" 重难·创新演练20
\l "_Tc15242" 真题·实战演练28
模拟·基础演练
考查重点：本专题着重考查二次函数、分式函数、分段函数、指数函数、对数函数、幂函数等主流函数模型，结合生产生活、工程技术等真实背景，考查学生提取信息、建立数学模型，并完成计算、推理与综合分析的能力。
题型01二次函数模型应用
1．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（ ）
A．3.5 B．4m C．4.5m D．4.6m
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质，代入求解即可.
【详解】篮环的纵坐标为，令，得（舍去）．
．
故选：B.
2.某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为米，宽度为米.根据城市规划要求，米，且充电桩间隔距离需满足.为使充电区有效面积最大，应选择的尺寸是（ ）
A．米，米 B．米，米
C．米，米 D．米，米
【答案】A
【分析】由题可得面积表达式。然后根据题意及二次函数单调性可得答案.
【详解】建立面积函数 ，通过消元法转化为，结合附加条件，得.注意到函数在上单调递减，则当时取最大值.
故选：A.
3． 年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且
，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台.
(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
【答案】(1)；
(2)年产量百台时利润最大，最大利润为万元.
【分析】（1）根据给定的函数表达式结合年利润的求法即可得到函数关系；
（2）分和两段函数，再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较可得最大值.
【详解】（1）每百台高级设备售价为万元，年产量（百台）时销售收入为万元，
总成本为万元，年利润万元.
当时，；
当时，.
所以年利润.
（2）由（1）当时，，
故当（百台）时，（万元），
当时，
当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元），
因为,所以年产量百台时利润最大，最大利润为万元.
题型02 分式型函数模型应用
4．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】先求出的报价，根据的报价低于的报价列式，分离参数，可得，再设，利用函数的单调性求其最小值，进而可得的取值范围.
【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为，
则A的报价为（元），
B给出的总价为元.
由
.
因为，所以函数在上单调递增，
且当时，，
故，
由，所以实数的取值范围是.
故答案为：
5．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元.
(1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式；
(2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元?
【答案】(1)，
(2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元
【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式；
（2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值.
【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得，
，
又因为，
所以；
（2）由（1）知.
因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元.
6．（25-26高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）.
(1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围；
(2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价.
【答案】(1)，
(2)，59000元
【分析】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据，求出范围；
（2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出.
【详解】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得.
因为，，所以，解得.
所以，.
（2）中心正方形面积为，造价为；
四个矩形的总面积为，
造价为；
四个三角形的总面积为，
造价为；
总造价为
，
又，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时取等号.
故当的长为时，总造价最低，为59000元.
题型03 分段函数模型应用
7.一种细胞的分裂速度v（单位：个/秒）与其年龄t（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中.而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（ ）
（参考数据：）
A．6.402B．6.463C．6.502D．6.522
【答案】B
【详解】由题意知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即，所以，整理得.又分裂速度变化是连续的，所以，整理得，所以，得，解得.
8.漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y满足函数关系，其中m，a为常数．已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去的新鲜度，采摘40小时之后失去的新鲜度．如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于，则物流时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：）（ ）
A．20小时B．25小时C．28小时D．35小时
【答案】ABC
【详解】由题意可知，所以即，.
由题意可知当时，失去的新鲜度小于，没有超过.
当时，则有即，所以，
所以，解得．
9.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量(单位：百件)关于每件衣服的利润(单位：元)的函数解析式为， 则当该服装厂所获效益最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先确定分段函数解析式，分别在每一段区间上，结合导数知识求得函数单调性，进而确定每一段区间内的最大值点，对比两个最大值即可确定最终结果.
【详解】设该服装厂所获收益为，
则；
当时，，
在上单调递增，此时；
当时，，，
令，解得：；
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
此时；
综上所述：当时，取得最大值.
故选：C.
10．某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．
(1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式．
(2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)，540元
【分析】（1）分与两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x的函数；
（2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可．
【详解】（1）由题意可知，当时， ；
当时，，
综上，.
