2025年中考数学真题完全解读（河北卷）（新中考）

这是一份2025年中考数学真题完全解读（河北卷）（新中考），文件包含八年级英语期中模拟卷陕西专用全解全析docx、八年级英语期中模拟卷陕西专用考试版A4docx、八年级英语期中模拟卷陕西专用答题卡docx、八年级英语期中模拟卷陕西专用听力音频mp3等4份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
本套试卷作为河北中考“两考合一”（毕业与升学考试合并）改革后的首卷，紧扣《义务教育数学课程标准》核心理念，兼顾地区教学差异，总体难度稳中有调：基础题占比扩大（约60%），压轴题思维深度提升、计算复杂度增加，凸显选拔功能。题型结构有所改变（选择题12题/36分、填空题4题、解答题8题），解答题虽增1题，但因基础题计算量精简，学生仍有充足时间展示推理与建模能力。全卷通过分层设题（易:中:难≈5:3:2），兼顾毕业达标与升学选拔需求。
1、契合课标
本试卷在命制充分体现了对《课程标准》的尊重。整套试题延续多年以来河北试题全部原创和创新的特色，有效的避免了主观上的刷题、押题、堵题，引导师生面向基础、更关注数学能力的培养。试题覆盖数与代数、几何、统计概率等多板块内容，对常见的知识点如x轴、y轴坐标、一次函数、反比例函数、三角函数值以及相似、全等、多边形性质、圆的有关性质等都有所涉及。卷面既包含对基础知识的直接测评，也融入了思维能力、解决实际问题能力以及数学建模能力的考查。几何综合题与代数综合题分别将所属板块的知识充分融合，能够考查学生对数形结合、转化等数学思想的理解与运用，对学生计算能力提出了更高的要求。
2、兼顾学情、校情
针对河北教育不均衡现状，设置三类适应性设计：
基础保障：选择/填空前10题及解答题17–19题侧重单一技能（如合并同类项、全等三角形证明），降低薄弱校学生应试焦虑；
区分提升：压轴题（如第23–24题）结合跨模块知识（函数平移、动态几何），要求多步推理；
情境创新：融入“榫卯结构”“无人机测距”等生活与科技场景，强化阅读理解与建模能力。
3、知识覆盖面
从试卷细目表来看，该试卷知识内容覆盖面较广，紧扣必备知识，注重考查初中数学各部分的核心要点。数与代数部分涉及有理数加减、分式运算、不等式、函数等内容；图形与几何部分涉及到平行线、三角形、四边形、圆、三视图与简单组合体；统计与概率部分则结合实际问题，出现条形图、概率与扇形统计图等形式。这样的布局能够让学生对主干知识有较系统、综合的展示机会。新增“一元二次方程根与系数关系”等课标调整内容。
同时，卷面还考察了如“图形的平移、旋转与折叠”“三角形相似判定”“二次函数图像与性质”、“隐圆”等中考常考热点，强调学生对概念原理的深刻理解与运用。
4、难度适中、区分度合理
在难度分布上，本卷依然遵循由易到难、分层设题的原则：前面的选择题、填空题多数注重基础与直接应用，如有理数加减、多项式运算、勾股定理等，学生需扎实掌握基本运算与几何推理即可得分；而后续的解答题在综合性方面有明显提高，出现对平面几何、坐标几何、统计检索等综合运用的要求，考查学生对多知识点交叉的掌握程度，有一定区分度。整体而言，本卷的思维层次多元，包括对逻辑思维、空间想象、几何推理及统计分析的不同要求，既能体现出尖子生的拔尖能力，也能检测中等生的扎实程度。
具体来讲：全卷易：中：难 的大体比例约为 5:3:2。- 易：如第 1、2、3、13、14、17、18 题等，主要考查基础概念、基础运算或直接几何性质，解题方法简单明了；- 中：如第 5、7、9、10、15、19、20、22 题等，侧重对知识的理解与综合运用，需要灵活运用公式、定理或方法；- 难：如第 23、24 题（尤其第 24 题结合二次函数、几何作图、函数平移等多种知识点），多步推理与综合分析要求较高，适合区分度的考察。
易、中、难各级题目的设置较为合理，能够有效区分不同水平的学生，实现较强的选拔与诊断功能。综合来看，此卷难度适中偏稍难，注重基础又不失综合与创新，适合中考评价的要求。
5、命题背靠广阔的文化背景
从命题背景上看，试卷突出了数学应用、学科素养、跨学科知识、传统文化以及人文思想的渗透。如应用“温度变化”“榫卯结构”“三叶虫化石测量”“几何折叠”等情境，强调数学与实际生活、传统文化之间的关联，让学生在真实背景下体验运用数学方法解决问题的过程。此类题目对阅读理解与信息提取的能力也提出较高要求，达到对学生综合素养的考核。对计算量的控制整体适中：中低难度题多为较短路径、简易运算或常见几何推理；高难度题虽需一定的运算与推理，但也注重思路简洁，不会一味堆砌繁琐运算。
值得一提的是，本卷能够较好地体现分层要求及对中考改革趋势的追随：无论是强调学生对几何作图、函数思想的掌握，还是对数据分析与概率统计能力的培养，都与现阶段课程标准的加强实践与综合应用的理念相契合。同时又兼顾河北省多年中考的统一要求与学生学习习惯，保证通过适量基础、中档题来检测学生基本素质，再用综合性题设立梯度区分。在逻辑周密与试题素养方面，本卷可谓条理清晰、前后衔接自然，对于反映学生真实水平、引导学校教学也有积极作用。
总的来看，本次试卷紧扣《课程标准》核心理念，兼顾了河北各地初中教学实际。题型、难度及内容分布合理，既关注绝大多数学生的基础达成，又适度强调拔尖学生的思维深度，在难易度与思维深度上做到了层层递进、重点突出。试卷对学生的基本计算能力、数学建模思维与几何推理能力进行了较全面的检测。整卷导向明确，强调数学的实用性与思维逻辑性，对引导初中教学夯实基础、提升数学思维品质，以及培养学生的数学素养、激发学习兴趣与提升问题解决能力，均具有显著的导向价值。可以预见，本套试题对于数学教学精准把握学科主干知识、落实新课标要求、提升学生核心素养具有积极的指导意义。
考查范围：数与式、图形的性质、图形的变化、方程与不等式、函数、统计与概率
