2026年中考数学试卷完全解读（湖南省卷）

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试题分析
2026年湖南省中考数学试卷总分120分，考试时间120分钟，共24道题。试卷结构为：选择题10道（30分）、填空题6道（18分）、解答题8道（72分），分值依次为6、6、8、8、10、10、12、12。全卷以基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，对初中数学核心知识与关键能力进行了较全面覆盖。选择题第1-10题侧重基础概念与简单运算，填空题第11-16题强化代数变形与几何直观，解答题第17-24题逐步提升综合推理与建模要求。整卷突出湖南地方文化、科技实践与跨学科情境，第7题以湖南“湘剧”等非遗知识为背景考查概率，第19题以我国三代治沙人科学治沙为背景考查一元一次方程建模，第21题以校园科技节调查为背景考查统计综合，第23题以乡村河道开发生态放牧为背景考查抛物线与一次函数综合，第24题以平行四边形拼接等腰三角形为探究对象考查几何综合。模块分布上，图形的性质与函数占比突出，统计与概率、综合与实践稳定呈现，整体难度梯度合理，符合湖南中考命题导向。
试题亮点
湖湘非遗与家国情怀交相辉映，真实情境彰显育人底色：第7题以“湘剧、花鼓戏、阳戏、祁剧”四种湖南非遗剧种为背景考查简单概率；第19题以三代治沙人科学治沙、绿色发展成就为背景考查一元一次方程应用；第21题以校园科技节活动调查为背景考查统计图分析。三题分别对应地方文化、生态文明、校园实践，体现湖南卷在真实情境中落实立德树人、关注社会发展的命题追求。
几何推理与图形变换深度融合，中高档题成为能力区分主战场：第8题利用平行四边形与三角形内角和进行角度关系推理；第10题以门吸结构为背景，将矩形与解直角三角形结合；第14题以两个正六边形公共边为载体考查对称性与角度计算；第20题将尺规作图（角平分线）、等腰三角形性质与圆的切线判定综合；第24题通过平行四边形拼接等腰三角形，探究角度、线段关系与二次函数最值。几何题覆盖选择、填空、解答各层级，推理链条逐步加长，对空间观念、逻辑推理和直观想象提出较高要求。
函数建模与跨学科实践并重，压轴题突出思维过程与探究能力：第9题以直角三角形斜边过原点为背景，结合等腰三角形与全等求坐标；第12题以反比例函数图象上三点及外接圆、中点问题综合考查函数与几何；第16题分两问探究反比例函数k值与相似三角形；第22题以阅读室桌椅摆放为背景，将正方形、等腰直角三角形、勾股定理与不等式建模结合；第23题以抛物线型河岸生态放牧为背景，考查二次函数、一次函数与实际造价问题；第24题则在平行四边形与新构等腰三角形中探究线段关系与最值。函数与代数推理强调建模、探究与迁移，淡化机械计算。
命题趋势
湖湘文化、家国成就与校园生活将持续入题，应用意识考查常态化：第7题湖南非遗剧种、第19题治沙成就、第21题校园科技节、第22题阅读室改造、第23题乡村振兴生态放牧，均体现湖南卷对地方文化、国家发展、校园实践的高度关注。未来命题会继续选取具有湖南辨识度或时代背景的素材，引导学生在真实情境中建模、计算与解释。
几何综合题单题承载量持续增大，尺规作图、圆、折叠与变换仍是区分核心：第10题门吸结构、第14题正六边形对称、第20题角平分线作图与切线、第24题平行四边形拼接探究，几何模块占比近三成。中高档几何题跨知识点融合趋势明显，预计未来将继续强化“作图—识图—推理—计算—最值”的完整能力链。
函数与实际问题的结合将更加紧密，建模与探究成为压轴主旋律：第12题反比例函数与圆、第22题桌椅摆放不等式建模、第23题抛物线型河岸开发、第24题平行四边形中的二次函数最值，均要求学生将现实情境抽象为函数或方程模型。未来命题将继续淡化套路化计算，强化建模、推理、探究等高阶思维过程。
基础题重视概念本质与跨学科理解，反机械刷题导向鲜明：第2题电池主视图、第3题化学化合价计算、第4题数轴估算、第5题幂运算、第11题二次根式化简等题目看似简单，但需要真正理解概念本质或跨学科知识。预计未来湖南卷将继续通过概念辨析、图象识读和简单综合来检验基础，拒绝仅靠题型记忆得分。
考点细目表
考点模块占比分析
数与式模块（约34%，41分）：重点考查列代数式、有理数混合运算、实数与数轴、幂的运算、分式方程的解、二次根式化简、因式分解、实数混合运算、不等式组、一元一次方程应用。对应第1、3、4、5、6、11、13、17、18、19题。
函数模块（约18%，21分）：重点考查平面直角坐标系中的等腰三角形与全等、反比例函数性质及k的几何意义、二次函数与一次函数综合应用。对应第9、12、16、23题。
图形的性质模块（约29%，35分）：重点考查简单几何体视图、平行四边形性质、矩形与解直角三角形、正六边形性质、圆与扇形、尺规作图与切线、平行四边形与相似三角形综合。对应第2、8、10、14、15、20、24题。
图形的变化与综合实践模块（约8%，10分）：重点考查综合实践活动中的几何建模、桌椅摆放方案设计与不等式应用。对应第22题。