（2）当时，
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元．
题型04 指数函数模型应用
11．（多选）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则下列关于该食品保鲜的描述正确的是（ ）
A．B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在的保鲜时间是96小时D．在的保鲜时间是24小时
【答案】CD
【详解】由，得，所以，A，B错误；当时，，C正确；当时，，D正确．
12.（2026·浙江·模拟预测）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（ ）
（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，，得，
两边同时取对数得，，解得，则，
令，得，两边同时取对数得，，
所以.
13．（多选）某元素的原子核带有放射性，会发生衰变．若样本中该元素的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示该元素原有的质量，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：）
A．经过年后，样本中的该元素会全部消失
B．样本中该元素的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用时间称作半衰期）为年
C．经过年后，样本中的该元素的质量变为原来的
D．若年后，样本中该元素的质量为，则
【答案】BCD
【分析】分别将、、代入关系式计算即可判断选项ABC，根据求出即可判断选项D.
【详解】选项A：当时，，故A错误.
选项B：当时，，故B正确.
选项C：当时，，故C正确.
选项D：由题意知，化简得
，
将代入可得，，故D正确.
14．我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足指数衰减规律：，其中为海平面处的大气压强，k为常量．已知在高度为处，大气压强为海平面处的，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的，则当前高度约为（ ）
A．150 kmB．100 kmC．175 kmD．125 km
【答案】A
【详解】当时，，则，得.
由，得．
15．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（ ）
A．17.9元B．18.9元C．19.9元D．20.9元
【答案】B
【分析】每日销售利润等于每盒利润乘以每日销量．先写出利润函数，对利润函数取对数，再利用导数判断最大值的位置，最后结合四个选项进行判断．
【详解】由题意，每盒进货成本为10元，每盒售价为元，所以每盒利润为 元．
每日销量为，且 ．
因此每日销售利润为．
因为 ，所以 ．
令，则 ．
求导得．令 ，得 ．
两边同乘，得 ．
整理得 ，解得或．
因为 ，所以只取 ．
当时， ，利润函数递增；当 时， ，利润函数递减．
所以利润函数在 时取得最大值．
在选项中，17.9元和18.9元都小于19.18元，且利润函数在此区间递增，
所以18.9元优于17.9元；19.9元和20.9元都大于19.18元，且利润函数在此区间递减，
所以19.9元优于20.9元．再比较18.9元和19.9元，代入利润函数可得18.9元对应的利润更大，故每盒礼盒应定价为18.9元．
题型05 对数函数模型应用
16．我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（ ）
A．2倍B．4倍C．10倍D．100倍
【答案】D
【详解】若，则，则，
若，则，则，
则，得，
故30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的100倍.
17．（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（ ）
A．24B．35C．47D．100
【答案】C
【分析】由题意可得，将代入，解得，再将代入，由求解即可.
【详解】因为，所以当时，，
即，解得，即，
所以，所以，
所以，解得，
所以训练到第47轮就要对模型调整.
18.根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．已知A型火箭喷流相对速度为，根据以上信息：
（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为 ；
（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为 ．
（所有结果保留整数，参考数据：）
【答案】 3129 68
【解析】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：
；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，
要使火箭的最大速度至少增加，
则，即 ，
即 ，即 ，所以，
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.
故答案为:3129；68.
题型06 幂函数模型应用
19.2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10%B．20%C．22%D．32%
【答案】B
【解析】由题意，设年平均增长率为，则，
所以，故年平均增长率为20%.
故选：B
20.遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（ ）（参考数据: ）
A．14：30B．14：00C．13：30D．13：00
【答案】A
【解析】令，，
∵，
∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30.
故选：A.