在复习本套中考数学试卷时，同学们需要兼顾知识体系全面梳理、答题思路科学规划和心理素质稳定提升。以下建议从知识板块、复习规划、答题技巧、心理调适以及命题趋势五个方面进行阐述，帮助大家在最后备考阶段高效复习，取得理想成绩。
1.有理数与代数基础
❆熟练掌握有理数的运算，尤其是带负号的加减法，如本试卷第1题对“傍晚气温”的计算即要求熟悉 等负数减法。
❆代数式运算要注意合并同类项、乘方法则、完全平方公式等常见易错点，比如选择题中涉及到 xy 与 x2y 不是同类项，不能直接合并。
建议通过专题训练，整理常见的可化简表达式，掌握 (x−y)2=x2−2xy+y2 等典型公式。
2.函数与图形
❆重点关注一次函数、反比例函数以及二次函数，对其图象的形状、增减性、与坐标轴或其他函数相交点的求解方法要熟练掌握。如第10题反比例函数的性质、第12题一次函数的平移、24题二次函数性质的综合应用。
❆在阅读图表时，要熟悉如何从“时间—距离”或“坐标系”中快速判读出斜率、截距、面积等信息。
3.平面几何和三视图
❆多关注圆、正方形、菱形、平行四边形及其对角线、中心对称等性质，如11题矩形的折叠、21题正方形性质、23题矩形的性质、平行四边形的对角线”等。
❆三视图考查在圆柱、圆锥、球、棱柱等常见立体几何体中的判断，常出现主视图、俯视图不一致的干扰项。同学们需牢记：球的主视图与俯视图均为圆。
❆推荐针对常见的立体图形，多画图、对比、记忆关键特征，减少在考场中出现“想当然”的失误。
4.解直角三角形与综合应用
❆解直角三角形涉及到三角函数、勾股定理、坡度和俯角等概念，通常与实际应用场景结合，需灵活运用 sinθ、tanθ 等知识。
❆做题时要特别注意给定的倾角或俯角所对应的几何图形，警惕画图时忽略水平距离或高差而导致计算错误。
❆建议在复习时挑选一部分工程测量、建筑高度测量、斜坡问题等题目进行专项训练。
5.概率与统计
❆既要掌握求平均数、方差、极差等基本数据分析手段，也要会解释统计图（如扇形图、折线图、茎叶图等）。
❆本试卷中出现概率计算时，常需要列表或树状图列举法，复杂的还要用到分类计数。对“有实数根的概率”之类题型，要熟悉一元二次方程根的判别式 Δ≥0。
❆建议结合题目类型熟悉不同的方法，哪一种最有效、最快捷，并注重表达过程的完整性。
1.第一阶段：系统梳理与归纳（考前约1个月）
❆建议用一周左右时间进行书本知识的概念复习与题型分块整理，制作本学期知识框架图，涵盖基础概念、公式和定理。
❆每天可以安排半小时针对薄弱环节进行专项突破，如几何辅助线添加技巧、方程不等式综合运用等。
❆通过模拟题或真题限时自测，重点检验知识点的掌握程度，并将错题按知识类别及时归纳。
2.第二阶段：强化问题与查漏补缺（考前约2~3周）
❆通过精练近几年真题或高质量模拟题，结合本试卷解析，针对反复出现的“易错点”进行二次强化。如判断图象象限位置、掌握三视图特征、熟悉角平分线与相似三角形等综合问题。
❆对于错题或难题，要做到及时反思：是理解不深，还是运算不熟？从思维和计算两方面分别提升。
❆每天留出适当时间训练运算速度与书写规范度，模拟考场环境，提高应试状态。
3.第三阶段：综合冲刺与稳定心态（考前1周及考前最后几天）
❆进行整套试题的限时模拟演练，锻炼审题速度、答题顺序安排及对时间的把控。
❆整理常用公式、小结论，将易忘记的公式（如平方差公式 a2−b2=(a−b)(a+b)，正六边形对角线长度等）汇总在小册子中，临考前快速翻阅。
1.选择题“速排+稳算”结合
❆先进行排除，注意：若题意与平时学过的定理矛盾，或明显不符合语言表述，可快速剔除。
❆对于简单的数值替换法，积极运用，如将 x=1,2 等带入验证，提高准确率。
❆必要时对剩余选项求精准计算结果，确保答案正确。
2.填空题“公式+巧思”并重
❆一般先尝试代入数值、运用对应公式进行快速运算，若不能立刻求解，可结合几何思路或构造辅助线。
❆遇到统计、概率类填空时，建议第一步先列表、分类，可避免漏数。
3.解答题“步骤规范+过程清晰”
❆尤其注意几何证明中“先画图再叙述”，先写“已知”“求证”再进行论证过程。如证明平行，可采用“内错角相等”或“同位角相等”；证明相似三角形可用“角角对应相等”。
❆代数题需写清关键推导步骤。若是整式运算或分式方程等，过程要体现关键运算细节，如“系数相乘”“同底数幂相加”等，防止因漏写中间过程失分。
1.合理预期，减少焦虑
❆在复习中若遇到瓶颈，不必过度焦躁，可适当与同学、老师交流或放松。
❆给自己设定适合的目标范围，如目标分数区间，清晰地明白自己在哪些方面还可以再突破，从而获得动力。
2.平衡作息，轻松迎战
❆科学安排作息时间，每天保障约7~8小时睡眠。
❆考前保持适度运动和娱乐以舒缓压力，保证大脑在答题时保持清醒状态。
3.自我暗示，积极鼓舞
❆考试临近时要提醒自己“题目再难也有思路”“按步骤逐一解决”，把注意力转移到题目的分析上。
❆考场上初见新题要沉住气，可将其分解为子问题逐步击破。
1.关注学科融合与情景化应用
❆近年来中考数学注重应用场景，本卷中出现的如：跨学科融合：物理测量、生态统计等场景将持续渗透；传统文化载体：沿用“榫卯”“古籍数学”等文化元素；探究开放性：或增加条件猜想类半开放题。后续续命题依然可能聚焦于科技、工程或社会热点，如“碳排放”、“5G运用”等。
需加强对文字材料题的理解能力，练习先转化成数学语言，再运用所学知识求解的思路。
2.函数与几何交汇综合
❆一次函数、反比例函数和二次函数的综合常见于考查数形结合，如一次函数与二次函数求交点、动点几何问题等。此类题型具有一定的综合性，一直是中考的重头戏，建议重点关注。
❆在后续复习中加大类似创新题型的练习，培养见图能列方程、见方程能作图的思维习惯。
3.基础运算及探究性问题并重
❆虽然难题比例不会大幅上升，但基础的准确性非常重要，要避免基础失分。
❆同时也要当心“探究型题目”或“开放题”，如令 k 取不同值预测图象变化，或需要同学们对结论进行猜想与论证。平时要多做一些拓展题培养综合视野。