统计与概率模块（约11%，13分）：重点考查简单概率、条形统计图与扇形统计图、样本估计总体、按比例分配。对应第7、21题。
核心复习策略
1. 回归教材，夯实四基
（1）系统梳理数与式、方程不等式核心概念，确保列代数式、幂运算、因式分解、二次根式、分式方程、不等式组、一元一次方程等基础题不丢分；重视教材例题变式，理解概念本质而非死记题型。
（2）建立“数—式—方程—函数”一体化复习框架，对反比例函数、二次函数图象性质及综合应用进行针对性训练，提升数形结合与建模能力。
2. 强化几何推理，提升直观想象
（1）以平行四边形、矩形、圆、正多边形为主线，规范几何证明书写；重点突破尺规作图、切线判定、圆中角度与弧长计算、相似三角形综合题。
（2）加强解直角三角形、图形变换、拼接探究等操作性几何问题的训练，学会通过添加辅助线、构造基本图形来建立已知与未知的联系。
3. 关注情境与探究，提升应用意识
（1）多关注湖湘文化、国家成就、校园生活、乡村振兴等真实情境，练习从文字、图表中提取关键信息并建立数学模型。
（2）重视综合实践、阅读理解型、探究型问题，培养“阅读—理解—建模—求解—解释”的解题习惯，提升代数推理、几何探究与创新思维能力。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×统计图表信息读取不细：第21题条形图与扇形图结合，容易忽略“总人数=某项目人数÷对应百分比”这一桥梁，导致后续圆心角、补全图形、样本估计出错。
×跨学科或实际情境题建模不当：第3题化学化合价计算、第19题治沙面积、第22题桌椅摆放、第23题河岸开发，需仔细梳理数量关系与单位，避免漏条件或列错等量关系。
×几何探究题只记结论不重过程：第24题平行四边形拼接等腰三角形涉及角度推导、线段关系证明与二次函数最值，必须紧扣已知条件逐步推理，不能凭感觉套用相似或全等结论。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
一、单选题
1．某品牌三角板的售价是每副3元，则买a副这样的三角板需要（ ）
A．3a元B．（3+a）元C．a3元D．a3元
命题透视
►核心考点：核心考点：列代数式。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：以购买三角板为背景，根据单价与数量表示总费用。
（2）问题设计：问题设计：已知单价为每副m元，购买n副，要求用代数式表示总费用。
（3）考查目标：考查目标：考查从实际问题中抽象代数式的能力。
答案与解析
【答案】A
【详解】解：总费用为3×a=3a元．
知识总结
①核心概念：总费用=单价×数量。②解题要点：直接列出m×n。③关联拓展：列代数式是方程与函数学习的基础。
2．如图，该电池的主视图是（ ）
A．B．C．D．
命题透视
►核心考点：核心考点：简单几何体的主视图。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：以电池为背景，判断其主视图。
（2）问题设计：问题设计：给出电池实物图及四个选项，要求选择正确主视图。
（3）考查目标：考查目标：考查空间观念与三视图识别能力。
答案与解析
【答案】D
【详解】
解：该电池的主视图是．
知识总结
①核心概念：主视图是从物体正面观察得到的平面图形。②解题要点：圆柱形电池的主视图是矩形。③关联拓展：三视图是工程制图与空间想象的基础。
3．水的化学式是H2O，其中氢元素的化合价是+1，氧元素的化合价是−2．计算+1×2+−2的结果是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
命题透视
►核心考点：核心考点：有理数的混合运算。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：以水的化学式中氢、氧元素化合价计算为背景，体现跨学科融合。
（2）问题设计：问题设计：给出氢、氧化合价，计算表达式结果。
（3）考查目标：考查目标：考查有理数运算能力。
答案与解析
【答案】B
【详解】解：+1×2+−2=2−2=0．
知识总结
①核心概念：有理数混合运算遵循先乘方、再乘除、后加减的顺序。②解题要点：将化合价代入表达式，按运算顺序计算。③关联拓展：跨学科情境题需准确提取数学信息。
4．已知点P在数轴上的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ）
A．43B．2C．32D．5
命题透视
►核心考点：核心考点：实数与数轴。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯数学情境，根据点在数轴上的位置判断该点可能表示的数。
（2）问题设计：问题设计：给出数轴上点的大致位置，从四个无理数或有理数中选择最可能的值。
（3）考查目标：考查目标：考查数形结合与无理数估算能力。
答案与解析
【答案】D
【分析】设点P表示的数为a，由数轴可知，20，