21.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式 ，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率. 当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（ ）
A．若不变，则比原来提高不超过 B．若不变，则比原来提高超过
C．为使不变，则比原来降低不超过 D．为使不变，则比原来降低超过
【答案】C
【解析】由题意，，所以，，
A：当，不变，比原来提高时，
则，所以比原来提高超过，故A错误；
B：由选项A的分析知，，所以比原来提高不超过，故B错误；
C：当，不变，比原来提高时，，
所以比原来降低不超过，故C正确；
D：由选项C的分析知，比原来降低不超过，故D错误.
故选：C
题型07 函数模型的选择
22.（多选）新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必经之路.某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长，1，2，3月份的销售量分别为1.2千台、1.4千台、1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y（单位：千台）和月份x之间的函数关系，有以下两个函数模型可供选择：①；②.如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．选择作为模拟函数D．估计5月份的销售量为4.2千台
【答案】AC
【详解】将代入得解得所以，则；将代入得解得.用两个模拟函数求出4月份的销售量，更接近2.3千台，故选择作为模拟函数，（千台）.
23.舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0.
(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；
(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数；
(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.
【答案】(1)③(2)(3)
【详解】（1）③；根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③；
（2）将表格数据代入，得，，解得，
故函数为，则第4天时的舆论场指数为.
（3）若本次舆情不是严重的，则恒成立，
原式等于，故两边同时除以，得到，
不妨设，故原式等于，整理得，
由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可，
代入得，解得，
故的最小值为.
24．某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元），乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示.
(1)根据以上表格中的数据判断：①；②；③；④，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？（不需要说明理由）
(2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式；
(3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？
【答案】(1)选①作为，选③作为；
(2)，
(3)甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元
【分析】（1）根据表格数据判断函数类型即可；
（2）直接代入前两个值求解表达式系数即可；
（3）设乙产品的研发投入为x万元，列出总利润和x的关系，利用换元法转化为二次函数即可求解．
【详解】（1）因为关于成线性关系，关于成线性关系，所以选①作为，选③作为；
（2），代入得，
代入得，解得，
验证时，，符合，时，，符合；
所以.
，代入得，
代入得，解得，
验证时，，符合，时，，符合；
所以.
（3）设乙产品的研发投入为万元（），则甲产品的研发投入为万元，
总利润，
当且仅当，即时取等号，则甲产品的研发投入为（万元），
所以甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元.
题型08 构造函数模型解决实际问题
25.（25-26高三下·四川成都·阶段检测）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型
知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（ ）
A．10000B．15000C．20000D．30000
【答案】A
【详解】依题意，得，
则有，解得，.
当训练个单位的数据量所需的时间为时，则有，解得.
故选：A
26．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（ ）天启动．（参考数据：，，）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】由题意可得，所以，所以.
由，得，
两边取自然对数得，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，即.
所以最迟应在发现疫情后第7天启动．
故选：B
27．如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）．
(1)要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；
(2)当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．
【答案】(1)；(2)当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米
【解析】（1）因为，，所以，
又，所以，即，所以，
所以，
解得或，即x的取值范围是；
（2）由（1）知
当且仅当时等号成立．
故当DG的长度为40米时，矩形DEFG的．积最小为2400平方米．
28.数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
【答案】(1)100个，30万元
(2)每月生产不小于70个人形机器人
【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果.
【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，
根据题意有，
当且仅当，即时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
（2）设月利润为万元，
则有，
由题知，整理得，解得.
故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
重难·创新演练
设题创新: 题目紧密结合人工智能、航天科技、生态环保、日常民生等前沿热点创设全新情境，打破传统出题形式，侧重考查知识迁移、逻辑思考以及运用函数模型解决复杂实际问题的综合能力。
1．（2026·湖南怀化·二模）某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】P与t的函数关系式为．
故选：C
2．（2026·吉林·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【详解】由题意可得，解得．令，
即，化简得，解得（舍去）．
故选：A
3．【新情境】（2026·山东聊城·模拟预测）某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（ ）
A．5年B．6年C．7年D．8年
【答案】B
【详解】由题意，当时，，
根据题中数据，可列方程组，则，则，
即，所以，由，则，
所以该车大约在使用6年后会进入“大幅贬值”区间.