综合以上建议，祝同学们在最后的复习阶段能有条不紊、稳步前进。踏实打牢基础、认真反思错题、科学安排练习与休息、保持良好心态，定能在中考中取得满意的成绩！预祝大家顺利发挥，圆梦中考！
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1. 从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解．
【详解】解：
故选：B．
2. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3. 计算：（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解．
【详解】设该化石的实际长度为，依题意，
，
解得：
故选：C．
5. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解．
【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，
故选：A．
6. 若一元二次方程两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式：
其中 ，，．
∴，．
∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
7. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解．
【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，
∴数字有个，数字有2个，则数字只有个
选项A中数字有2个，符合题意
故选：A．
8. 若，则（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解．
【详解】解：
当时，原式
故选：B．
9. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C不符合题意；
D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意；
故选：D．
10. 在反比例函数中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解．
【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，
∴当时，，
故选：B．
11. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵折叠
∴
∴
∵，即
∴，故A不正确
∵
∴，故B不正确
∵折叠，
∴
∵，故C不正确，D选项正确
故选：D．
12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，代入
∴
∴
∴直线的解析式为
∵，
A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意，
B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意，
C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，，
∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意，
D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形内部，不符合题意，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．
直接根据合并同类项法则计算即可．
【详解】解：，
故答案：．
14. 平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解．
【详解】解：依题意，
∴，
∵为整数，
∴可以是，，，，
故答案为：（答案不唯一）．
15. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．
【答案】99
【解析】
【分析】本题主要考查了已知式子值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ，
设重叠部分的长度为k，则，，
重叠后的总长度为：，即，
代入，得：，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：99．
16. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可．
【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D
由图可得，线段的长与其他的都不相等，
∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，
∴
∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为
∴
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵，
∴．
∴这条线段的长为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17. （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（3）直接写出不等式组的解集．
【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键．