∴anbn=a2b2，对应指数相等，可得n=2．
知识总结
①核心概念：积的乘方(ab)^n=a^n b^n；同底数幂相等则指数相等。②解题要点：将已知等式两边化为同底数幂形式，对比指数。③关联拓展：幂运算常与整式乘除、因式分解结合。
6．若x=1是分式方程2x+ax=3的解，则a的值是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
命题透视
►核心考点：核心考点：分式方程的解。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯代数情境，已知分式方程的解，求参数值。
（2）问题设计：问题设计：将方程的解代入原分式方程，得到关于参数的一元一次方程并求解。
（3）考查目标：考查目标：考查分式方程解法与代入求值能力。
答案与解析
【答案】C
【分析】将方程的解代入原分式方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到结果．
【详解】∵x=1是分式方程2x+ax=3的解，
∴将x=1代入原方程，可得2×1+a1=3，
整理得2+a=3，
解得a=1．
知识总结
①核心概念：分式方程的解使方程左右两边相等。②解题要点：代入解后化简，注意检验是否为增根。③关联拓展：分式方程常与参数讨论、增根问题结合。
7．在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识，将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（ ）
A．12B．13C．14D．34
命题透视
►核心考点：核心考点：简单概率。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：以湖南四种非遗剧种卡片为背景，考查随机抽取的概率。
（2）问题设计：问题设计：四张卡片中随机抽一张，求抽到“湘剧”的概率。
（3）考查目标：考查目标：考查概率基本概念与文化情境下的应用。
答案与解析
【答案】C
【详解】解：∵ 共有4张完全相同的卡片，
∴所有等可能的抽取结果总数为4，
∵抽中“湘剧”卡片的结果数为1，
∴ 恰好抽中“湘剧”卡片的概率为 P=14．
知识总结
①核心概念：等可能事件概率=所求结果数÷总结果数。②解题要点：总结果数为4，抽到湘剧的结果数为1。③关联拓展：概率问题常结合传统文化、体育比赛等情境。
8．如图，在四边形ABCD中，连接BD．若∠A=∠BDC=90°，∠C=30°，AB=AD，则下列说法正确的是（ ）
A．BC=2ADB．∠ADC=135°C．AD∥BCD．BD平分∠ABC
命题透视
►核心考点：核心考点：平行四边形性质与三角形内角和。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯几何情境，在四边形中连接对角线，判断四个结论的正确性。
（2）问题设计：问题设计：利用平行四边形对角相等、邻角互补及三角形内角和进行推理判断。
（3）考查目标：考查目标：考查平行四边形性质与角度推理能力。
答案与解析
【答案】B
【分析】因为∠A=∠BDC=90°，∠C=30°，AB=AD，可得BC=2BD，∠CBD=90°−30°=60°，∠ABD=∠ADB=45°，逐项判断即可．
【详解】解：∵∠A=∠BDC=90°，∠C=30°，AB=AD，
∴BC=2BD，∠CBD=90°−30°=60°，∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠ADC=90°+45°=135°，故B选项正确；
∵∠CBD≠∠ABD，∴BD不平分∠ABC，故D选项错误；
∵∠CBD≠∠ADB，∴AD与BC不平行，故C选项错误；
∵BC=2BD≠2AD，故A选项错误．
知识总结
①核心概念：平行四边形对角相等、邻角互补；三角形内角和为180°。②解题要点：根据已知角度推导其他角，再逐项判断。③关联拓展：平行四边形常与全等、相似、特殊四边形综合。
9．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC的斜边AB经过原点O，连接OC．已知OA=OC，若点A的坐标为1,0，则点B的坐标为（ ）
A．−1,0B．0,−1C．0,1D．−2,0
命题透视
►核心考点：核心考点：平面直角坐标系中的等腰三角形与全等。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯数学情境，直角三角形斜边经过原点，已知一角和一点坐标，求另一点坐标。
（2）问题设计：问题设计：利用等腰三角形性质证明三角形全等，从而得到线段长度关系，确定点坐标。
（3）考查目标：考查目标：考查坐标几何与全等三角形综合推理能力。
答案与解析
【答案】A