故选：B
4．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意知在环境温度为时， 的体重为、脉搏率为210次，
故，
的脉搏率是105次，设其体重为t kg，则，
则，即，解得（kg）.
故选：A
5．（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ ）
A．3万片B．4万片C．5万片D．6万片
【答案】B
【详解】，将代入，
得，整理得：，两边取自然对数：，
解得：，所以，由，得，
即芯片投入量至少为4万片.
故选：B
6．【新载体】（2026·河南·三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为124
C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率
D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟
【答案】ABD
【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断.
【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数，
当时，，此时，符合题意，
当时，，此时，不符合题意，
因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确；
对于B，当且时，，
所以当时，取得最大值：，
当且时，，，
因为在上单调递减，所以，
所以当时，取得最大值：，
综上，的最大值为124，故B正确；
对于C，当时，，
所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误；
对于D，当且时，，
当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”，
当且时，，
，即，
所以，即，解得，所以有，，
综上，当且时，，
因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确.
故选：ABD
7．【新设问】某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，每排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的.由检验知该地下车库一氧化碳浓度（ppm）与排气时间（分钟）之间存在函数关系，其中（为常数）.已知空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，人可以安全进入车库.若刚好经过（分钟），人就可以安全进入车库了，则（ ）
A．B．
C．D．排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm
【答案】ACD
【分析】由题意可设，再由已知列关于，的方程组，求出判断A与B；进一步求出的解析式，算出，判断C与D．
【详解】由题意可设，则，此时为常数，
由题意，，则，即，
所以，故A正确，B错误；
因为刚好经过（分钟），人就可以安全进入车库了，
所以，又由，得，
，
解得，所以，故C正确；
，故排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm，故D正确.
故选：ACD.
8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过_____个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85）
【答案】
【分析】设至少经过个小时后才能驾驶，由题意有，两边同时取对数得，然后求解即可.
【详解】设至少经过个小时后才能驾驶，则有，
即，两边同时取对数得，即，
因为，所以，
所以，即至少经过个小时才能驾驶.
故答案为：.
9．【新思维】为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约__________万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，）
【答案】
【分析】把已知数据代入模型，求出对应的值即可．
【详解】根据题意，所给模型中，
则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为，
因为，所以，
所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块.
故答案为：36.
10．【新模型】（2026·江苏·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时．
【答案】4, 32
【分析】分类讨论的范围得出的增减性，即可得出病毒载量达到峰值的时间；再分类讨论的范围，结合指数函数的单调性解不等式即可求解该病毒具有传染性的总时长．
【详解】当时，此时，
代入原函数指数部分：，
所以，，已知，则，
所以当时，指数是关于的减函数，因此在上单调递减，
当时，此时，代入原函数指数部分：
，所以，，
同理得在上单调递增，
综合以上两种情况，在时单调递增，在时单调递减，
因此，病毒载量在时达到峰值．在时，，
根据题意，对于任意，有：，
代入表达式：，
整理得，，，
所以，
病毒具有传染性的条件是，即，
整理得，，
当时，不等式变为：，
结合前提，得到；
当时，不等式变为：，
结合前提，得到，
综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为，
题干要求计算从起的传染时长，即时间区间的长度，
故总时长为小时．
故答案为：4, 32
真题·实战演练
高频考点：分段函数、指数函数、对数函数、幂函数和分式函数是本板块高频考查内容，相关题型分布广、出现频次高，也是解答实际应用题、创新题型的核心知识点。
1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
2．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值.
【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，
则，，设方程为：，
所以，，方程为：，
令矩形面积为，
当时，，
当，设，则，
所以，
则，
令，则，在上递增，
令，则或，在上递减，
又，，，
所以当的长为时，该矩形面积最大.
故答案为：
天数
1
2
3
舆论场指数
12
48
156
万元)
4
9
16
25
万元)
28
33
40
49
万元)
30
42
54
66