（1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
不等式两边同时除以2得，
数轴表示如下所示：
（2）
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（3）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
18. （1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：
【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；
（1）第一步计算分配律时符号出错；
（2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．
【详解】解：（1）原计算第一步开始出错；
；
（2）
19. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；
（1）先证明，结合，，即可得到结论；
（2）先证明，结合即可得到结论.
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，即.
20. 某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）求调整前产品的年产量；
（2）直接写出，的值；
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．
【答案】（1）万件
（2），
（3）甲种方案总成本较低
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键；
（1）先求得总产量，然后求得的年产量，最后求得产品的年产量；
（2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解；
（3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解．
【小问1详解】
万件，
产品的年产量为：万件，
∴调整前产品的年产量为：万件
【小问2详解】
∵方案甲的平均数与调整前的相同，
∴
解得：，
∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为
调整后为，
∴
【小问3详解】
解：方案甲的总成本为：（万元）
方案乙的总成本为：（万元）
∴甲种方案总成本较低
21. 如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当四边形为菱形时，求的长；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可；
（2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可；
（3）分两种情况，根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
∵正方形的边长为5．
∴
∵当时
∴
∵
∴
∴四边形是菱形
∵
∴四边形是正方形
∴
∴；
【小问2详解】
∵四边形为菱形
∴
∵扇形所在圆的圆心在对角线上，
∴
∴是等边三角形
如图所示，连接交于点G
∴
∴
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∴；
【小问3详解】
如图所示，当是劣弧时，
∵，半径
∴；
如图所示，当是优弧时，
∵，半径
∴
∴．
综上所述，的长为或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
22. 一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）根据，代入数据进行计算即可求解；
（2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：，
答：该铜棒的伸长量．
【小问2详解】
解：，
解得：，
设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得：，
答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加．
【小问3详解】
解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得： ，
答：该铁棒温度的增加量为．
23. 综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
（1）图中，矩形的周长为______；
（2）在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求．
（4）如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
当时，求的值；
当最大时，直接写出的长．
【答案】（1）； （2）见解析；
（3）；
（4）；．
【解析】
【分析】根据矩形的周长公式计算即可；
以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求；
根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求；
过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切；
连接交于点，把矩形分成了周长相等的两部分，点为和的中点，利用勾股定理可以求出，，过点作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，