【分析】由等腰三角形的性质得到∠OCA=∠OAC，可证明∠OCB=∠OBC，得到OB=OC，则可证明OB=OA，再根据点A的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
由题意得∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，∠OAC+∠OBC=90°，
∴∠OCB=∠OBC，
∴OB=OC，
∴OB=OA，
∵若点A的坐标为1,0，
∴OA=1，
∴OB=1，
∴点B的坐标为−1,0．
知识总结
①核心概念：等腰三角形两底角相等；全等三角形对应边相等。②解题要点：通过角度关系证明全等，再利用坐标对称性求未知点坐标。③关联拓展：坐标系中的几何问题常结合对称、旋转、相似。
10．门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB 垂直，门CD可绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB 于点E．已知AC=a，EF=b，∠ACF=α，且a>b，则门吸EF离墙AC的距离AE为（ ）
A．a⋅tanαB．a−bsinαC．a−bcsαD．a−btanα
命题透视
►核心考点：核心考点：矩形性质与解直角三角形。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：以门与门吸的平面示意图为背景，将实际问题抽象为几何问题。
（2）问题设计：问题设计：通过作垂线构造矩形与直角三角形，利用已知角度和边长求门吸离墙的距离。
（3）考查目标：考查目标：考查几何建模与解直角三角形能力。
答案与解析
【答案】D
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明四边形AEFG是矩形，得到AE=FG,AG=EF=b,则CG=a−b,根据tanα=GFCG得到FG=CGtanα=a−btanα，即可求出AE．
【详解】解：过点F作FG⊥AC于点G，
∵AC⊥AB,EF⊥AB,FG⊥AC，
∴四边形AEFG是矩形，
∴AE=FG,AG=EF=b,
∵AC=a，
∴CG=AC−AG=a−b,
在Rt△CGF中，∠GCF=∠ACF=a，
∴tanα=GFCG，
∴FG=CGtanα=a−btanα，
∴AE=FG=a−btanα．
知识总结
①核心概念：矩形对边相等、四角为直角；解直角三角形可利用三角函数。②解题要点：过关键点作垂线，将斜向距离转化为水平和竖直距离。③关联拓展：解直角三角形常用于测量、建筑、生活器物结构问题。
二、填空题
11．化简：3a+2a=________
命题透视
►核心考点：核心考点：二次根式化简。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯数学情境，化简二次根式。
（2）问题设计：问题设计：将被开方数分解因数，提取完全平方数进行化简。
（3）考查目标：考查目标：考查二次根式化简能力。
答案与解析
【答案】5a
【详解】解：3a+2a=5a．
知识总结
①核心概念：√(a²b)=a√b（a≥0）。②解题要点：将被开方数写成完全平方数与另一数乘积的形式。③关联拓展：二次根式化简常与分母有理化、二次根式运算结合。
12．因式分解：t2−25=________
命题透视
►核心考点：核心考点：反比例函数性质与三角形外接圆。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯函数几何情境，反比例函数图象上的点与三角形外接圆结合。
（2）问题设计：问题设计：利用同弧所对圆周角相等，将圆中角转化为三角形中角求解。
（3）考查目标：考查目标：考查反比例函数与圆的综合推理能力。
答案与解析
【答案】t+5t−5
【分析】利用平方差公式：a2−b2=a+ba−b进行因式分解．
【详解】t2−25=t+5t−5．
知识总结
①核心概念：同弧所对圆周角相等；反比例函数y=k/x中k=xy。②解题要点：利用圆的性质将角度关系转化，再代入坐标求k。③关联拓展：反比例函数常与圆、相似、面积综合考查。
13．已知x2−4x=0，则代数式2x2−8x+2026的值是________．
命题透视
►核心考点：核心考点：因式分解。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯代数情境，对多项式进行因式分解。
（2）问题设计：问题设计：直接利用平方差公式进行因式分解。
（3）考查目标：考查目标：考查因式分解基本方法。
答案与解析
【答案】2026
【分析】将代数式前两项提取2进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵x2−4x=0，
∴2x2−8x+2026=2x2−4x+2026=2×0+2026=2026．
知识总结
①核心概念：平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)。②解题要点：识别平方差结构后直接套用公式。③关联拓展：因式分解是解方程、化简分式的重要工具。
14．如图，BD是两个正六边形的公共边，A和C是离B最远的顶点，则∠ABC=________°．
命题透视
►核心考点：核心考点：正六边形内角与轴对称性。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯几何情境，两个正六边形共用一条边，求某角度数。
（2）问题设计：问题设计：利用正六边形内角和轴对称性确定角度关系。
（3）考查目标：考查目标：考查正多边形性质与对称性推理能力。
答案与解析
【答案】120
【详解】解：∵图是两个正六边形，
∴每个内角为6−2×180°6=120°，
由正六边形的轴对称性可知，∠ABD=12∠EBD=60°，
同理可得∠CBD=60°，
∴∠ABC=60°+60°=120°．
知识总结
①核心概念：正六边形每个内角为120°；正六边形具有多条对称轴。②解题要点：根据公共边对称性，确定相关角的度数，再求目标角。③关联拓展：正多边形内角、外角、对称性是常考知识点。
15．如图，⊙O的半径为6，若它的周长等于弧AB的长的6倍，则阴影部分的面积为________．
命题透视
►核心考点：核心考点：弧长与扇形面积。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯几何情境，已知圆的半径及其周长与某弧长的倍数关系，求阴影部分面积。
（2）问题设计：问题设计：先求圆周长，再根据倍数关系求弧长，进而确定圆心角，最后用扇形面积公式求解。
（3）考查目标：考查目标：考查弧长、扇形面积公式及计算能力。
答案与解析
【答案】6π
【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧AB的长，最后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为6，
∴⊙O的周长为2π×6=12π，
∵⊙O的周长等于弧AB的长的6倍，
∴弧AB的长为2π，
∴阴影部分的面积=12×2π×6=6π．
知识总结
①核心概念：圆周长C=2πr；弧长l=nπr/180；扇形面积S=nπr²/360。②解题要点：由周长与弧长关系求圆心角n，再代入扇形面积公式。③关联拓展：扇形面积常与三角形面积组合求阴影面积。
16．如图，A，B，C是反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上三个不同的点，AD⊥x轴于点D．
（1）若C在△OAD的外接圆上，且A点的坐标是4,2，则tan∠OCD=________；
（2）设E是线段OA的中点，且BE∥y轴．若BE=mAD，则m=________．
命题透视
►核心考点：核心考点：反比例函数k的几何意义与相似三角形。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：反比例函数图象上三点，结合外接圆、中点和相似三角形进行探究。
（2）问题设计：问题设计：分两小问，第（1）问利用圆中角与三角函数求k；第（2）问利用中点、平行关系和相似比求参数。
（3）考查目标：考查目标：考查反比例函数、圆、相似三角形综合推理能力。
答案与解析
【答案】 2 32
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，得∠OCD=∠OAD，在Rt△OAD中求tan∠OAD即可；
（2）连接BE并延长，交x轴于点F，先根据平行关系得出BE∥AD，根据A,B,E三点坐标关系得出BF=2AD，再根据相似三角形的相似比得出EF=12AD，即可求出BE=BF−EF=32AD．
【详解】解：（1）∵AD⊥x轴，
∴∠ODA=90°，OD=4,AD=2，
∵C在△OAD的外接圆上，∠OCD,∠OAD所对圆弧均为OD⏜，
∴tan∠OCD=tan∠OAD=ODAD=2．
（2）如图，连接BE并延长，交x轴于点F，
设Ax1,y1,Bx2,y2，由E是线段OA的中点得Ex12,x22，
∵AD⊥x轴，BE∥y轴，
∴AD∥BE，
∴B,E两点横坐标相同，
∴x12=x2，即x1=2x2
∵A,B都在反比例函数上，
∴x1y1=x2y2=k，
∴y1=12y2，即BF=2AD，
∵AD∥BE，
∴△OEF∽△OAD，
∴EFAD=OEOA=12，
∵BF=BE+EF=BE+12AD=2AD，
∴BE=32AD，
∴m=32．
知识总结
①核心概念：反比例函数图象上点坐标满足xy=k；相似三角形对应边成比例。②解题要点：设点坐标，利用中点和平行关系建立比例式，结合反比例函数性质求解。③关联拓展：k的几何意义常与相似、中点、面积综合。
三、解答题
17．计算：2sin30°+−3+22．
命题透视
►核心考点：核心考点：实数的混合运算。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯数学计算题，涉及零指数幂、负指数幂、算术平方根、绝对值等。