，
，，
，，
矩形的周长为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如下图所示，
以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形的对角线交于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
直线把矩形分成周长相等的两部分；
【小问3详解】
证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
把矩形分成了周长相等的两部分，
直线符合要求；
【小问4详解】
解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，
四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分，
则点是矩形的对角线与的交点，
点是的中点，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
；
解：如下图所示，连接交于点，
把矩形分成了周长相等的两部分，
点为和的中点，
，
点在以为直径的上，
当与相切时，最大，
，，
，
，
，
过点作，
，
四边形是矩形，
，
则，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、中心对称图形的性质、圆的基本性质、切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的综合性较强，难度较大，需要综合运用矩形、圆、切线等图形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，．
（1）求，的值及点的坐标．
（2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由．
（3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．
①若点与点重合，点恰好落在上，求的值；
②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值．
【答案】（1），
（2）不能，理由见解析
（3）①；②
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论；
（3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，顶点为
∴
解得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则
∴当时，
解得：或
∴或
∵抛物线经过点，对称轴为直线
∴经过点和
∴不能经过点,
【小问3详解】
①∵，
当重合时，则
∵是中点，
∴,
∵点恰好落在上，经过点
∴
解得：；
②∵直线交于点，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴
联立
消去得，
∴，则
∵点的横坐标是点横坐标的一半．
∴即，
将代入，
∴①
∵点为直线与的唯一公共点，
∴②
联立①②得：或，
当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意，
∴．题号
难度
知识点
一、单选题
1
较易
有理数加法在生活中的应用
2
较易
平行线的性质在生活中的应用
3
较易
二次根式的混合运算
4
较易
相似图形
5
较易
判断简单组合体的三视图
6
适中
一元二次方程的根与系数的关系,判断点所在的象限
7
较易
已知概率求数量
8
较易
分式化简求值
9
较易
根据平行线判定与性质证明,选择或补充条件使两个三角形相似
10
较易
判断反比例函数的增减性,比较反比例函数值或自变量的大小
11
适中
三角形的外角的定义及性质,矩形与折叠问题,三角形内角和定理的应用
12
适中
求一次函数解析式,由平移方式确定点的坐标,一次函数图象平移问题
二、填空题
13
容易
合并同类项
14
较易
求一元一次不等式组的整数解,确定第三边的取值范围,利用平行四边形的性质求解
15
较易
已知式子的值，求代数式的值,其他问题(一元一次方程的应用)
16
适中
利用弧、弦、圆心角的关系求解,等边对等角,三线合一,解直角三角形的相关计算
三、解答题
17
适中
求一元一次不等式的解集,求不等式组的解集,在数轴上表示不等式的解集
18
适中
有理数四则混合运算,实数的混合运算
19
适中
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）,等腰三角形的性质和判定
20
适中
条形统计图和扇形统计图信息关联,已知 平均数求未知数据的值,统计表,求中位数
21
适中
根据正方形的性质与判定求角度,用勾股定理解三角形,利用菱形的性质求线段长,求弧长
22
适中
用科学记数法表示绝对值小于1的数,其他问题(一元一次方程的应用)
23
困难
用勾股定理解三角形,切线的性质定理,作线段(尺规作图),根据矩形的性质与判定求线段长
24
较难
待定系数法求二次函数解析式,其他问题(二次函数综合),一元二次方程的根与系数的关系,已知二次函数的函数值求自变量的值
计算：．
解：
第一步
第二步
．第三步
产品
数据 类别
调整前单价成本（元/件）
调整后单价成本（元/件）
方案甲
方案乙
如图3，嘉嘉的思路如下：
①连接，交于点；
②过点作，分别交，于点，
……
如图4，淇淇的方法如下：
①在边上截取，连接；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③在边上截取，作直线．