（2）问题设计：问题设计：按照实数混合运算顺序逐步计算。
（3）考查目标：考查目标：考查基本运算能力与运算准确性。
答案与解析
【答案】8
【分析】分别计算出算式中每一项的结果，再进行加法运算即可得到最终答案．
【详解】解：2sin30°+−3+22
=2×12+3+4
=1+3+4
=8．
知识总结
①核心概念：实数混合运算按优先级进行；特殊值如a⁰=1（a≠0）、a⁻ⁿ=1/aⁿ。②解题要点：分别化简各项，再进行加减。③关联拓展：常与特殊角三角函数值、二次根式综合。
18．解不等式组：x−2>1①2x+1>4②
命题透视
►核心考点：核心考点：一元一次不等式组。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：纯数学计算题，解一元一次不等式组。
（2）问题设计：问题设计：分别解两个不等式，再取公共部分。
（3）考查目标：考查目标：考查不等式求解与解集表示能力。
答案与解析
【答案】x>3
【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集．
【详解】解：解x−2>1
移项得x>1+2
解得x>3
解2x+1>4
两边同时除以2得x+1>2
移项得x>2−1
解得x>1
根据“同大取大”，取两个解集的公共部分得x>3
因此原不等式组的解集为x>3．
知识总结
①核心概念：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。②解题要点：分别解每个不等式，借助数轴确定公共部分。③关联拓展：常与方程组、一次函数图象、实际应用综合。
19．我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积29万亩，比第一代治沙人治沙面积的3倍还多5万亩，求第一代治沙人的治沙面积．
命题透视
►核心考点：核心考点：一元一次方程的实际应用。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：以我国三代治沙人科学治沙为背景，考查一元一次方程建模。
（2）问题设计：问题设计：设第一代治沙面积为未知数，根据“总面积是第一代的3倍还多5万亩”列方程求解。
（3）考查目标：考查目标：考查方程建模与应用意识。
答案与解析
【答案】第一代治沙人的治沙面积为8万亩
【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的3倍还多5万亩”，列方程求解即可．
【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，
根据题意得
3x+5=29，
解得x=8，
答：第一代治沙人的治沙面积为8万亩．
知识总结
①核心概念：列方程解应用题关键是找等量关系。②解题要点：设第一代治沙面积为x万亩，根据题意列方程3x+5=总面积。③关联拓展：工程、行程、利润问题常通过一元一次方程解决。
20．如图，在等腰△OAB中，OA=OB．在OA上取一点E，以O为圆心，OE的长为半径画弧，交OB于点F；分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点P；作射线OP交AB于点C；以O为圆心，OC的长为半径作⊙O．
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)已知OA=10，AB=12，求⊙O的半径．
命题透视
►核心考点：核心考点：尺规作图、角平分线、切线判定与勾股定理。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：在等腰三角形中通过尺规作图作角平分线，再以某半径作圆，证明切线并求半径。
（2）问题设计：问题设计：第（1）问利用等腰三角形三线合一证明垂直，从而证切线；第（2）问利用勾股定理求半径。
（3）考查目标：考查目标：考查尺规作图、圆的性质与几何推理能力。
答案与解析
【答案】(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线OP是∠AOB的角平分线，
∵OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半径，且点C在AB上，
∴AB与⊙O相切；
(2)⊙O的半径为8
【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线OP平分∠AOB；又OA=OB，△OAB为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得OC⊥AB．因OC是⊙O的半径，且点C在直线AB上，即可证AB与⊙O相切；
（2）由OA=OB、OC⊥AB，根据三线合一可知OC是底边AB的中线，则可得AC=6．在Rt△OAC中，运用勾股定理即可求出⊙O的半径．
【详解】（1）略
（2）解：∵△OAB是等腰三角形，且OC⊥AB，
∴OC是底边AB的中线，
∴AC=12AB=12×12=6，
在Rt△OAC中，OC=OA2−AC2=102−62=8，
∴⊙O的半径为8．
知识总结
①核心概念：角平分线作图；等腰三角形三线合一；切线判定需证半径与直线垂直；勾股定理a²+b²=c²。②解题要点：由尺规作图得角平分线，结合等腰三角形性质证垂直，再用勾股定理求半径。③关联拓展：切线证明常与等腰三角形、直角三角形、勾股定理结合。
21．科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下：
请根据上述信息，回答下列问题：
(1)本次问卷调查中，参与调查的学生有____人；
(2)在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为____；
(3)请补全条形统计图；
(4)若该校有1200名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数；
(5)该学校准备给四个科技活动项目设置80个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额．
命题透视
►核心考点：核心考点：条形统计图、扇形统计图与样本估计总体。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：以校园科技节活动调查为背景，综合考查统计图表分析。
（2）问题设计：问题设计：第（1）问求总人数；第（2）问求圆心角度数；第（3）问补全条形图；第（4）问用样本估计总体；第（5）问按比例分配奖励名额。
（3）考查目标：考查目标：考查统计图信息提取、数据分析与应用意识。
答案与解析
【答案】(1)100
(2)90°
(3)
(4)该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生有180人
(5)小发明分配8个名额，小制作分配40个名额，小实验分配20个名额，小论文分配12个名额
【分析】（1）联合条形统计图和扇形统计图进行求解即可；
（2）由项目C占总人数的百分比即可求出其圆心角；
（3）先求出项目A的人数，再进行补全即可；
（4）根据样本估计总体，即可得出科技活动宣传员的学生人数；
（5）根据样本中每个项目的所占百分比进行分配奖励名额即可．
【详解】（1）解：由条形统计图可知，选择B项目的学生有50人；由扇形统计图可知，B项目人数占总人数的50%，
∴总人数为50÷50%=100（人）；
（2）解：由条形统计图可知，选择C项目的学生有25人，
∴其圆心角度数为360°×25100=90°；
（3）解：由题意得，A项目的人数为100−50−25−15=10（人）；
（4）解：由题意得，选择小论文的人数约为：1200×15100=180（人）；
（5）解：由题意得，按各项目参与人数占总人数的比例，分配80个奖励名额，
∴A项目的奖励名额为：80×10100=8（个）；
B项目的奖励名额为：80×50100=40（个）；
C项目的奖励名额为：80×25100=20（个）；
D项目的奖励名额为：80×15100=12（个），
答：小发明分配8个名额，小制作分配40个名额，小实验分配20个名额，小论文分配12个名额．
知识总结
①核心概念：扇形圆心角=360°×该部分百分比；样本估计总体用样本比例推断总体。②解题要点：先由已知项目人数和百分比求总人数，再依次求解各问。③关联拓展：统计综合题常与概率、决策分析结合。
22．某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整．
【数据收集】
图1是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为1.2米的正方形ABCD，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图2，该阅读室摆放了5行8列共40套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为0.6米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙．
(1)如图1，连接FH，则FH=________米，取2≈1.414，EH≈________米（结果保留一位小数）；
(2)求阅读室的长与宽；
【问题解决】
(3)调整桌椅摆放方向如图3所示（EH平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图4，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为0.6米，靠墙过道的宽度不低于0.5米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下60套桌椅，并说明理由．
命题透视
►核心考点：核心考点：正方形、等腰直角三角形、勾股定理与不等式建模。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：以阅读室桌椅摆放调整为背景，设计容纳更多桌椅的方案。
（2）问题设计：问题设计：第（1）问求线段长；第（2）问求阅读室长宽；第（3）问通过不等式建模判断能否摆下60套桌椅。
（3）考查目标：考查目标：考查综合实践中的数学建模与不等式应用能力。
答案与解析
【答案】(1)2.4，1.7
(2)长为23.4米，宽为14.4米
(3)解：可以摆下
理由：设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅，
根据题意，得1.7x+0.6x−1≤23.4−0.5×2，
解得x≤10，
∴最大整数x为10，
根据题意，得1.7y+0.6y−1≤14.4−0.5×2，
解得y≤6223，
∴最大整数y为6，
∵10×6=60，
∴可以摆下．
【分析】（1）根据三角形中位线定理求出FH，根据勾股定理求EH即可；
（2）根据长为8个FH的长加上7个过道；宽为5个FH的长加上4个过道求解即可；
（3）设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅，根据x个EH的长加上x−1个过道不超过总长度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数x的最大值，根据y个EH的长加上y−1个过道不超过总宽度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数一的最大值，则可求出xy的最大值，然后与60比较，即可得出结论．
【详解】（1）解∶∵座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形，
∴EA=FA=ED=DH，∠E=90°，
∴FH=2AD=2.4（米），EF=EH，
∴EF2+EH2=2EH2=FH2=2.42，
∴EH=2.42≈1.7（米）；
（2）解∶阅读室的长为2.4×8+0.6×8−1=23.4（米），宽为2.4×5+0.6×5−1=14.4（米）
（3）略
知识总结
①核心概念：等腰直角三角形斜边与直角边关系；勾股定理；不等式整数解。②解题要点：先求单套桌椅所需空间尺寸，再列不等式求最大摆放数量。③关联拓展：实际方案设计问题常需结合几何、方程、不等式与整数约束。
23．如图1，公路l1与铁路l2垂直交汇于河岸O点处，公路l1与河岸的另一交点为A，其中河岸OCB段为抛物线的一部分，AB段为线段，OA=7 km，AB=5 km，点B到公路l1的距离BD=3 km，抛物线的顶点C到公路l1与铁路l2的距离分别为4 km与2 km．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路l1围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2，栅栏EF紧挨公路l1（与公路l1的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF，点H在该段抛物线上；栅栏FG⊥EF，点G在线段AB上．以点O为坐标原点，直线l1与l2分别为x轴与y轴，规定1个单位长度为1 km，建立平面直角坐标系．
(1)请直接写出点B的坐标；
(2)分别求直线AB与抛物线OCB的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)点E到铁路l2的距离小于1.5 km，EH=2FG，已知建1 km长栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏需花费17万元．求栅栏EH到铁路l2的距离．
命题透视
►核心考点：核心考点：二次函数与一次函数综合的实际应用。
►命题分析：
（1）情境创设：情境创设：以乡村河道开发生态放牧为背景，抛物线型河岸与线段河岸围成区域，用栅栏围成封闭区域并计算造价。
（2）问题设计：问题设计：第（1）问求点坐标；第（2）问用待定系数法求直线和抛物线表达式；第（3）问根据总造价求栅栏长度，再列方程求栅栏到铁路的距离。
（3）考查目标：考查目标：考查函数建模、方程求解与实际应用能力。
答案与解析
【答案】(1)B(3,3)
(2)直线AB的函数表达式为：y=−34x+214；抛物线OCB的函数表达式为：y=−x2+4x
(3)1 km
【分析】（1）由OA=7km确定A(7,0)，利用勾股定理由AB=5km、BD=3km求点B的横坐标．
（2）用待定系数法分别求直线AB和抛物线OCB的解析式．
（3）先由总造价与单价求出栅栏总长为172km，即HE+EF+FG=172km；设E(e,0)，利用抛物线解析式写出H(e,−e2+4e)，利用直线AB解析式写出G(f,−34f+214)；由EH=2FG把f用e表示，再得到关于e的一元二次方程，结合e